ルベーグの収束定理の練習<br>具体例から使い方を理解する

この記事では次の極限を考えます：

$\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^n}\,dx \end{align*}$

文字$n$が入ったまま$\dint_{0}^{\infty}\dfrac{1}{1+x^n}\,dx$を計算するのは少々面倒なので，工夫して計算したいところです．

もし極限$\lim\limits_{n\to\infty}$と積分$\dint_{0}^{\infty}$の順序を交換できれば，先に極限$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{1+x^n}$を計算して$n$が消え，あとは普通に積分$\dint_{0}^{\infty}$をすることで値が求められます．

そのため極限$\lim$と積分$\dint$が交換できるための条件があれば嬉しいわけですが，ルベーグ積分にはこの順序交換のための条件を述べた便利な定理があり，それがこの記事のタイトルにもあるLebesgue(ルベーグ)の優収束定理です．

この記事ではLebesgueの収束定理を紹介して，上の極限を具体例としてLebesgueの収束定理の使い方を説明します．

【ルベーグ積分の単調収束定理｜ルベーグの収束定理の一歩前】

汎用性はルベーグの優収束定理に劣るものの，重要度としては引けをとらない定理としてルベーグの単調収束定理があります．この記事では，ルベーグの単調収束定理の証明をし，閉区間$[0,1]$上の全ての有理数で発散するがルベーグ可積分な関数(！)を紹介します．

1 解説動画
2 ルベーグの収束定理
3 ルベーグの収束定理の具体例
- 3.1 解答例
- 3.2 優関数$g$のとり方
4 参考文献
- 4.1 ルベグ積分入門

解説動画

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【ルベーグの収束定理】「積分」と「極限」の順序交換のための定理！ルベーグ積分の便利さを知って欲しい(10分55秒)

【1分問題解説】ルベーグの収束定理 (1分00秒)

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ルベーグの収束定理

次の極限と積分の順序交換ができるための定理をLebesgueの優収束定理 (dominated convergence theorem)または単にLebesgueの収束定理といいます．

[ルベーグの優収束定理]　可測集合$A$上の可測関数列$\{f_n\}$は$A$上各点収束するとする．このとき，ある$A$上可積分関数$g$が存在して，任意の$n$に対して

$\begin{align*} |f_n(x)|\le g(x)\quad \mrm{a.e.}\ x\in A \end{align*}$

を満たすなら，次の等式が成り立つ：

$\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\int_{A}f_n(x)\,dx =\int_{A}\lim_{n\to\infty}f_n(x)\,dx. \end{align*}$

この定理の中で重要なのは

任意の$n$と(ほとんど)全ての$x\in A$に対して$|f_n(x)|\le g(x)$
$A$上可積分：$\int_{A}g(x)\,dx<\infty$

を満たす関数$g$がとれることですね．

つまり，$n$によらず$f_n$たちを上からおさえられる可積分関数$g$をとれれば良いわけですね．

また，この$g$は$n$によらない関数であることに注意してください．

$|f_n|\le g$が成り立つことから，この関数$g$を$\{f_n\}$の優関数といいます．

ルベーグの収束定理の具体例

冒頭に挙げた極限をLebesgueの収束定理を用いて求めましょう．

$n\in\N$とする．極限

$\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^{n}}\,dx \end{align*}$

を求めよ．

解答例

解答を表示

$n\to\infty$を考えるので$n\ge2$としてよい．

(i)　任意の$n\in\N$に対して，関数$f_n:[0,\infty)\to\R$を

$\begin{align*} f_n(x):=\frac{1}{1+x^{n}} \end{align*}$

で定める．$f_n$は連続だから可測関数であり，関数列$\{f_n\}$は$n\to\infty$で$[0,\infty)$上で各点収束する：

$\begin{align*} \lim_{n\to\infty}f_n(x)=\begin{cases}1&x\in[0,1),\\\frac{1}{2}&x=1,\\0&x\in(1,\infty)\end{cases} \end{align*}$

(ii)　また，関数$g:[0,\infty)\to\R$を

$\begin{align*} g(x):=\frac{2}{1+x^{2}} \end{align*}$

で定める．

このとき，$g$, $f_n$はともに単調減少なので，$x\in[0,1]$なら

$\begin{align*} |f_n(x)|\le f_n(0)=1=g(1)\le g(x) \end{align*}$

であり，$x\in(1,\infty)$なら

$\begin{align*} |f_n(x)|\le\frac{1}{1+x^{2}}<g(x) \end{align*}$

だから，$[0,\infty)$上で$|f_n|\le g$が成り立つ．

(iii)　$g$は$[0,\infty)$上で可積分である：

$\begin{align*} \int_{0}^{\infty}g(x)\,dx =\brc{2\tan^{-1}{x}}_{0}^{\infty} =\pi<\infty \end{align*}$

(i)-(iii)から，Lebesgueの収束定理を適用できて，問題の極限は

$\begin{align*} &\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{\infty}f_n(x)\,dx =\int_{0}^{\infty}\lim_{n\to\infty}f_n(x)\,dx \\=&\int_{[0,1)}1\,dx+\int_{\{1\}}\frac{1}{2}\,dx+\int_{(1,\infty)}0\,dx \\=&1+0+0=1 \end{align*}$

を得る．

$f_n(x)=\frac{1}{1+x^n}$とみて

(i)で$\{f_n\}$が各点収束すること
(ii)で$g$が$\{f_n\}$の優関数であること
(iii)で$g$が可積分であること

を示していますね．

優関数$g$のとり方

優関数$g$はさまざまなとり方が有り得ます．

例えば，

$\begin{align*} g(x)=\begin{cases}1&(0\le x\le 1)\\\frac{1}{x^2}&(1<x)\end{cases} \end{align*}$

で関数$g:[0,\infty)\to\R$を定めると，この$g$も優関数で可積分となります．

Lebesgueの収束定理を適用するには優関数が１つでも存在することを示せば良いので，この$g$をとってきても良いわけですね．

参考文献

以下は参考文献です．

ルベグ積分入門

[吉田洋一著/ちくま学芸文庫]

初学者向けに丁寧に書かれたルベーグ積分の入門書です．

初版は1965年でもとは培風館から出版されていましたが，現在は筑摩書房より出版されているロングセラーの教科書です．

現在は文庫ですが内容は培風館の時と同じくきちんと専門的で，文庫になったことで1500円程度とずいぶん安く購入できるようになりました

第１章ではリーマン積分と比べてルベーグ積分がどのように「良い積分」となっているのか説明されているのは初学者がルベーグ積分のイメージをつくる際に役立ちますね．

また，第２章で「集合と写像の基本事項」について説明しており，数学的な基礎が不安な人にも配慮されています．

ルベーグ積分の重要定理である「ルベーグの収束定理」(テキストの表記では「Lebesgueの項別積分定理」)は第５章にあります．

なお，第６章ではルベーグ積分と微分の関係，第７章では多変数のルベーグ積分，第８章以降では測度論の一般論が説明されています．

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