ルベーグ積分の単調収束定理|ルベーグの収束定理の一歩前

関数列$\{f_n\}$に対して,極限$\lim$と積分$\int$の順序交換

\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\int_{A}f_n(x)\,dx =\int_{A}\lim_{n\to\infty}f_n(x)\,dx \end{align*}

はいつでもできるとは限りません.

そこで極限$\lim$と積分$\int$の順序交換ができるとき,関数列$\{f_n\}$は$A$上で項別積分可能であるといいます.

Lebesgue(ルベーグ)積分には項別積分可能であるための十分条件を述べた重要な定理としてLebesgueの収束定理があります.

Lebesgueの収束定理を証明するにはFatou(ファトゥ)の補題を必要としますが,このFatouの補題の証明のためにはルベーグの単調収束定理が必要となります.

Lebesgueの単調収束定理も項別積分定理で,Lebesgueの収束定理が適用できない場合にも使えることもあるので,Lebesgueの収束定理とは別に重要定理として知っておきたいところです(このような例はこの記事の最後に紹介します).

この記事では

  • 級数と積分の順序交換
  • Lebesgueの単調収束定理
  • Lebesgueの単調収束定理の具体例

を説明します.

この記事の積分は全て1次元Lebesgue積分とします.

級数と積分の順序交換

極限$\lim_{n\to\infty}$と積分$\int$の順序交換が無条件できないのと同様に,級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}$と積分$\int$の順序交換も無条件ではできません.

しかし,級数と積分の順序交換ができる条件は非常に簡明で以下のようになります.

[級数と積分の順序交換] $A$を可測集合とする.$A$上の非負値可測関数列$\{f_n\}$に対して,次が成り立つ:

\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}\int_{A}f_n(x)\,dx =\int_{A}\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)\,dx. \end{align*}

有限和の場合には和と積分の順序交換はいつでも可能ですから,[級数と積分の順序交換]は無限和のときに成り立つための十分条件であるということが重要ですね.

Lebesgue積分を考えられるためには可測関数であることは重要ですから,この定理で本質的に重要な役割を果たしているのは「非負値」という部分ですね.

ルベーグの単調収束定理を証明するためにまずこの補題を証明しましょう.

準備

この[級数と積分の順序交換]の証明のためには

  • 単関数近似定理
  • 非負値単関数列に関する項別積分定理

を用います.

[単関数近似定理] $A$を可測集合とする.$A$上の非負値可測関数$f$に対して,$f$に各点収束する非減少な非負値可測単関数列$\{f_n\}$が存在する.すなわち,

  • $f=\lim\limits_{n\to\infty}f_n$が存在する
  • $0\le f_n\le f_{n+1}$ ($n=1,2,\dots$)
  • $f_n$は可測かつ単関数 ($n=1,2,\dots$)

を満たす関数列$\{f_n\}$が存在する.

関数列$\{f_n\}$が非減少であることは「各点で広義単調増加である」とも表現できます.

[単関数の項別積分定理] $A$を可測集合とする.$A$上の非減少な非負値可測単関数列$\{f_n\}$が各点収束する(極限をもつ)とき,次が成り立つ:

\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\int_{A}f_n(x)\,dx =\int_{A}\lim_{n\to\infty}f_n(x)\,dx. \end{align*}

証明

この記事ではこれら[単関数近似定理]と[単関数の項別積分定理]を認めて,[級数と積分の順序交換]を証明します.


$f:=\sum_{n=1}^{\infty}f_n$とする.このとき

\begin{align*} \int_{A}f(x)\,dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{A}f_n(x)\,dx \end{align*}

を示せば良く,これを$\ge$と$\le$の両方が成り立つことから示す.

[1] $f_n$は非負値だから,任意の$N\in\N$に対して

\begin{align*} \int_{A}f(x)\,dx =&\int_{A}\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)\,dx \\\ge&\int_{A}\sum_{n=1}^{N}f_n(x)\,dx =\sum_{n=1}^{N}\int_{A}f_n(x)\,dx \end{align*}

となるから,極限$N\to\infty$をとって

\begin{align*} \int_{A}f(x)\,dx\ge\sum_{n=1}^{\infty}\int_{A}f_n(x)\,dx \end{align*}

が成り立つ.

[2] [単関数近似定理]より,任意の$n\in\N$に対して

  • $f_n=\lim\limits_{n\to\infty}g_n^{(k)}$が存在する
  • $g_n^{(k)}\le g_{n}^{(k+1)}$ ($k=1,2,\dots$)

を満たす非負値可測単関数列$\{g_n^{(k)}\}_k$が存在する.さらに,$h_{\ell}:=\sum_{k=1}^{\ell}g_k^{(\ell)}$とする.

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このとき,$g_k^{(\ell)}$が非負値可測関数だから,これらの和で表される列$h_\ell$も非負値可測関数である.

ここで,$\{h_\ell\}$に[単関数の項別積分定理]を適用するために,

  • $h_\ell\le h_{\ell+1}$ ($\ell=1,2,\dots$)
  • $f=\lim_{\ell\to\infty}h_n$

を示す.

(i) $\{g_k^{(\ell)}\}$は$n$に関して非減少で,$g_{\ell+1}^{(\ell+1)}\ge0$だから

\begin{align*} h_\ell=&\sum_{k=1}^{\ell}g_k^{(\ell)} \le\sum_{k=1}^{\ell}g_k^{(\ell+1)} \\\le&\sum_{k=1}^{\ell+1}g_k^{(\ell+1)} =h_{n+1} \end{align*}

が成り立つ.

(ii) 任意に$\ell\in\N$をとると

\begin{align*} f\ge\sum_{n=1}^{\ell}f_n \ge\sum_{n=1}^{\ell}g_n^{(\ell)} =h_\ell \end{align*}

となるから,極限$\ell\to\infty$をとって$f\ge\lim_{\ell\to\infty}h_\ell$が成り立つ.

また,$m\in\N$を$\ell\ge m$を満たすように任意にとると,$g_k^{(\ell)}$は非負値であることと併せて

\begin{align*} h_\ell=\sum_{k=1}^{\ell}g_k^{(\ell)} \ge\sum_{k=1}^{m}g_k^{(\ell)} \end{align*}

となるので,

\begin{align*} \lim_{\ell\to\infty}h_\ell =&\lim_{m\to\infty}\lim_{\ell\to\infty}h_\ell \\\ge&\lim_{m\to\infty}\lim_{\ell\to\infty}\sum_{k=1}^{m}g_k^{(\ell)} \\\ge&\lim_{m\to\infty}\sum_{k=1}^{m}\lim_{\ell\to\infty}g_k^{(\ell)} \\=&\lim_{m\to\infty}\sum_{k=1}^{m}f_k =\sum_{k=1}^{\infty}f_k =f \end{align*}

が成り立つ.よって,両方の不等式が示されたから$f=\lim_{n\to\infty}h_n$が従う.

(i), (ii)より$\{h_n\}$に[単関数の項別積分定理]が適用できて

\begin{align*} \int_{A}f(x)\,dx =&\lim_{\ell\to\infty}\int_{A}h_\ell(x)\,dx \le\lim_{\ell\to\infty}\int_{A}\sum_{n=1}^{\ell}f_n\,dx \\=&\lim_{\ell\to\infty}\sum_{n=1}^{\ell}\int_{A}f_n\,dx =\sum_{n=1}^{\infty}\int_{A}f_n\,dx \end{align*}

が従う.

大きな流れとしては,$f_1,\dots,f_\ell$それぞれ$\ell$段階目の単関数近似$g_1^{(\ell)},\dots,g_\ell^{(\ell)}$の和が$h_\ell$なので,$\ell\to\infty$で

\begin{align*} h_\ell\to f_1+f_2+\dots=f \end{align*}

となることに注意して,$\{h_\ell\}$に[単関数の項別積分定理]を用いたということになっていますね.

ルベーグの単調収束定理

ルベーグの単調収束定理は非減少な非負値関数列$\{f_n\}$に関する項別積分定理で,本質的にはいま証明した[級数と積分の順序交換]と同じです.

[Lebesgueの単調収束定理] $A$を可測集合とする.$A$上の非減少な非負値可測関数列$\{f_n\}$に対して,次が成り立つ:

\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\int_{A}f_n(x)\,dx =\int_{A}\lim_{n\to\infty}f_n(x)\,dx. \end{align*}

この[Lebesgueの単調収束定理]は先程認めて使った[単関数の項別積分定理]の完全な上位互換になっています.

すなわち,[単関数の項別積分定理]の段階では「非減少な可測単関数列」に対してしか項別積分ができませんでしたが,実は単関数ではなくても「非減少な可測関数列」でさえあれば項別積分可能というのが[Lebesgueの単調収束定理]の素晴らしいところというわけですね.

証明


$m$をLebesgue測度とする.可測集合$A_n$ ($n=1,2,\dots$)と$B$を

\begin{align*} A_n:=\set{x\in A}{f_n(x)=\infty},\quad B:=\bigcup_{n=1}^\infty A_n \end{align*}

で定めると,$A_n\subset A_{n+1}$ ($n=1,2,\dots$)なので$m(B)=\lim_{n\to\infty}m(A_n)$が成り立つ.

以下

  • $m(B)=0$の場合
  • $m(B)>0$の場合

に分けて示す.

[1] $m(B)=0$の場合を考える.$A\setminus B$で

\begin{align*} g_1:=f_1,\quad g_n:=f_n-f_{n-1}\ (n=1,2,\dots) \end{align*}

と定めると,$\{f_n\}$が非減少な非負値可測関数列だから,$g_k$は非負値可測関数である.

また,$f_n=\sum_{k=1}^{n}g_k$となる.

$B$を除いた$A\setminus B$で考えているのは,十分大きな$n$に対して$B$において$g_n=f_n-f_{n-1}$が$\infty-\infty$となって定義できないためである.

$m(B)=0$であることと,$\{g_k\}$に補題の[級数と積分の順序交換]を適用すると

\begin{align*} \int_{A}\lim_{n\to\infty}f_n(x)\,dx =&\int_{A\setminus B}\lim_{n\to\infty}f_n(x)\,dx =\int_{A\setminus B}\sum_{k=1}^{\infty}g_k(x)\,dx \\=&\sum_{k=1}^{\infty}\int_{A\setminus B}g_k(x)\,dx =\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\int_{A\setminus B}g_k(x)\,dx \\=&\lim_{n\to\infty}\int_{A\setminus B}\sum_{k=1}^{n}g_k(x)\,dx \\=&\lim_{n\to\infty}\int_{A\setminus B}f_n(x)\,dx =\lim_{n\to\infty}\int_{A}f_n(x)\,dx \end{align*}

が従う.

[2] $m(B)>0$の場合を考える.

任意の$x\in B$上で$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\infty$だから

\begin{align*} \int_{A}\lim_{n\to\infty}f_n(x)\,dx \ge&\int_{B}\lim_{n\to\infty}f_n(x)\,dx \\=&m(B)\cdot\infty =\infty \end{align*}

となる.また,任意の$R>0$に対して,ある$N\in\N$が存在して,$n>N$なら$f_n(x)>\frac{R}{m(B)}$となるから,$n>N$で

\begin{align*} \int_{A}f_n(x)\,dx \ge&\int_{B}f_n(x)\,dx \ge\int_{B}\frac{R}{m(B)}\,dx \\=&m(B)\cdot\frac{R}{m(B)} =R \end{align*}

となる.すなわち,$\lim_{n\to\infty}\int_{A}f_n(x)\,dx=\infty$だから

\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\int_{A}f_n(x)\,dx =\int_{A}\lim_{n\to\infty}f_n(x)\,dx. \end{align*}

が成り立つ.

証明では$\infty-\infty$を避けるために$m(B)=0$の場合と$m(B)>0$の場合に分けましたが,本質的なイメージは$f_n=\sum_{k=1}^{n}g_k$から[級数と積分の順序交換]を適用するというところです.

つまり,$\{f_n\}$は非減少ですから$f_{n-1}$から$f_n$で増えた分$g_n$を足していけば,非負値可測関数の級数となるので[級数と積分の順序交換]が適用できるという発想ですね.

具体例

[Lebesgueの単調収束定理](より原理的には[級数と積分の順序交換])を用いると,例えば次のようなことが分かります.

$\Q\cap[0,1]=\{r_1,r_2,\dots\}$とする.任意の$n\in\N$に対して,連続関数$f_n:[0,1]\to\R\cup\{\infty\}$を

\begin{align*} f_n(x)=\frac{1}{2^n}\cdot\frac{1}{|x-r_n|^{1/2}} \end{align*}

で定め,$f:=\sum_{n=1}^{\infty}f_n$とすると$f$は$[0,1]$上Lebesgue可積分であることを示せ.

$f_n$は以下のようなグラフをもち,$r_n$で$\infty$に発散しています.

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よって,これらの和である$f$は閉区間$[0,1]$上の全ての有理数で発散しているわけですが,$[0,1]$でLebesgue積分可能となるわけですね.


関数列$\{f_n\}$は$I$上非負可測だから,[級数と積分の順序交換]より

\begin{align*}\int_{[0,1]}f(x)\,dx =&\sum_{n=1}^{\infty}\int_{[0,1]}f_n(x)\,dx \\\le&\sum_{n=1}^{\infty}\int_{[r_n-1,r_n+1]}f_n(x)\,dx \\\le&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\int_{[-1,1]}\frac{1}{|y|^{1/2}}\,dy \\=&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{2^n}\int_{[0,1]}\frac{1}{y^{1/2}}\,dy \\=&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{2^n}=4 \end{align*}

となるので,$f_n$は$[0,1]$上ルベーグ可積分である.

ただし,途中で変数変換$y=x-r_n$を施した.

この解答例から分かるように,1つ1つの$\frac{1}{|x-r_n|^{1/2}}$は$[0,1]$上Lebesgue可積分で,その足し合わせを行うときに$\frac{1}{2^n}$によって$f_n$は指数的に小さくなるので,無限和のLebesgue積分が有限に収まってくれるというわけですね.

参考文献

以下は参考文献です.

ルベグ積分入門

[吉田洋一 著/ちくま学芸文庫]

初学者向けに丁寧に書かれたルベーグ積分の入門書です.

初版は1965年でもとは培風館から出版されていましたが,現在は筑摩書房より出版されているロングセラーの教科書です.

現在は文庫ですが内容は培風館の時と同じくきちんと専門的で,文庫になったことで1500円程度とずいぶん安く購入できるようになりました

第1章ではリーマン積分と比べてルベーグ積分がどのように「良い積分」となっているのか説明されているのは初学者がルベーグ積分のイメージをつくる際に役立ちますね.

また,第2章で「集合と写像の基本事項」について説明しており,数学的な基礎が不安な人にも配慮されています.

ルベーグ積分の重要定理である「ルベーグの収束定理」(テキストの表記では「Lebesgueの項別積分定理」)は第5章にあります.

なお,第6章ではルベーグ積分と微分の関係,第7章では多変数のルベーグ積分,第8章以降では速度論の一般論が説明されています.

最後までありがとうございました!

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