収束しない実数列|実数列の3種類の発散と証明の例題

微分積分学の基本
微分積分学の基本

実数列$\{a_n\}$が収束しないとき$\{a_n\}$は発散するといいますが,高校数学でも学ぶように実数列の発散は

  • 正の無限大$\infty$に発散
  • 負の無限大$-\infty$に発散
  • 振動

の3種類に分けられます.

実数列の収束ε-N論法により厳密に定義できたように,実数列の発散もε-N論法と同様の考え方により厳密に定義できます.

この記事では

  • 実数列の3種類の発散の厳密な定義
  • 発散する実数列の具体例

を順に説明します.

微分積分学の参考文献

以下は微分積分学に関するオススメの教科書です.

微分積分学(笠原晧司 著)

数学科など理論系の学生向けの微分積分学の入門書です.基本的な例から発展的な例まで扱われており,バランスの良い教科書です.

実数列の3種類の発散の厳密な定義

まずは3種類の実数列の発散の定義を説明します.

正の無限大$\infty$への発散

具体例から考えてみましょう.

一般項$a_n=n^2$で定まる実数列$\{a_n\}$を考える.

$a_n>1000000$となるには$n$をどんな実数より大きくすればよいか?

この問題は簡単ですね.

$a_n=n^2$, $n>0$だから,

    \begin{align*}a_n>1000000\iff n>1000\end{align*}

なので,例えば$n$を1000より大きくすればよい.

いまの問題は$a_n>1000000$でしたが,「$a_n>10^{100}$となるには$n$をどんな実数より大きくすればよいか?」という問題に変わっても,同じように解けますね.

つまり,どんな$R>0$に対しても,$n$が十分大きいところで常に$a_n>R$となるようにできますね.

この性質をもつ数列は正の無限大$\infty$に発散すると言います.

実数列$\{a_n\}$が(正の)無限大$\infty$に発散するとは,任意の$R>0$に対して,ある$N\in\N$が存在して,

    \begin{align*}n>N\Ra a_n>R\end{align*}

が成り立つことをいう.また,このとき$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\infty$や$a_n\to\infty$ ($n\to\infty$)などと表す.

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全称記号$\forall$と存在記号$\exists$を用いれば,上の定義は

    \begin{align*}\forall R>0\quad\exists N\in\N\quad\text{s.t.}\quad[n>N\Ra a_n>R]\end{align*}

とも表せますね.

少し砕けた言い方をすれば,実数列$\{a_n\}$が正の無限大$\infty$に発散するとは「どんなに大きな正の数$R$に対しても,十分大きな正の整数$N$をうまくとって,$n>N\Ra a_n>R$が成り立つようにできる」ということになります.

また,上の具体例からも分かるように,$N$は$R$に応じて決めてよいという点は大切です.

ε-N論法による実数列の収束の定義と考え方は似ていますね.

負の無限大$-\infty$への発散

正の無限大$\infty$への発散と同様ですが,ここでも具体例から考えてみましょう.

一般項$a_n=-\dfrac{1}{2}n$で定まる実数列$\{a_n\}$を考える.

$a_n<-10000$となるには$n$をどんな実数より大きくすればよいか?

この問題も簡単ですね.

$a_n=-\dfrac{1}{2}n$だから,

    \begin{align*}a_n<-10000\iff n>20000\end{align*}

なので,例えば$n$を20000より大きくすればよい.

先ほどと同じように,どんな$S<0$に対しても,$n$が十分大きいところで常に$a_n<S$となるようにできますね.

この性質をもつ数列は負の無限大$-\infty$に発散すると言います.

実数列$\{a_n\}$が負の無限大$-\infty$に発散するとは,任意の$S<0$に対して,ある$N\in\N$が存在して,

    \begin{align*}n>N\Ra a_n<S\end{align*}

が成り立つことをいう.また,このとき$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=-\infty$や$a_n\to-\infty$ ($n\to\infty$)などと表す.

こちらも実数列$\{a_n\}$が負の無限大$-\infty$に発散するとは「どんなに小さな負の数$S$に対しても,十分大きな正の整数$N$をうまくとって,$n>N\Ra a_n<S$が成り立つようにできる」といえますね.

また,上の具体例からも分かるように,$N$は$S$に応じて決めてよいという点は大切です.

振動

振動は次で定義されます.

実数列$\{a_n\}$が振動するとは,$\{a_n\}$は発散する(収束しない)が,正の無限大$\infty$にも負の無限大$-\infty$にも発散しないことをいう.

「発散」という言葉からは「どこかに飛んでいく」ようなイメージを持ちそうですが,収束しない数列は全て発散するということに注意してください.

発散の中でも

  • 項がどこまでも大きくなっていく正の無限大$\infty$への発散
  • 項がどこまでも小さくなっていく負の無限大$-\infty$への発散

が定義されるわけですが,そのどちらでもない発散もあり得ます.そのような「残りモノ」の発散を振動というわけですね.

発散する実数列の具体例

具体的に3種類の発散を定義に従ってきちんと示しましょう.

例1(無限大$\infty$に発散)

一般項$a_n=n^2$で定まる実数列$\{a_n\}$が$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\infty$となることを示せ.

任意に$R>0$をとる.$N$を$\sqrt{R}$以上の最小の整数とすると,$n>N$なら

    \begin{align*}a_n=n^2>N^2\ge R\end{align*}

となるので,実数列$\{a_n\}$は無限大$\infty$に発散する.

一般に$x\in\R$以上の最小の整数は$\lceil x\rceil$と表し,この関数$\lceil\cdot\rceil$を天井関数といいます.よって,いまの解答の$N$は$N=\left\lceil\sqrt{R}\right\rceil$と表せます.

初手として,任意の$R>0$をとるのは鉄板です.

この$R$に対して,どれくらい大きな$N\in\N$をとれば良いのかが問題となるわけですが,$N^2\ge R$を解くと$N\ge\sqrt{R}$となります.

よって,$N\ge\sqrt{R}$となる正の整数$N$を取ればよいので,$N$を$\sqrt{R}$以上の最小の整数$\left\lceil\sqrt{R}\right\rceil$としたわけですね.

例2(負の無限大$-\infty$に発散)

一般項$a_n=-n^2-n$で定まる実数列$\{a_n\}$が$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=-\infty$となることを示せ.

任意に$S<0$をとる.$N$を$\sqrt{-S}$以上の最小の整数とすると,$n>N$なら

    \begin{align*}a_n=-n^2-n<-n^2<-N^2\le S\end{align*}

となるので,実数列$\{a_n\}$は負の無限大$-\infty$に発散する.

やはり負の無限大$-\infty$への発散を示す際も,任意の$S<0$を初手にとるのは鉄板です.

今回は$n>N\Ra-n^2-n<S$となる$N\in\N$を考えればいいわけですが,$-N^2-N<S$を解くのは少し面倒です(解いても構いません).

そこで,$a_n<-n^2$と少し緩めて解きやすい$-N^2\ge S$に持ち込み,この解$N\ge\sqrt{-S}$から$N=\left\lceil\sqrt{-S}\right\rceil$とおいたわけですね.

例3(振動)

一般項$a_n=(-1)^{n}n$で定まる実数列$\{a_n\}$が振動することを示せ.

どんどん振り幅が大きくなっていくので振動しそうですね.振動は「残りモノ」の発散なので,

  • 収束しない
  • 正の無限大$\infty$に発散する
  • 負の無限大$-\infty$に発散する

の3つを示せばいいですね.

実数列$\{a_n\}$が収束せず,正の無限大$\infty$にも負の無限大$-\infty$にも発散しないことを示せばよい.

収束しないことの証明

背理法により示す.実数列$\{a_n\}$が$\alpha$に収束すると仮定すると,任意の$\epsilon>0$に対して,ある$N\in\N$が存在して,

    \begin{align*}n>N\Ra|a_n-\alpha|<\epsilon\end{align*}

が成り立つ.$\epsilon$は任意なので,$\epsilon=1$として$n=N+1,N+2$の場合を考えると

    \begin{align*}|a_{N+1}-\alpha|<1,\quad |a_{N+2}-\alpha|<1\end{align*}

が成り立つので,

    \begin{align*}|a_{N+1}-a_{N+2}|=&|(a_{N+1}-\epsilon)-(a_{N+2}-\epsilon)| \\\le&|a_{N+1}-\epsilon|+|a_{N+2}-\epsilon|<2\end{align*}

となる.ただし,$x,y\in\R$に対して,三角不等式$|x+y|\le|x|+|y|$が成り立つことを用いた.一方,

    \begin{align*}|a_{N+1}-a_{N+2}|=|(-1)^{N+1}(N+1)-(-1)^{N+2}(N+2)|=2N+3\end{align*}

であるが,$2N+3<1$は成り立たないから矛盾である.よって,実数列$\{a_n\}$は収束しない.

正の無限大$\infty$には発散しないことの証明

背理法により示す.$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\infty$と仮定すると,任意の$R>0$に対して,ある$N\in\N$が存在して,

    \begin{align*}n>N\Ra a_n>R\end{align*}

が成り立つ.しかし,$a_{N+1}$と$a_{N+2}$のいずれか一方は負だから矛盾である.

よって,実数列$\{a_n\}$は無限大$\infty$には発散しない.

負の無限大$-\infty$に発散しないことの証明

背理法により示す.$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=-\infty$と仮定すると,任意の$S<0$に対して,ある$N\in\N$が存在して,

    \begin{align*}n>N\Ra a_n<S\end{align*}

が成り立つ.しかし,$a_{N+1}$と$a_{N+2}$のいずれか一方は正だから矛盾である.

よって,実数列$\{a_n\}$は負の無限大$-\infty$には発散しない.

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