偏微分方程式

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シュレディンガー方程式のストリッカーツ評価の導出

本稿では,Schrödinger(シュレディンガー)方程式に関する不等式評価であるStrichartz評価とその証明を解説する.

Strichartz(ストリッカーツ)評価は,波動方程式に関する不等式評価であるStrichartz-Brenner評価に対応し,歴史的にはStrichartz-Brenner評価の方が古い.

Strichartz評価の証明のためには,「自由Schrödinger発展作用素e^{it\Delta}の分散型評価(分散評価)」と「Hardy-Littlewood-Sobolervの不等式」を用いることになる.

なお,自由Schrödinger発展作用素e^{it\Delta}は,初期値u_0に対して自由Schrödinger方程式

i\partial_t{u}+\Delta{u}=0

の解e^{it\Delta}u_0を表す作用素e^{it\Delta}のことである.

【参考記事:自由シュレディンガー方程式の解の性質

Strichartz評価はSchrödinger方程式の評価をする上で,非常に重要な役割を果たす.

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自由シュレディンガー方程式の解の性質

自由Schrödinger(シュレディンガー)方程式の初期値問題

\begin{cases} i\partial_{t}u(t,x)+\Delta_x u(t,x)=0& (t,x)\in\R\times\R^{N}\\ u(0,x)=u_{0}(x)& x\in\R^{N} \end{cases}

を考える.ここに,iは虚数単位,\partial_{t}=\frac{\partial}{\partial t}\Delta_x=\sum_{i=1}^{N}\frac{\partial^2}{\partial x_{i}^2}である.

自由Schrödinger方程式の初期値問題の解uは,[Stoneの定理]を用いてu(t,x)=e^{it\Delta}u_0(x)と表すことができ,このe^{it\Delta}を自由Schrödinger発展作用素という.

この記事では,自由Schrödinger発展作用素e^{it\Delta}の基本性質について説明する.

ただし,本稿ではFourier変換\mathcal{F},逆Fourier変換\mathcal{F}^{-1}をそれぞれ次で定義する:

\hat{u}(\xi)=\mathcal{F}_{x}[u](\xi)=\f{1}{(2\pi)^{N/2}}\dint_{\R^N}e^{-ix\cdot\xi}u(x)\,dx
\check{u}(x)=\mathcal{F}_{\xi}^{-1}[u](x)=\f{1}{(2\pi)^{N/2}}\dint_{\R^N}e^{ix\cdot\xi}u(\xi)\,d\xi

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