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ガウス関数のフーリエ変換を具体的に計算する

  
   

Fourie変換は「関数を波の和で表す」という発想に基づいた変換であり,理工系の様々な分野で重宝される.

G(x)=Ae^{-\eta x^2} (x\in\R)で定まる関数Gを(1次元の)Gauss(ガウス)関数(Gaussian/ガウシアン)いい,Gauss関数は正規分布の確率密度関数として知られる.

Gauss関数はFourier変換を施してもGauss関数であるという性質をもつ.

Fourier変換を数学的に定義するには,ある程度の条件(可積分性など)が必要である.具体的には,Lebesgue可積分であるような関数には,Fourier変換を定義することができる.

本記事では,Gauss関数にFourier変換が定義できることを説明し,Gauss関数のFourier変換が再びGauss関数になることを計算により確かめる.

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Fourier変換の定義

まず,Fourier変換をL^1(\R)上で定義できることを説明する.

Lebesgue可積分可能な関数の空間(正確には,同値類の空間)をL^{1}(\R)と表す.大雑把に言えば,

\dint_{\R}|f(x)|\,dx=\dint_{-\infty}^{\infty}|f(x)|\,dx<\infty

が成り立つような\Rで定義された関数f全部の空間をL^{1}(\R)と表す.

任意のf\in L^{1}(\R)\xi\in\Rに対して,

\dint_{\R}|e^{-ix\xi}f(x)|\,dx=\dint_{\R}|f(x)|\,dx<\infty

なので,e^{-ix\xi}f(x)は可積分関数である.これにより,以下のようにFourier変換を定義できる.

[Fourier変換(1変数)] L^1(\R)上のFourier変換\mathcal{F}を以下で定義する.

\mathcal{F}_{x}[f](\xi)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\dint_{\R}e^{-ix\xi}f(x)\,dx

Fourier変換\mathcal{F}_{x}[f]\hat{f}(\xi)と表記することも多い.

さて,e^{-x^2}\R上の積分をGauss積分というが,Gauss積分は

\dint_{\R}e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}

と計算されることが知られている.

これによりG(x):=Ae^{-\eta x^2} (A>0\eta>0)で定まるGauss関数GG\in L^1(\R)であることが分かる.

本記事では,この結果を証明しないが,Gauss関数を具体的に計算する際に用いる.

ただ,G\in L^1(\R)であることを示すだけであれば難しくない.

実際,x\to\pm\inftyで指数関数は多項式よりも早く減衰するから,\lim\limits_{x\to\pm\infty}x^2G(x)=0が成り立つので,R>0が存在して,|x|>Rx^2G(x)<1\iff G(x)<\dfrac{1}{x^2}が成り立つ.

また,\R-\eta x^2\le0だから,任意のx\in\Rに対して(したがってx\in[-R,R]で)G(x)\le Aであることに注意すると,

\dint_{\R}|G(x)|\,dx
=\dint_{-\infty}^{-R}\dfrac{1}{x^2}\,dx+\dint_{-R}^{R}A\,dx+\dint_{R}^{\infty}\dfrac{1}{x^2}\,dx
=\dfrac{2}{R}+2AR<\infty

となるから,G\in L^1(\R)が成り立つ.

Gauss関数のFourier変換

1変数のGauss関数と多変数のGauss関数の両方について,Fourier変換を計算する.

1変数の場合

それでは,上で定義したGauss関数GのFourier変換\mathcal{F}[G]を求める.

\mathcal{F}[G](\xi)
=\dfrac{A}{\sqrt{2\pi}}\dint_{\R}e^{-ix\xi}\exp\bra{-\eta x^2}\,dx
=\dfrac{A}{\sqrt{2\pi}}\exp\bra{-\dfrac{\xi^{2}}{4\eta}}\dint_{\R}\exp\bra{-\eta\bra{x+\frac{i}{2\eta}\xi}^2}\,dx

である.次に,\dint_{\R}e^{-\eta(x+i\lambda)^2}\,dxCauchyの積分定理を用いて計算する(\lambda=\frac{1}{2\eta}\xiとした).

複素関数ff(z)=e^{-\eta z^2}として,R>0に対して4つの経路LL'L_{R}L_{-R}

L:=\set{z\in\C}{z=t,t\in[-R,R]}
L':=\set{z\in\C}{z=t+i\lambda,t\in[-R,R]}
L_{R}:=\set{z\in\C}{z=R+it,t\in[0,\lambda]}
L_{-R}:=\set{z\in\C}{z=-R+i(\lambda-t),t\in[0,\lambda]}

で定める.これらの経路を図示すると,\xi>0のときは\lambda>0だから

Rendered by QuickLaTeX.com

であり,\xi<0のときは\lambda<0だから

Rendered by QuickLaTeX.com

である.このとき,Cauchyの積分定理より

\dint_{L'\cup L_{R}\cup(-L)\cup(-L_{R})}f(z)\,dz=0

が成り立つ.よって,

\dint_{\R}e^{-\eta(x+i\lambda)^2}\,dx
=\lim\limits_{R\to\infty}\dint_{L'}f(z)\,dz
=\lim\limits_{R\to\infty}\dint_{(-L_{R})\cup L\cup L_{R}}f(z)\,dz

である.一般に\abs{\dint_{I}f(x)\,dx}\le\dint_{I}|f(x)|\,dxなので,

\abs{\dint_{L_{R}}f(z)\,dz}
\le\dint_{L_{R}}|f(z)|\,dz
=\dint_{0}^{\lambda}\abs{e^{-\eta(R+it)^2}}\,dt
=\dint_{0}^{\lambda}\abs{e^{-\eta(R^2+2iRt-t^2)}}\,dt
=\dint_{0}^{\lambda}e^{-\eta(R^2-t^2)}\,dt
\le\dint_{0}^{\lambda}e^{-\eta R^2}\,dt
\le\lambda e^{-\eta R^2}\to0 (R\to\infty)

だから\lim\limits_{R\to\infty}\dint_{L_{R}}f(z)\,dz=0であり,

\abs{\dint_{L_{-R}}f(z)\,dz}
\le\dint_{L_{-R}}|f(z)|\,dz
=\dint_{0}^{\lambda}\abs{e^{-\eta(-R+i(\lambda-t))^2}}\,dt
=\dint_{0}^{\lambda}\abs{e^{-\eta(R^2+2i(\lambda-t)-(\lambda-t)^2)}}\,dt
=\dint_{0}^{\lambda}e^{-\eta(R^2-(\lambda-t)^2)}\,dt
\le\dint_{0}^{\lambda}e^{-\eta R^2}\,dt
\le\lambda e^{-\eta R^2}\to0 (R\to\infty)

だから\lim\limits_{R\to\infty}\dint_{L_{-R}}f(z)\,dz=0である.

よって,変数変換x=\dfrac{y}{\sqrt{\eta}}を用いると,先に述べたGauss積分により

\lim\limits_{R\to\infty}\dint_{(-L_{R})\cup L\cup L_{R}}f(z)\,dz
=\lim\limits_{R\to\infty}\dint_{L}f(z)\,dz
=\dint_{\R}e^{-\eta x^2}\,dx
=\dfrac{1}{\sqrt{\eta}}\dint_{\R}e^{-y^2}\,dy
=\sqrt{\dfrac{\pi}{\eta}}

となる.以上より,

\mathcal{F}[G](\xi)
=\dfrac{A}{\sqrt{2\pi}}\dint_{\R}e^{-ix\xi}\exp\bra{-\eta x^2}\,dx
=\dfrac{A}{\sqrt{2\pi}}\cdot\exp\bra{-\dfrac{\xi^{2}}{4\eta}}\sqrt{\dfrac{\pi}{\eta}}
=\dfrac{A}{\sqrt{2\eta}}\exp\bra{-\dfrac{\xi^{2}}{4\eta}}

となって,確かにGauss関数のFourier変換はGauss関数である.

多変数の場合

多変数の場合のFourier変換は以下の通りである.

[Fourier変換(多変数)] L^1(\R^{N})上のFourier変換\mathcal{F}を以下で定義する.

\mathcal{F}_{x}[f](\xi)=\dfrac{1}{(2\pi)^{N/2}}\dint_{\R^N}e^{-ix\cdot\xi}f(x)\,dx

x\cdot\xix\in\R^N\xi\in\R^Nの標準内積である. Fourier変換\mathcal{F}_{x}[f]\hat{f}(\xi)と表記することも多い.

ここで,L^1(\R)と同様に,L^1(\R^N)\R^N上可積分な関数の空間である.

また,多変数のGauss関数GG(x)=Ae^{-\eta|x|^2} (A>0\eta>0)で定義される.

ただし,x=[x_1,\dots,x_N]\in\R^Nであり,|x|^2={x_1}^2+\dots+{x_N}^2である.

このとき,Gauss関数GのFourier変換\mathcal{F}[G]は,1変数の場合の結果を用いて

\mathcal{F}[G](\xi)
=\dfrac{A}{(2\pi)^{N/2}}\dint_{\R^N}e^{-ix\cdot\xi}\exp\bra{-\eta|x|^2}\,dx
=\dfrac{A}{(2\pi)^{N/2}}\dint_{\R^N}\dprod_{n=1}^{N}e^{-ix_n\xi_n}\exp\bra{-\eta{x_n}^2}\,dx
=\dfrac{A}{(2\pi)^{N/2}}\dprod_{n=1}^{N}\dint_{\R}e^{-ix_n\xi_n}\exp\bra{-\eta{x_n}^2}\,dx_n
=\dfrac{A}{(2\pi)^{N/2}}\dprod_{n=1}^{N}\bra{\exp\bra{-\dfrac{{\xi_{n}}^{2}}{4\eta}}\sqrt{\dfrac{\pi}{\eta}}}
=\dfrac{A}{(2\eta)^{N/2}}\exp\bra{-\dfrac{|\xi|^{2}}{4\eta}}

となって,確かにGauss関数のFourier変換はGauss関数である.

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