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曲線曲面論一覧

フルネ-セレの公式の導出|曲線に関するベクトルの関係式

3次元ユークリッド空間\R^3上のtをパラメータとする十分滑らかな曲線C:r=r(t)を考えます.このとき,

  • 曲線Cの「進む向き」を表す接ベクトルv_1(t)
  • 曲線Cの「曲がる向き」を表す法線ベクトルv_2(t)
  • 曲線Cの「捻れる向き」を表す従法線ベクトルv_3(t)

を考えることができます.

このとき,v_1(t), v_2(t), v_3(t)とそれらのtに関する導関数{v_1}'(t), {v_2}'(t), {v_3}'(t)との関係をFrenet(フルネ)-Serret(セレ)の公式といいます.

Frenet-Serretの公式は,1847年にジャン・フレデリック・フルネ(Jean Frédéric Frenet)によって,1851年にジョセフ・アルフレッド・セレ(Joseph Alfred Serret)によって,それぞれ独立に発見されました.

この記事では,Frenet-Serretの公式の導出について書きます.

なお,線形代数を解析的に扱うので,大学の最初の1年で習う線形代数と解析にある程度慣れていることが望まれますが,それほど難しいわけではありません.

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