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フロベニウスの定理|行列と多項式と固有値

      

多項式f(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0と行列Aに対して,

f(A):=a_nA^n+\dots+a_1A+a_0I

とし,f(A)fAを代入した行列という.ただし,Iは単位行列である.

Frobenius(フロベニウス)の定理は,行列Aの固有値と,多項式f(x)に行列Aを代入した行列f(A)の関係を述べた定理で,f(A)の固有値を求めるのに非常に有用である.

なお,「正値正方行列には最大実固有値が唯一存在し,この固有値に属する固有ベクトルは正値ベクトルである」というPerron-Frobeniusの定理は以下を参照されたい.

【参考記事:ペロン-フロベニウスの定理

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Frobeniusの定理の主張

Frobeniusの定理の主張は以下の通り.

[Frobeniusの定理] f(x)を多項式,An次正方行列とする.Aの固有値を\lambda_1,\dots,\lambda_nとすると,f(A)の固有値はf(\lambda_1),\dots,f(\lambda_n)である.

ただし,Aの固有値\lambda_1,\dots,\lambda_nの中に等しいものがあっても,それぞれはf(A)の固有値f(\lambda_1),\dots,f(\lambda_n)に対応すると考える.

すなわち,それぞれの固有値の重複度も保存する.

定理の重複度の保存について,もう少し解説をしておく.

Aの異なる全ての固有値を\lambda_1,\dots,\lambda_k (k\le n)とし,それぞれの重複度をn_1,\dots,n_kとする.このとき,fによってはf(\lambda_1),\dots,f(\lambda_k)がすべて異なるとは限らない.

たとえば,f(\lambda_1)=f(\lambda_2)であれば,この固有値の重複度はn_1+n_2となる.同様に等しい固有値を全てまとめれば,重複度もそれに対応して定まる.

したがって,Frobeniusの定理により,正方行列f(A)の全ての固有値とそれぞれの重複度は,

  1. 正方行列Aの全ての固有値
  2. それぞれの重複度

が分かれば直ちに得られる.

Frobeniusの定理の証明

Frobeniusの定理の証明のキーとなる事実は次の定理1,定理2である.

[定理1] 任意の正方行列Aは上三角行列と相似である.

[定理2] 行列ABが相似なら,Aの固有値とBの固有値は重複度も込めて等しい.

ここで,行列Aと行列Bが相似であるとは,ある正則行列Pが存在してP^{-1}AP=Bとなることをいう.

この定理は,任意の行列がJordan分解可能であるを考えればこの定理が正しいことは分かる.また,そこまで大きな事実を用いなくてもPが基本変形を施す行列の場合を考えれば,地道に示すことができる.

この記事では,定理1,定理2を認めて,Frobeniusの定理の証明をする.

[Frobeniusの定理の証明]

In次単位行列とし,f(x):=a_mx^m+\dots+a_1x+a_0とする.

あるn次正則行列Pが存在して,P^{-1}APは上三角行列となる(定理1).B:=P^{-1}APとおくと,B^1,\dots,B^mも上三角行列である.f(B)も上三角行列である.

また,Aの固有値とBの固有値は重複度も込めて等しい(定理2)ので,Bの固有値は\lambda_1,\dots,\lambda_nである.よって,Bの対角成分の集合は

\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}

だから,B^i (i=1,\dots,m)の対角成分は

{\lambda_1}^i,\dots,{\lambda_n}^i

である.よって,f(B)=a_mB^m+\dots+a_1B+a_0Iの対角成分は

\{f(\lambda_1),\dots,f(\lambda_n)\}

である.したがって,f(B)の固有値は

f(\lambda_1),\dots,f(\lambda_n)

である.P^{-1}A^iP=\left(P^{-1}AP\right)^i=B^i (i=1,\dots,m)だから,

P^{-1}f(A)P
=P^{-1}\left(a_mA^m+\dots+a_0I\right)P
=a_m\left(P^{-1}A^mP\right)+\dots+a_0\left(P^{-1}IP\right)
=a_m{B^m}+\dots+a_0{I}
=f(B)

である.すなわち,f(A)f(B)は相似である.よって,f(A)の固有値はf(\lambda_1),\dots,f(\lambda_k)である.

証明の過程から,Aの固有値\lambda_1,\dots,\lambda_nの中に等しいものがあっても,それぞれはf(A)の固有値f(\lambda_1),\dots,f(\lambda_n)に対応することも分かる.

[証明終]

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