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H26院試/京都大学/数学・数理解析専攻/基礎科目I

平成26年度/京都大学大学院/理学研究科/数学・数理解析専攻の大学院入試問題の「基礎科目I」の解答の方針と解答です.

ただし,採点基準などは公式に発表されていないため,ここでの解答が必ずしも正解とならない場合もあり得るので注意してください.

なお,過去問は京都大学のホームページから入手できます.

【参考:京都大学数学教室の過去問

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問題と解答の方針

問題は4問あります.試験時間は2時間です.

解答はこのページの下部にPDFで掲載しています.

問1

(i) \{a_n\}_{n=1}^{\infty}は実数列で,任意の正整数kについて

\begin{align*} \lim_{n\to\infty}(a_{n+k}-a_n)=0 \end{align*}

をみたすとする.このとき,この数列\{a_n\}_{n=1}^{\infty}は収束するか?理由をつけて答えよ.

(ii) 次の広義積分は収束するか?理由をつけて答えよ:

\begin{align*} \int_0^{\infty}\bra{1-e^{-1/x}}\,dx. \end{align*}

[解答の方針]

(1) kは任意にとったあとは動かないので,\{a_n\}_{n=1}^{\infty}はCauchy列ではないことに注意.反例が存在する.

(2) x\ge1においてTaylor展開1-e^{-1/x}=\frac{1}{x}-\frac{1}{2!x^2}+\dotsの右辺が交項級数となるから,1-e^{-1/x}\ge\frac{1}{x}-\frac{1}{2!x^2}である.これにより問の広義積分が収束しないことが分かる.

問2

nは2以上の整数とする.\R^2上の関数

\begin{align*} f(x,y)=x^{2n}+y^{2n}-nx^2+2nxy-ny^2 \end{align*}

について次の問に答えよ:

(i) fの最大値・最小値は存在するか?理由をつけて答えよ.

(ii) fが極大値・極小値をとる点をすべて求めよ.

[解答の方針]

(i) x=y, x\to\inftyとすることで最大値を持たないことはすぐ分かる.問題は最小値.

極座標変換(x,y)\mapsto(r,\theta)により,\thetaによらない定数R>0が存在して,r>Rならf(x,y)\ge1であることが分かる.f(0,0)=0<1より\set{(x,y)\in\R^2}{f(x,y)\le1}は空でなく,またコンパクトだから,fの連続性と併せてHeineの定理から最小値の存在を得る.

(ii) (a,b)\in\R^2fがもつを持つなら,すべての偏導関数が(a,b)で0になることが必要.これにより求めた(a,b)が極値になるかを個別に調べればよい.

問3

次の4次実正方行列A,Bは正則か?正則ならば逆行列を求め,正則でないならば階数を求めよ.

\begin{align*} A=\pmat{2&0&1&3\\0&8&2&4\\2&0&1&4\\0&4&0&1},\quad B=\pmat{1&1&1&0\\2&2&0&3\\3&4&2&4\\4&5&3&4} \end{align*}

[解答の方針]

A,Bが基本変形で階段行列に変形して判定する.

また,4次単位行列Iに対して,Aが正則なときは[A,I]を行基本変形で[I,A']の形に変形でき,このときA^{-1}=A'である.

問4

3次の複素正方行列

\begin{align*} A=\pmat{3&0&-1\\-2&1&1\\2&0&0},\quad B=\pmat{1&x&0\\0&1&0\\-1&x&2} \end{align*}

に対して,ABが相似となるような複素数xをすべて求めよ.ただし,行列ABが相似とは,複素正則行列PA=P^{-1}BPをみたすものが存在することをいう.

[解答の方針]

「行列ABが相似である」ことと「ABのJordan標準形がJordan細胞の順番の差を除いて一致する」ことが同値であることを用いればよい.

解答

解答は以下のPDFに掲載しています.

H26_基礎科目I_解答

以下は注意事項です.

  • 解答作成には万全を期していますが,論理の飛躍,誤りがあることは有り得ます.
  • 本PDFは私に著作権があります.
  • 無断複製,無断転載等は一切禁止します.これらの行為が認められた場合は,止むを得ず法的手段に出ることがあります.

この解答が大学院受験生の一助になれば幸いです.

参考文献

以下の3冊は,実際に私が使用したものである.

演習 大学院入試問題

ところどころ誤植があったり,もう少しスッキリ解答できるところがあるのが残念.しかし,問題量は非常に豊富である.

全2巻で,

  • 1巻 第1編 線形代数
    1巻 第2編 微分・積分学
    1巻 第3編 微分方程式
  • 2巻 第4編 ラプラス変換,フーリエ変換,特殊関数,変分法
    2巻 第5編 複素関数論
    2巻 第6編 確率・統計

が扱われている.

問題の種類としては発想問題よりも,ちゃんと地に足つけた考え方で解ける問題が多い.

計算量が多い問題,基本問題も多く扱われているが,試験では基本問題ほど手早く処理することが求められるので,その意味で試験への対応力が養われるであろう.(私自身,計算力があまり高くないので苦労した.)

詳解と演習大学院入試問題〈数学〉

上述の姫野氏の問題集とは対照的に,問題数はそこまで多くないが1問1問の解説が丁寧になされている.また,構成が読みやすい.

第1章 数え上げと整数
第2章 線形代数
第3章 微積分
第4章 微分方程式
第5章 複素解析
第6章 ベクトル解析
第7章 ラプラス変換
第8章 フーリエ変換
第9章 確率

典型的な問題でも複数の解法を紹介しているので,私は参考になることも多かった.

個人的に,この本は非常に好感が持てる良書であった.

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コメント

  1. sasaki より:

    解答、ありがとうございます。
    このページのファイルがH28_基礎的分野_解答となってます

    • yama-taku より:

      ご指摘ありがとうございます.

      解答のPDFファイルは異なる年度のものでした.

      26年度の基礎科目Iのファイルに差し替えておきました.