集合論

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2017.10.16

ハメル基底とf(x+y)=f(x)+f(y)をみたす関数

「Hamel(ハメル)基底」は「体 $\Q$ 上のベクトル空間 $\R$ の基底」のことをいい，選択公理を認めると「Hamel基底の存在」を証明することができる．

【参考記事：ベクトル空間の基底とハメル基底の存在の証明】

さて，「Hamel基底が存在したら何が分かるのか」ということだが，Hamel基底を用いれば「任意の $x,y\in\R$ に対して， $f(x+y)=f(x)+f(y)$ をみたす関数 $f:\R\to\R$ は $f(x)=ax$ ( $a\in\R$ )に限られるか」という問題に対する反例を挙げることができる．

すなわち， $f(x)=ax$ なら $f(x+y)=f(x)+f(y)$ をみたすことは簡単に分かるが，Hamel基底の存在により $f(x)=ax$ の形をしていない $f(x+y)=f(x)+f(y)$ をみたす関数が存在することを示すことができるのである．

この記事では，Hamel基底を説明したあと，「 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ をみたす関数 $f:\R\to\R$ は $f(x)=ax$ ( $a\in\R$ )に限られるか」という問題に対する反例を考える．

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2017.08.21

ベクトル空間の基底とハメル基底の存在の証明

Zorn(ツォルン)の補題は選択公理と同値な存在定理である．

選択公理を認めないとする立場もあるが，この記事では選択公理を認めてZornの補題を用いることで様々なものの存在を証明することができる．

例えば，この記事で扱う

ベクトル空間における基底
Hamel基底

の存在は両者ともZornの補題によって証明することができる．すなわち，選択公理を認めれば

$\{0\}$ でない任意のベクトル空間は基底を持つ
Hamel基底が存在する

を証明することができる．

なお，Hamal基底のイメージなどについては以下の記事でも説明しているので参照されたい．

【参考記事：ハメル基底とf(x+y)=f(x)+f(y)をみたす関数】

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