ルベーグの優収束定理の練習｜具体例から使い方を理解する

解析学において，極限と積分の順序交換をしたいことは頻繁にあります．例えば，

$\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^n}\,dx \end{align*}$

は文字$n$が入ったまま$\dint_{0}^{\infty}\dfrac{1}{1+x^n}\,dx$を先に計算してから極限$n\to\infty$をとるのは少々面倒です(留数定理を使うことになるでしょう)．

一方で極限$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{1+x^n}$が計算できれば，文字$n$が消えて計算が楽になることが見込めます．

しかし，極限と積分は必ずしも交換可能ではなく，交換すると結果が変わってしまうこともあります．

ルベーグ積分にはこの極限と積分が交換可能であるための十分条件を述べた定理があり，これがこの記事のタイトルにもあるLebesgue(ルベーグ)の優収束定理です．

この記事ではLebesgueの収束定理を紹介して，実際に具体例からLebesgueの収束定理の使い方をみます．

汎用性はルベーグの優収束定理に劣るものの，重要度としては引けをとらない定理としてルベーグの単調収束定理があります．この記事では，ルベーグの単調収束定理の証明をし，閉区間$[0,1]$上の全ての有理数で発散するがルベーグ可積分な関数(！)を紹介します．

1 解説動画
2 ルベーグの収束定理
3 ルベーグの収束定理の具体例
- 3.1 解答例
- 3.2 優関数$g$のとり方
4 参考文献
- 4.1 ルベグ積分入門

解説動画

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【ルベーグの収束定理】「積分」と「極限」の順序交換のための定理！ルベーグ積分の便利さを知って欲しい(10分55秒)

【1分問題解説】ルベーグの収束定理 (1分00秒)

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ルベーグの収束定理

次の極限と積分の順序交換ができるための定理をLebesgueの優収束定理 (dominated convergence theorem)または単にLebesgueの収束定理といいます．

[ルベーグの優収束定理]　可測集合$A$上の可測関数列$\{f_n\}$は$A$上各点収束するとする．このとき，ある$A$上可積分関数$g$が存在して，任意の$n$に対して

$\begin{align*} |f_n(x)|\le g(x)\quad \mrm{a.e.}\ x\in A \end{align*}$

を満たすなら，次の等式が成り立つ：

$\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\int_{A}f_n(x)\,dx =\int_{A}\lim_{n\to\infty}f_n(x)\,dx. \end{align*}$

この定理の中で重要なのは

任意の$n$と(ほとんど)全ての$x\in A$に対して$|f_n(x)|\le g(x)$
$A$上可積分：$\int_{A}g(x)\,dx<\infty$

を満たす関数$g$がとれることですね．

$|f_n|\le g$が成り立つことから，この関数$g$を$\{f_n\}$の優関数といいます．

つまり，$n$がどうなっていようが，$f_n$たちを上からおさえられる可積分関数$g$をとれれば良いわけですね．

この$g$は$n$によらない関数であることに注意してください．

ルベーグの収束定理の具体例

冒頭に挙げた極限をLebesgueの収束定理を用いて求めましょう．

$n\in\N$とする．極限

$\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^{n}}\,dx \end{align*}$

を求めよ．

広義積分とみて，任意の$\epsilon>0$に対して，積分区間を

$\begin{align*} [0,1-\epsilon)\cup[1-\epsilon,1+\epsilon)\cup[1+\epsilon,\infty) \end{align*}$

と分け，$[0,1-\epsilon)$と$[1+\epsilon,\infty)$上一様収束を示すことで極限と積分の順序交換することもできますが，慣れてしまえばLebesgueの収束定理の方が手軽に感じられるでしょう．

解答例

解答を表示

$n\to\infty$を考えるので$n\ge2$としてよい．

(i)　任意の$n\in\N$に対して，関数$f_n:[0,\infty)\to\R$を

$\begin{align*} f_n(x):=\frac{1}{1+x^{n}} \end{align*}$

で定める．$f_n$は連続だから可測関数であり，関数列$\{f_n\}$は$n\to\infty$で$[0,\infty)$上で各点収束する：

$\begin{align*} \lim_{n\to\infty}f_n(x)=\begin{cases}1&x\in[0,1),\\\frac{1}{2}&x=1,\\0&x\in(1,\infty)\end{cases} \end{align*}$

(ii)　また，関数$g:[0,\infty)\to\R$を

$\begin{align*} g(x):=\frac{2}{1+x^{2}} \end{align*}$

で定める．

このとき，$g$, $f_n$はともに単調減少なので，$x\in[0,1]$なら

$\begin{align*} |f_n(x)|\le f_n(0)=1=g(1)\le g(x) \end{align*}$

であり，$x\in(1,\infty)$なら

$\begin{align*} |f_n(x)|\le\frac{1}{1+x^{2}}<g(x) \end{align*}$

だから，$[0,\infty)$上で$|f_n|\le g$が成り立つ．

(iii)　$g$は$[0,\infty)$上で可積分である：

$\begin{align*} \int_{0}^{\infty}g(x)\,dx =\brc{2\tan^{-1}{x}}_{0}^{\infty} =\pi<\infty \end{align*}$

(i)-(iii)から，Lebesgueの収束定理を適用できて，問題の極限は

$\begin{align*} &\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{\infty}f_n(x)\,dx =\int_{0}^{\infty}\lim_{n\to\infty}f_n(x)\,dx \\=&\int_{[0,1)}1\,dx+\int_{\{1\}}\frac{1}{2}\,dx+\int_{(1,\infty)}0\,dx \\=&1+0+0=1 \end{align*}$

を得る．

$f_n(x)=\frac{1}{1+x^n}$とみて

(i)で$\{f_n\}$が各点収束すること
(ii)で$g$が$\{f_n\}$の優関数であること
(iii)で$g$が可積分であること

を示していますね．

優関数$g$のとり方

優関数$g$はさまざまなとり方が有り得ます．

例えば，

$\begin{align*} g(x)=\begin{cases}1&(0\le x\le 1)\\\frac{1}{x^2}&(1<x)\end{cases} \end{align*}$

で関数$g:[0,\infty)\to\R$を定めると，この$g$も優関数で可積分となります．

Lebesgueの収束定理を適用するには優関数が１つでも存在することを示せば良いので，このような$g$をとってきても良いわけですね．

参考文献

以下は参考文献です．

ルベグ積分入門

[吉田洋一著/ちくま学芸文庫]

初学者向けに丁寧に書かれたルベーグ積分の入門書です．

初版は1965年でもとは培風館から出版されていましたが，現在は筑摩書房より出版されているロングセラーの教科書です．

現在は文庫ですが内容は培風館の時と同じくきちんと専門的で，文庫になったことで1500円程度とずいぶん安く購入できるようになりました

第１章ではリーマン積分と比べてルベーグ積分がどのように「良い積分」となっているのか説明されているのは初学者がルベーグ積分のイメージをつくる際に役立ちますね．

また，第２章で「集合と写像の基本事項」について説明しており，数学的な基礎が不安な人にも配慮されています．

ルベーグ積分の重要定理である「ルベーグの収束定理」(テキストの表記では「Lebesgueの項別積分定理」)は第５章にあります．

なお，第６章ではルベーグ積分と微分の関係，第７章では多変数のルベーグ積分，第８章以降では速度論の一般論が説明されています．

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