この記事では次の問題を考えましょう.
$n\in\N$とする.極限
を求めよ.
文字$n$が入ったまま$\dint_{0}^{\infty}\dfrac{1}{1+x^n}\,dx$を計算するのは少々面倒なので,工夫して計算したいところです.
そこで積分より先に極限$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{1+x^n}$が計算できればを計算して$n$が消え,あとは普通に積分$\dint_{0}^{\infty}$をすることで値が求められます.
そのため極限$\lim$と積分$\dint$が交換できるための条件があれば嬉しいわけですが,ルベーグ積分にはこの順序交換のための条件を述べた便利な定理があり,それがこの記事のタイトルにもあるLebesgue(ルベーグ)の収束定理です.
この記事では
- Lebesgueの収束定理とはどんな定理か?
- 具体的なLebesgueの収束定理の使い方
を順に説明します.

ルベーグの収束定理
次の極限と積分の順序交換ができるための定理をLebesgueの優収束定理 (dominated convergence theorem)または単にLebesgueの収束定理といいます.
[ルベーグの優収束定理] 可測集合$A$上の可測関数列$\{f_n\}$は$A$上各点収束するとする.このとき,ある$A$上可積分関数$g$が存在して,任意の$n$に対して
を満たすなら,次の等式が成り立つ:
この定理の中で重要なのは
- 任意の$n$と(ほとんど)全ての$x\in A$に対して$|f_n(x)|\le g(x)$
- $A$上可積分:$\int_{A}g(x)\,dx<\infty$
を満たす関数$g$がとれることですね.
つまり,$n$によらず$f_n$たちを上からおさえられる可積分関数$g$をとれれば良いわけですね.
また,この$g$は$n$によらない関数であることに注意してください.
$|f_n|\le g$が成り立つことから,この関数$g$を$\{f_n\}$の優関数といいます.
ルベーグの収束定理の具体例
冒頭に挙げた極限をLebesgueの収束定理を用いて求めましょう.
$n\in\N$とする.極限
を求めよ.
解答例
$n\to\infty$を考えるので$n\ge2$としてよい.
(i) 任意の$n\in\N$に対して,関数$f_n:[0,\infty)\to\R$を
で定める.$f_n$は連続だから可測関数であり,関数列$\{f_n\}$は$n\to\infty$で$[0,\infty)$上で各点収束する:
(ii) また,関数$g:[0,\infty)\to\R$を
で定める.
このとき,$g$, $f_n$はともに単調減少なので,$x\in[0,1]$なら
であり,$x\in(1,\infty)$なら
だから,$[0,\infty)$上で$|f_n|\le g$が成り立つ.
(iii) $g$は$[0,\infty)$上で可積分である:
(i)-(iii)から,Lebesgueの収束定理を適用できて,問題の極限は
を得る.
$f_n(x)=\frac{1}{1+x^n}$とみて
- (i)で$\{f_n\}$が各点収束すること
- (ii)で$g$が$\{f_n\}$の優関数であること
- (iii)で$g$が可積分であること
を示していますね.
優関数$g$のとり方
優関数$g$はさまざまなとり方が有り得ます.
例えば,
で関数$g:[0,\infty)\to\R$を定めると,この$g$も優関数で可積分となります.
Lebesgueの収束定理を適用するには優関数が1つでも存在することを示せば良いので,この$g$をとってきても良いわけですね.
参考文献
以下は参考文献です.
ルベグ積分入門
[吉田洋一 著/ちくま学芸文庫]
初学者向けに丁寧に書かれたルベーグ積分の入門書です.
初版は1965年でもとは培風館から出版されていましたが,現在は筑摩書房より出版されているロングセラーの教科書です.
現在は文庫ですが内容は培風館の時と同じくきちんと専門的で,文庫になったことで1500円程度とずいぶん安く購入できるようになりました
第1章ではリーマン積分と比べてルベーグ積分がどのように「良い積分」となっているのか説明されており,初学者がルベーグ積分のイメージをつくる際に役立ちます.
また,第2章で「集合と写像の基本事項」について説明しており,数学的な基礎が不安な人にも配慮されています.
ルベーグ積分の重要定理である「ルベーグの収束定理」(テキストの表記では「Lebesgueの項別積分定理」)は第5章にあります.
なお,第6章ではルベーグ積分と微分の関係,第7章では多変数のルベーグ積分,第8章以降では測度論の一般論が説明されています.
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