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H28院試/京都大学/数学・数理解析専攻/基礎科目I

  
   

平成28年度/京都大学大学院/理学研究科/数学・数理解析専攻の大学院入試問題の「基礎科目I」の解答の方針と解答です.

ただし,採点基準などは公式に発表されていないため,ここでの解答が必ずしも正解とならない場合もあり得るので注意してください.

なお,過去問は京都大学のホームページから入手できます.

【参考:京都大学数学教室の過去問

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問題と解答の方針

問題は4問あります.試験時間は2時間です.

解答はこのページの下部にPDFで掲載しています.

問1

線型写像f:\R^4\to\R^3を行列

A=\begin{pmatrix} 2&1&1&0\\ 4&0&2&1\\ 2&-1&1&2 \end{pmatrix}

を用いてf(x)=Ax (x\in\R^4)として定める.Vを3つのベクトル

\begin{pmatrix} 1\\2\\-2\\-4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\-2\\1\\3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\1\\0\\-4 \end{pmatrix}

が張る\R^4の部分空間としたとき,fVへの制限g=f|_{V}:V\to\R^3の階数を求めよ.ただし,gの階数とは,g(V)の次元のことである.

[解答の方針]

a:=\begin{pmatrix} 1\\2\\-2\\-4 \end{pmatrix}, b:=\begin{pmatrix} 0\\-2\\1\\3 \end{pmatrix}, c:=\begin{pmatrix} 1\\1\\0\\-4 \end{pmatrix}

とおくと,

V=\set{xa+yb+zc}{x,y,z\in\R}

である.fが線形であることに注意すると,

g(V)=\set{xf(a)+yf(b)+zf(c)}{x,y,z\in\R}

だから,f(a),f(b),f(c)の張る空間の次元を求めればよい.

問2

aを実数とする.3次正方行列

A=\begin{pmatrix}a&1&2\\0&1&0\\-2&0&0\end{pmatrix}

について,以下の問に答えよ.

(i) 行列Aの固有値を求めよ.

(ii) 行列Aが対角化可能となる実数aをすべて求めよ.ただし,Aが対角化可能であるとは,複素正則行列PP^{-1}APが対角行列となるものが存在することをいう.

[解答の方針]

(i) 固有方程式|xI-A|=0を解けば良い.

(ii) 全ての固有値の重複度が1であるとき,Aは対角化可能である.重複度が1でない固有値があるようなaは3通りしかなく,それらについては個別に調べればよい.具体的には,重複度が1でない固有値に属する固有空間の次元を調べ,対角化可能かを判断すればよい.

問3

次の極限値を求めよ.

\li_{n\to\infty}\dint_{0}^{\infty}e^{-x}(nx-[nx])\,dx

ただし,nは自然数とし,[y]yを超えない最大の整数を表す.

[解答の方針]

nx-[nx]は周期1/nであり,区間[k/n,(k+1)/n)での積分値は1/2nである.e^{-x}の区間[0,\infty)での積分値は1である.

よって,e^{-x}[0,\infty)で一様連続であることから,nが十分大きいとき1の半分1/2になりそうである.また,実際そうなる.

x\in[k/n,(k+1)/n)のとき[nx]=kであることを利用すると,

\dint_{0}^{\infty}e^{-x}(nx-[nx])\,dx =\dsum_{k=0}^{\infty}\int_{k/n}^{(k+1)/n}e^{-x}(nx-k)\,dx

となる.これは上,下からそれぞれ

\dsum_{k=0}^{\infty}\dint_{k/n}^{(k+1)/n}e^{-k/n}(nx-k)\,dx, \dsum_{k=0}^{\infty}\dint_{k/n}^{(k+1)/n}e^{-(k+1)/n}(nx-k)\,dx

によって評価できる.これらのn\to\inftyのときの極限が1/2になることを示せば良い.

もしくは,

\li_{n\to\infty}\dsum_{k=0}^{\infty}\dint_{k/n}^{(k+1)/n}e^{-x}(nx-k)\,dx

を部分積分によって直接計算してもよい.

問4

\mathbb{R}^2で定義された関数

f(x,y)=\f{xy(xy+4)}{x^2+y^2+1}

の最大値および最小値のそれぞれについて,存在するなら求め,存在しないならそのことを示せ.

[解答の方針]

x=yx\to\inftyとすることにより最大値が存在しないことが分かる.

よって,あとは最小値の存在,値を調べれば良いが,f(x,y)=f(-x,-y),f(x,0)=f(0,y)=0であることから,あとはx>0,y\neq0で考えれば良い.このとき,停留点を求めると(1,-1)であり,f(1,-1)=-1である.

つぎに,極座標変換x=r\cos\theta,y=\sin\thetar\ge2のとき,f(x,y)\ge-4/5>-1である.よって,fr\ge2で最小値を取らない.

よって,r\le2で考えれば良いが,このような(x,y)の集合はコンパクト集合であり,fは連続だから,この集合の境界上,もしくは停留点で最小値をもつ.境界上ではf(x,y)\ge-4/5だから,最小値は-1である.

解答

解答は以下のPDFに掲載しています.

H28_基礎科目I_解答

以下は注意事項です.

  • 解答作成には万全を期していますが,論理の飛躍,誤りがあることは有り得ます.
  • 本稿は私に著作権があります.
  • 無断複製,無断転載は一切禁止します.これらの行為が確認された場合は,止むを得ず法的手段に出ることがあります.

この解答が大学院受験生の一助になれば幸いです.

参考文献

以下の3冊は,実際に私が使用したものである.

  • 「演習大学院入試問題(数学I) 第3版」(姫野俊一/陳啓浩 共著,サイエンス社)
  • 「演習大学院入試問題(数学II) 第3版」(姫野俊一/陳啓浩 共著,サイエンス社)
  • 「詳解と演習大学院入試問題〈数学〉」(海老原円 著,数理工学社)

演習大学院入試問題

ところどころ誤植があったり,もう少しスッキリ解答できるところがあるのが残念.しかし,問題量は非常に豊富である.全2巻で,

1巻

第1編 線形代数
第2編 微分・積分学
第3編 微分方程式

2巻

第4編 ラプラス変換,フーリエ変換,特殊関数,変分法
第5編 複素関数論
第6編 確率・統計

が扱われている.

問題の種類としては発想問題よりも,ちゃんと地に足つけた考え方で解ける問題が多い.

計算量が多い問題,基本問題も多く扱われているが,試験では基本問題ほど手早く処理することが求められるので,その意味で試験への対応力が養われるであろう.(私自身,計算力があまり高くないので苦労した.)

詳解と演習大学院入試問題〈数学〉

上述の姫野氏の問題集とは対照的に,問題数はそこまで多くないが1問1問の解説が丁寧になされている.また,構成が読みやすい.

第1章 数え上げと整数
第2章 線形代数
第3章 微積分
第4章 微分方程式
第5章 複素解析
第6章 ベクトル解析
第7章 ラプラス変換
第8章 フーリエ変換
第9章 確率

典型的な問題でも複数の解法を紹介しているので,私は参考になることも多かった.個人的にはこの本には非常に好感が持てる.

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コメント

  1. まさ より:

    解答のPDFのリンク先へ行けないのですが、、、

    1. yama-taku より:

      ご指摘ありがとうございます.
      解答PDFのリンクを修正しました.

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