解析学

ルベーグ積分の基本

単関数列の項別積分定理|直感的な考え方・応用・証明を解説

可測集合A上の広義単調増加する非負値可測単関数列{fₙ}が各点収束するとき,{fₙ}はA上で項別積分可能です.この記事では,この「単関数列の項別積分定理」の考え方・応用・証明を解説します.
ルベーグ積分の基本

ルベーグ積分の基本性質|非負値可測関数のルベーグ積分

非負値可測関数に対してルベーグ積分の性質から,一般の可測関数のルベーグ積分でも同様の性質が成り立つことが多いです.この記事では,非負値可測関数の性質を中心に,ルベーグ積分の基本性質を証明します.
測度論

測度の単調収束定理とその応用|集合の単調増大列・単調減少列の測度

測度論において可測集合の列{Aₙ}に対して,Aₙの測度の極限を考えることはよくあります.この記事では,測度の極限に関する「測度の単調収束定理」の証明と補足をします.
測度論

「ほとんど至る所」の定義・具体例・応用|測度空間の零集合

ルベーグ積分では零集合上でのみ例外であることを「ほとんど至る所で」と言います.この記事では「ほとんど至る所で」の定義と具体例を解説したのち,ほとんど至る所で等しい関数の同一視についても解説します.
測度論

可測空間と測度空間|直感的な考え方で定義・具体例を解説

測度論の基本的な空間として「可測空間」「測度空間」があります.この記事では,これらの直感的な考え方をたどりながら,定義と具体例を丁寧に解説していきます.
ルベーグ積分の基本

ルベーグ積分の定義|単関数による近似を踏まえて定義する

可測単関数にルベーグ積分は簡単に定義でき,非負可測関数fは非負可測単関数列{fₙ}でしたから近似できることを踏まえて,この記事では一般の可測関数にルベーグ積分を定義します.
微分方程式

停留位相法の直感的な考え方|偏微分方程式の解の時間減衰

時間発展する偏微分方程式の解の時間減衰のスピードは,解の振る舞いにおいて重要な要因となることは多いです.この記事では,時間減衰評価を求める方法である「停留位相法」を説明します.
ルベーグ積分の基本

単関数近似定理|ルベーグ可測関数fを単関数列{fₙ}で近似する

ルベーグ可測関数は単関数で近似することができ,ルベーグ積分はこの事実をもとに定義されます.この記事では,ルベーグ積分の定義のために「可測関数の単関数近似定理」を説明します.
ルベーグ積分の基本

単関数のルベーグ積分|具体例を通して考え方を理解しよう

ルベーグ可測関数のルベーグ積分の考え方を理解する前に,先に「単関数」と呼ばれる関数のルベーグ積分を考えておくと見通しが良くなります.この記事では,具体例を踏まえて可測単関数のルベーグ積分を説明します.
ルベーグ積分の基本

線形結合・絶対値・連続関数などのルベーグ可測性を証明

ルベーグ積分はルベーグ可測関数に対して定義されるため,ルベーグ可測関数の性質を整理しておくことは大切です.この記事では,可測関数の線形結合・積・商・正成分・負成分・絶対値の可測性を証明します.