ルベーグの単調収束定理|重要な項別積分定理の具体例と証明

ルベーグ積分
ルベーグ積分

関数列$\{f_n\}$に対して,極限$\lim$と積分$\dint$の順序交換

   \begin{align*}\lim_{n\to\infty}\int_{A}f_n(x)\,dx=\int_{A}\lim_{n\to\infty}f_n(x)\,dx\end{align*}

はいつでもできるとは限らず,極限$\lim\limits_{n\to\infty}$と積分$\dint_{A}$の順序交換ができるとき関数列$\{f_n\}$は$A$上で項別積分可能であるといいます.

ルベーグ(Lebesgue)積分にはルベーグの単調収束定理と呼ばれる項別積分可能であるための条件を述べた定理があります.

この記事では

  • 級数と積分の順序交換
  • ルベーグの単調収束定理
  • ルベーグの単調収束定理の具体例

を説明します.

なお,この記事の積分は全て1次元ルベーグ積分とします.

ルベーグ積分の参考文献

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ルベグ積分入門

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ルベーグ積分と関数解析

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級数と積分の順序交換

ルベーグの単調収束定理の証明のために,次の級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}$と積分$\dint_{A}$の順序交換に関する補題を示しましょう.

[級数と積分の順序交換] $A$を可測集合とする.$A$上の非負値可測関数列$\{f_n\}$に対して,

   \begin{align*}\sum_{n=1}^{\infty}\int_{A}f_n(x)\,dx=\int_{A}\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)\,dx\end{align*}

が成り立つ.

$f_n$が可測関数であることはルベーグ積分を考えるために必須なので,重要なのは「非負値」という部分ですね.

準備

この[級数と積分の順序交換]の証明のためには

  • 単関数近似定理
  • 非負値単関数列に関する項別積分定理

を用います.

[単関数近似定理] 可測集合$A$上の非負ルベーグ可測関数$f$に対して,ある非負単関数列$\{f_n\}$が存在して,

  1. 任意の$n$に対して$f_n$はルベーグ可測関数
  2. $\{f_n\}$は広義単調増加
  3. $\lim\limits_{n\to\infty}f_n=f$

が成り立つ.

この単関数近似定理について詳しくは以下の記事を参照してください.

ルベーグ積分10|ルベーグ可測関数を単関数列で近似する
ルベーグ可測関数は単関数で近似することができ,ルベーグ積分はこの事実をもとに定義されます.この記事では,ルベーグ積分の定義のために「可測関数の単関数近似定理」を説明します.

[単関数の項別積分定理] $A$を可測集合とする.$A$上の非減少な非負値可測単関数列$\{f_n\}$が各点収束するとき,

   \begin{align*}\lim_{n\to\infty}\int_{A}f_n(x)\,dx=\int_{A}\lim_{n\to\infty}f_n(x)\,dx\end{align*}

が成り立つ

証明

この記事ではこれら[単関数近似定理]と[単関数の項別積分定理]を認めて,[級数と積分の順序交換]を証明します.

[級数と積分の順序交換(再掲)] $A$を可測集合とする.$A$上の非負値可測関数列$\{f_n\}$に対して,

   \begin{align*}\sum_{n=1}^{\infty}\int_{A}f_n(x)\,dx=\int_{A}\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)\,dx\end{align*}

が成り立つ.


$f:=\sum_{n=1}^{\infty}f_n$とする.このとき

   \begin{align*}\int_{A}f(x)\,dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{A}f_n(x)\,dx\end{align*}

を示せば良く,これを$\ge$と$\le$の両方が成り立つことから示す.

[1] $f_n$は非負値だから,任意の$N\in\N$に対して

   \begin{align*}\int_{A}f(x)\,dx =&\int_{A}\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)\,dx \\\ge&\int_{A}\sum_{n=1}^{N}f_n(x)\,dx =\sum_{n=1}^{N}\int_{A}f_n(x)\,dx\end{align*}

となるから,極限$N\to\infty$をとって

   \begin{align*}\int_{A}f(x)\,dx\ge\sum_{n=1}^{\infty}\int_{A}f_n(x)\,dx\end{align*}

が成り立つ.

[2] [単関数近似定理]より,任意の$n\in\N$に対して

  • $f_n=\lim\limits_{n\to\infty}g_n^{(k)}$が存在する
  • $g_n^{(k)}\le g_{n}^{(k+1)}$ ($k=1,2,\dots$)

を満たす非負値可測単関数列$\{g_n^{(k)}\}_k$が存在する.さらに,$h_{\ell}:=\sum_{k=1}^{\ell}g_k^{(\ell)}$とする.

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このとき,$g_k^{(\ell)}$が非負値可測関数だから,これらの和で表される列$h_\ell$も非負値可測関数である.

ここで,$\{h_\ell\}$に[単関数の項別積分定理]を適用するために,

  • $h_\ell\le h_{\ell+1}$ ($\ell=1,2,\dots$)
  • $f=\lim_{\ell\to\infty}h_n$

を示す.

(i) $\{g_k^{(\ell)}\}$は$n$に関して非減少で,$g_{\ell+1}^{(\ell+1)}\ge0$だから

   \begin{align*}h_\ell =&\sum_{k=1}^{\ell}g_k^{(\ell)} \le\sum_{k=1}^{\ell}g_k^{(\ell+1)} \\\le&\sum_{k=1}^{\ell+1}g_k^{(\ell+1)} =h_{n+1}\end{align*}

が成り立つ.

(ii) 任意に$\ell\in\N$をとると

   \begin{align*}f\ge\sum_{n=1}^{\ell}f_n\ge\sum_{n=1}^{\ell}g_n^{(\ell)}=h_\ell\end{align*}

となるから,極限$\ell\to\infty$をとって$f\ge\lim_{\ell\to\infty}h_\ell$が成り立つ.

また,$m\in\N$を$\ell\ge m$を満たすように任意にとると,$g_k^{(\ell)}$は非負値であることと併せて

   \begin{align*}h_\ell=\sum_{k=1}^{\ell}g_k^{(\ell)}\ge\sum_{k=1}^{m}g_k^{(\ell)}\end{align*}

となるので,

   \begin{align*}\lim_{\ell\to\infty}h_\ell =&\lim_{m\to\infty}\lim_{\ell\to\infty}h_\ell \\\ge&\lim_{m\to\infty}\lim_{\ell\to\infty}\sum_{k=1}^{m}g_k^{(\ell)} \\\ge&\lim_{m\to\infty}\sum_{k=1}^{m}\lim_{\ell\to\infty}g_k^{(\ell)} \\=&\lim_{m\to\infty}\sum_{k=1}^{m}f_k =\sum_{k=1}^{\infty}f_k =f\end{align*}

が成り立つ.よって,両方の不等式が示されたから$f=\lim_{n\to\infty}h_n$が従う.

(i), (ii)より$\{h_n\}$に[単関数の項別積分定理]が適用できて

   \begin{align*}\int_{A}f(x)\,dx =&\lim_{\ell\to\infty}\int_{A}h_\ell(x)\,dx \le\lim_{\ell\to\infty}\int_{A}\sum_{n=1}^{\ell}f_n\,dx \\=&\lim_{\ell\to\infty}\sum_{n=1}^{\ell}\int_{A}f_n\,dx =\sum_{n=1}^{\infty}\int_{A}f_n\,dx\end{align*}

が従う.

大きな流れとしては,$f_1,\dots,f_\ell$それぞれ$\ell$段階目の単関数近似$g_1^{(\ell)},\dots,g_\ell^{(\ell)}$の和が$h_\ell$なので,$\ell\to\infty$で

   \begin{align*}h_\ell\to f_1+f_2+\dots=f\end{align*}

となることに注意して,$\{h_\ell\}$に[単関数の項別積分定理]を用いたということになっていますね.

ルベーグの単調収束定理

ルベーグの単調収束定理は非減少な非負値関数列$\{f_n\}$に関する項別積分定理で,本質的にはいま証明した[級数と積分の順序交換]と同じです.

[ルベーグの単調収束定理] $A$を可測集合とする.$A$上の非減少な非負値可測関数列$\{f_n\}$に対して,次が成り立つ:

   \begin{align*}\lim_{n\to\infty}\int_{A}f_n(x)\,dx=\int_{A}\lim_{n\to\infty}f_n(x)\,dx.\end{align*}

この[ルベーグの単調収束定理]は先程認めて使った[単関数の項別積分定理]の完全な上位互換になっています.

すなわち,[単関数の項別積分定理]の段階では「非減少な可測単関数列」に対してしか項別積分ができませんでしたが,実は単関数ではなくても「非減少な可測関数列」でさえあれば項別積分可能というのが[ルベーグの単調収束定理]の素晴らしいところというわけですね.

証明


$m$をルベーグ測度とする.可測集合$A_n$ ($n=1,2,\dots$)と$B$を

   \begin{align*}A_n:=\set{x\in A}{f_n(x)=\infty},\quad B:=\bigcup_{n=1}^\infty A_n\end{align*}

で定めると,$A_n\subset A_{n+1}$ ($n=1,2,\dots$)なので$m(B)=\lim_{n\to\infty}m(A_n)$が成り立つ.

以下

  • $m(B)=0$の場合
  • $m(B)>0$の場合

に分けて示す.

[1] $m(B)=0$の場合を考える.$A\setminus B$で

   \begin{align*}g_1:=f_1,\quad g_n:=f_n-f_{n-1}\ (n=1,2,\dots)\end{align*}

と定めると,$\{f_n\}$が非減少な非負値可測関数列だから,$g_k$は非負値可測関数である.

また,$f_n=\sum_{k=1}^{n}g_k$となる.

$B$を除いた$A\setminus B$で考えているのは,十分大きな$n$に対して$B$において$g_n=f_n-f_{n-1}$が$\infty-\infty$となって定義できないためである.

$m(B)=0$であることと,$\{g_k\}$に補題の[級数と積分の順序交換]を適用すると

   \begin{align*}\int_{A}\lim_{n\to\infty}f_n(x)\,dx =&\int_{A\setminus B}\lim_{n\to\infty}f_n(x)\,dx =\int_{A\setminus B}\sum_{k=1}^{\infty}g_k(x)\,dx \\=&\sum_{k=1}^{\infty}\int_{A\setminus B}g_k(x)\,dx =\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\int_{A\setminus B}g_k(x)\,dx \\=&\lim_{n\to\infty}\int_{A\setminus B}\sum_{k=1}^{n}g_k(x)\,dx \\=&\lim_{n\to\infty}\int_{A\setminus B}f_n(x)\,dx =\lim_{n\to\infty}\int_{A}f_n(x)\,dx\end{align*}

が従う.

[2] $m(B)>0$の場合を考える.

任意の$x\in B$上で$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\infty$だから

   \begin{align*}\int_{A}\lim_{n\to\infty}f_n(x)\,dx \ge&\int_{B}\lim_{n\to\infty}f_n(x)\,dx \\=&m(B)\cdot\infty =\infty\end{align*}

となる.また,任意の$R>0$に対して,ある$N\in\N$が存在して,$n>N$なら$f_n(x)>\frac{R}{m(B)}$となるから,$n>N$で

   \begin{align*}\int_{A}f_n(x)\,dx \ge&\int_{B}f_n(x)\,dx \ge\int_{B}\frac{R}{m(B)}\,dx \\=&m(B)\cdot\frac{R}{m(B)} =R\end{align*}

となる.すなわち,$\lim_{n\to\infty}\int_{A}f_n(x)\,dx=\infty$だから

   \begin{align*}\lim_{n\to\infty}\int_{A}f_n(x)\,dx=\int_{A}\lim_{n\to\infty}f_n(x)\,dx\end{align*}

が成り立つ.

証明では$\infty-\infty$を避けるために$m(B)=0$の場合と$m(B)>0$の場合に分けましたが,本質的なイメージは$f_n=\sum_{k=1}^{n}g_k$から[級数と積分の順序交換]を適用するというところです.

つまり,$\{f_n\}$は非減少ですから$f_{n-1}$から$f_n$で増えた分$g_n$を足していけば,非負値可測関数の級数となるので[級数と積分の順序交換]が適用できるという発想ですね.

具体例

[ルベーグの単調収束定理](より原理的には最初の[級数と積分の順序交換])を用いると,例えば次のようなことが分かります.

$\Q\cap[0,1]=\{r_1,r_2,\dots\}$とする.任意の$n\in\N$に対して,連続関数$f_n:[0,1]\to\R\cup\{\infty\}$を

   \begin{align*}f_n(x)=\frac{1}{2^n}\cdot\frac{1}{|x-r_n|^{1/2}}\end{align*}

で定め,$f:=\sum_{n=1}^{\infty}f_n$とすると$f$は$[0,1]$上ルベーグ可積分であることを示せ.

$f_n$は以下のようなグラフをもち,$r_n$で$\infty$に発散しています.

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よって,これらの和である$f$は閉区間$[0,1]$上の全ての有理数で発散しているわけですが,$[0,1]$でルベーグ積分可能となるわけですね.


関数列$\{f_n\}$は$I$上非負可測だから,[級数と積分の順序交換]より

   \begin{align*}\int_{[0,1]}f(x)\,dx =&\sum_{n=1}^{\infty}\int_{[0,1]}f_n(x)\,dx \\\le&\sum_{n=1}^{\infty}\int_{[r_n-1,r_n+1]}f_n(x)\,dx \\\le&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\int_{[-1,1]}\frac{1}{|y|^{1/2}}\,dy \\=&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{2^n}\int_{[0,1]}\frac{1}{y^{1/2}}\,dy \\=&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{2^n}=4\end{align*}

となるので,$f_n$は$[0,1]$上ルベーグ可積分である.

ただし,途中で変数変換$y=x-r_n$を施した.

この解答例から分かるように,1つ1つの$\frac{1}{|x-r_n|^{1/2}}$は$[0,1]$上ルベーグ可積分で,その足し合わせを行うときに$\frac{1}{2^n}$によって$f_n$は指数的に小さくなるので,無限和のルベーグ積分が有限に収まってくれるというわけですね.

管理人

プロフィール

山本やまもと 拓人たくと

元予備校講師.講師として駆け出しの頃から予備校の生徒アンケートで抜群の成績を残し,通常の8倍の報酬アップを提示されるなど頭角を表す.

飛び級・首席合格で大学院に入学しそのまま首席修了するなど数学の深い知識をもち,本質をふまえた分かりやすい授業に定評がある.

現在はオンライン家庭教師,社会人向け数学教室での講師としての教育活動とともに,京都大学で数学の研究も行っている.専門は非線形偏微分方程式論.大学数学系YouTuberとしても活動中.

趣味は数学,ピアノ,甘いもの食べ歩き.公式LINEを友達登録で【限定プレゼント】配布中.

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