【SPONSORED LINK】

ベクトル空間の基底とハメル基底の存在の証明

      

Zorn(ツォルン)の補題は選択公理と同値な存在定理である.

選択公理を認めないとする立場もあるが,この記事では選択公理を認めてZornの補題を用いることで「基底」の存在を証明する.ここでの「基底」とは次の2つを指している.

  1. ベクトル空間における基底
  2. Hamel基底

これらの定義はのちに述べるが,ともかくこの両者の存在はZornの補題によって証明される.すなわち,選択公理を認めれば

  1. \{0\}でない任意のベクトル空間は基底を持つ
  2. Hamel基底が存在する

を証明することができる.

なお,Hamal基底のイメージなどについては以下の記事で触れています.

【参考記事:ハメル基底とf(x+y)=f(x)+f(y)をみたす関数

【SPONSORED LINK】

Zornの補題

最初にZornの補題について説明するが,その前にいくつか定義をしておく.

[順序集合] 集合X上に定義された二項関係\leが次の1〜3が満たされるとき,Xを「順序集合」という.

  1. 任意のa\in Xに対して,a\le aである.(反射律)
  2. a\le bかつb\le cをみたす任意のa,b,c\in Xに対して,a\le cである(推移律).
  3. a\le bかつb\le aをみたす任意のa,b\in Xに対して,a=bである(反対称律).

さらに,次の4が満たされるとき,Xを「全順序集合」という.

  1. 任意のa,b\in Xに対して,a\le bまたはb\le aである(全順序律).

Xが順序集合といった場合には,比較できないXの2元が存在してもよい.任意のXの2元が比較できるときに,Xを全順序集合という.

なお,全順序集合と区別するために順序集合を「半順序集合」ということもあるが,この記事で単に「順序集合」と書いた場合には比較できない元があってもよい集合を指す.

[帰納的] 順序集合Xの任意の全順序部分集合YXに上界を持つとき,Xは帰納的であるという.ただし,ここでのYの順序はXに定義されている順序である.

順序集合Xが空でないとき,Xの部分集合であって全順序集合であるものが存在する.実際,任意のx\in Xに対して,1つの元からなる\{x\}は全順序部分集合である.

このように,Xの部分集合であって全順序集合であるものが存在するが,それらのどの全順序部分集合もX上に上界をもつとき,Xを帰納的順序集合という.

すなわち,任意の全順序部分集合Y\subset Xに対し,任意のy\in Yに対して,y\le xとなるx\in Xが存在することをいう.

[Zornの補題] 空でない帰納的順序集合は極大元をもつ.

[Zornの補題]によって示される極大元は1つとは限らない.無数に存在することもある.

基底の存在の証明

[Zornの補題]を使って

  1. ベクトル空間の基底
  2. Hamel基底

の存在を示すが,その前に次の基本的な事柄を確認しておく.

集合族は包含関係により順序集合となる.

集合族とは,簡単に言えば「集合の集合」のことである.

さて,集合族は包含関係\subsetにより順序となる,すなわち二項関係\subsetが順序の定義を満たすことを示しておく(がほとんど当たり前である).

[証明]

\mathcal{X}を集合族とする.

任意のA\subset\mathcal{X}に対して,A\subset Aだから,反射律が成り立つ.

A\subset B,B\subset Cをみたす任意のA,B,C\subset\mathcal{X}に対して,A\subset Cだから,推移律が成り立つ.

A\subset B,B\subset Aをみたす任意のA,B\subset\mathcal{X}に対して,A=Bだから,反対称律が成り立つ.

[証明終]

ベクトル空間の基底とその存在証明

まず,ベクトル空間の基底の定義を見ておく.

[ベクトル空間の基底] ベクトル空間Vに対して,Vの部分集合Bが基底であるとは,次を満たすことをいう:

  1. 任意の有限個のb_1,\dots,b_n\in Bに対して,b_1,\dots,b_nは線型独立である.
  2. 任意のv\in Vに対して,有限個のb_1,\dots,b_n\in Bが存在して,vb_1,\dots,b_nの線形結合で表せる.

Bの元の個数が有限個である必要はないことに注意する.

ただし,この定義により,全てのベクトル空間が基底にもつかどうかは分からない.もしかすると,基底を持たないベクトル空間が存在するかもしれない.

しかし,[Zornの補題]を用いることによって,全てのベクトル空間に基底の存在が証明できるのである.

すなわち,[Zornの補題]により,次が証明できる.

\{0\}でない任意のベクトル空間は基底をもつ.

[証明]

Fを体,V\{0\}でないF上のベクトル空間とする.このVが基底をもつことを示す.

次をみたすVの部分集合の族を\mathcal{B}とする:任意の有限個のb_1,\dots,b_n\in\mathcal{B}に対して,b_1,\dots,b_nは線型独立である.

Step.1

\mathcal{B}が包含に関して極大元をもつことを示す.

集合族は包含関係に関して順序集合となることは,上の命題で示した.また,V\{0\}ではないから,v\in V\setminus\{0\}が存在する.このとき,集合\{v\}からとれる有限個の元はvのみであり,vは線型独立だから,\mathcal{B}は空でない.

よって,あとは\mathcal{B}が帰納的であることを示せば,[Zornの補題]により\mathcal{B}は包含に関して極大元をもつことが分かる.すなわち,任意の全順序部分集合\mathcal{A}\in\mathcal{B}に対して,\mathcal{A}の上界が\mathcal{B}に存在することを示せばよい.

A_{*}\subset V

A_{*}:=\bigcup_{A\subset\mathcal{A}}A

で定める.

このとき,A_{*}\mathcal{A}の上界であることは明らかだから,A_{*}\in\mathcal{B}を示せばよい.

任意の有限個のa_1,\dots,a_n\in A_{*}に対して,a_k\in A_{k}\ (k\in\{1,\dots,n\})となるA_{k}\in\mathcal{A}\ (k\in\{1,\dots,n\})が存在する.いま,\mathcal{A}は全順序集合だから,あるk_{*}\in \{1,\dots,n\}が存在してA_{k}\subset A_{k_{*}}\ (k\in\{1,\dots,n\})が成り立つ.

よって,a_1,\dots,a_n\in A_{k_{*}}が成り立ち,A_{k_{*}}\in\mathcal{B}だからa_1,\dots,a_nは線型独立である.

以上より,A_{*}\in\mathcal{B}が従う.

Step.2

\mathcal{B}の包含に関する極大元がVの基底となることを背理法により示す.すなわち,\mathcal{B}の包含に関する任意の極大元をBとし,Bの有限個の元の線形結合で表せないv\in Vが存在するとして矛盾を導く.

このとき,B':=B\cup\{v\}とする.B'から任意の有限個の元b_1,\dots,b_nをとる.

b_1,\dots,b_n\in Bなら,B\in\mathcal{B}からb_1,\dots,b_nは線型独立である.

あるk\in\{1,\dots,n\}に対してb_k=vなら,c_1b_1+\dots+c_nb_n=0\ (c_1,\dots,c_n\in F)のときc_k=0である.実際,c_k\neq0なら,両辺をc_kで割ってvを移項することにより,vBの元の線形結合で表せることになり矛盾するから,c_k=0である.

したがって,B'\in\mathcal{B}が従う.これは,B\mathcal{B}の極大元であることに矛盾する.よって,\mathcal{B}の包含に関する極大元はVの基底となる.

[証明終]

Hamel基底とその存在証明

まず,Hamel基底の定義を見ておく.

[Hamel基底] 次を満たすB\subset\RをHamel基底という:

  1. 任意の有限個のb_1,\dots,b_n\in Bに対して,r_1b_1+\dots+r_nb_n=0\ (r_1,\dots,r_n\in\Q)ならr_1=\dots=r_n=0が成り立つ.
  2. 任意のx\in\Rに対して,有限個のb_1,\dots,b_n\in Bと同数のr_1,\dots,r_n\in\Qが存在して,x=r_1b_1+\dots+r_nb_nと表せる.

すなわち,Hamel基底は体\Q上のベクトル空間\Rの基底ということができる.

【参考記事:ハメル基底とf(x+y)=f(x)+f(y)をみたす関数

ただし,いま「Hamel基底はこういうものである」ということを述べただけで,これが存在するかどうかは全く分かっていない.もしかすると,この定義はill-definedであって,Hamel基底など存在しないかもしれない.

しかし,[Zornの補題]を用いることによって,Hamel基底の存在が証明できるのである.先に見た「ベクトル空間の基底の存在の証明」でV=\RF=\Qと見ることにより,同様に議論を進めることができる.

Hamel基底は存在する.

[証明]

次をみたす\Rの部分集合の族を\mathcal{B}とする:任意の有限個のb_1,\dots,b_n\in\mathcal{B}に対して,r_1b_1+\dots+r_nb_n=0\ (r_1,\dots,r_n\in\Q)ならr_1=\dots=r_n=0が成り立つ.

Step.1

\mathcal{B}が包含に関して極大元をもつことを示す.

集合族は包含関係に関して順序集合となることは,上の命題で示した.また,x\in\R\setminus\{0\}に対して,rx=0\ (r\in\Q)ならr=0だから\{x\}\in\mathcal{B}となって,\mathcal{B}は空でない.

よって,あとは\mathcal{B}が帰納的であることを示せば,[Zornの補題]により\mathcal{B}は包含に関して極大元をもつことが分かる.すなわち,任意の全順序部分集合\mathcal{A}\in\mathcal{B}に対して,\mathcal{A}の上界が\mathcal{B}に存在することを示せばよい.

A_{*}\subset\R

A_{*}:=\bigcup_{A\subset\mathcal{A}}A

で定める.

このとき,A_{*}\mathcal{A}の上界であることは明らかだから,A_{*}\in\mathcal{B}を示せばよい.

任意の有限個のa_1,\dots,a_n\in A_{*}に対して,a_k\in A_{k}\ (k\in\{1,\dots,n\})となるA_{k}\in\mathcal{A}\ (k\in\{1,\dots,n\})が存在する.いま,\mathcal{A}は全順序集合だから,あるk_{*}\in \{1,\dots,n\}が存在してA_{k}\subset A_{k_{*}}\ (k\in\{1,\dots,n\})が成り立つ.

よって,a_1,\dots,a_n\in A_{k_{*}}が成り立ち,A_{k_{*}}\in\mathcal{B}だからa_1,\dots,a_nは線型独立である.

以上より,A_{*}\in\mathcal{B}が従う.

Step.2

\mathcal{B}の包含に関する極大元がHamel基底となることを背理法により示す.すなわち,\mathcal{B}の包含に関する任意の極大元をBとし,r_1b_1+\dots+r_nb_n\ (r_1,\dots,r_n\in\Q,b_1,\dots,b_n\in B)の形で表せないx\in Vが存在するとして矛盾を導く.

このとき,B':=B\cup\{x\}とする.B'から任意の有限個の元b_1,\dots,b_nをとる.

b_1,\dots,b_n\in Bなら,B\in\mathcal{B}からr_1b_1+\dots+r_nb_n=0のときr_1=\dots=r_nである.

あるk\in\{1,\dots,n\}に対してb_k=xなら,r_1b_1+\dots+r_nb_n=0\ (r_1,\dots,r_n\in F)のときr_k=0である.実際,r_k\neq0なら,両辺をr_kで割ってxを移項することにより,x

r'_1b_1+\dots+r'_{k-1}b_{k-1}+r'_{k+1}b_{k+1}+\dots+r'_nb_n

の形で表せることになり矛盾するから,r_k=0である.

したがって,B'\in\mathcal{B}が従う.これは,B\mathcal{B}の極大元であることに矛盾する.よって,\mathcal{B}の包含に関する極大元はHamel基底である.

[証明終]

関連記事

【良いと思ったらシェアを!】

最後まで読んでいただきありがとうございました!

良ければシェアボタンから共有をお願いします!

コメント

コメントを残す

*

このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください