H26院試/京都大学/数学・数理解析専攻/基礎科目I

平成26年度/京都大学大学院/理学研究科/数学・数理解析専攻の大学院入試問題の「基礎科目I」の解答の方針と解答です.

ただし,採点基準などは公式に発表されていないため,ここでの解答が必ずしも正解とならない場合もあり得るので注意してください.

なお,過去問は京都大学のホームページから入手できます.

【参考:京都大学数学教室の過去問

問題と解答の方針

問題は4問あります.試験時間は2時間です.

解答はこのページの下部にPDFで掲載しています.

なお,解答作成には万全を期していますが,論理の飛躍,誤りがあることは有り得ます.

問1

(i) $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$は実数列で,任意の正整数$k$について

\begin{align*} \lim_{n\to\infty}(a_{n+k}-a_n)=0 \end{align*}

をみたすとする.このとき,この数列$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$は収束するか?理由をつけて答えよ.

(ii) 次の広義積分は収束するか?理由をつけて答えよ:

\begin{align*} \int_0^{\infty}\bra{1-e^{-1/x}}\,dx. \end{align*}

解答の方針

(1) $k$は任意にとったあとは動かないので,$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$はCauchy列ではないことに注意.反例が存在する.

(2) $x\ge1$においてTaylor展開$1-e^{-1/x}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2!x^2}+\dots$の右辺が交項級数となるから,$1-e^{-1/x}\ge\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2!x^2}$である.これにより問の広義積分が収束しないことが分かる.

解答例

(i) 収束しない例が存在する.

実際,$a_{n}=\log{n}$により$\{a_{n}\}$を定めると,任意の$k\in\N_{>0}$に対して

\begin{align*} &\lim_{n\to\infty}\bra{a_{n+k}-a_n} =\lim_{n\to\infty}\log\bra{\frac{n+k}{n}} =\log{1} =0, \\& \lim_{n\to\infty}a_n =\infty \end{align*}

となる.

(ii) Taylor展開により,各$x\ge1$に対して

\begin{align*} &e^{-1/x}=1-\frac{1}{x}+\frac{1}{2!x^2}-\frac{1}{3!x^3}+\dots \\\Ra\ &1-e^{-1/x}=\frac{1}{x}-\frac{1}{2!x^2}+\frac{1}{3!x^3}+\dots \end{align*}

である.$x\ge1$なら(1)の右辺は交項級数だから,

\begin{align*} 1-e^{-1/x}\ge\frac{1}{x}-\frac{1}{2!x^2} \end{align*}

である.よって,

\begin{align*} \int_{0}^{\infty}\bra{1-e^{-1/x}}\,dx =&\int_{1}^{\infty}\bra{1-e^{-1/x}}\,dx \\\ge&\int_{1}^{\infty}\bra{\frac{1}{x}-\frac{1}{2!x^2}}\,dx \\=&\brc{\log{x}+\frac{1}{2x}}_{1}^{\infty} =\infty \end{align*}

だから,$\dint_{0}^{\infty}\bra{1-e^{-1/x}}\ dx$は発散する.

問2

$n$は2以上の整数とする.$\R^2$上の関数

\begin{align*} f(x,y)=x^{2n}+y^{2n}-nx^2+2nxy-ny^2 \end{align*}

について次の問に答えよ:

(i) $f$の最大値・最小値は存在するか?理由をつけて答えよ.

(ii) $f$が極大値・極小値をとる点をすべて求めよ.

解答の方針

(i) $x=y$, $x\to\infty$とすることで最大値を持たないことはすぐ分かる.問題は最小値.

極座標変換$(x,y)\mapsto(r,\theta)$により,$\theta$によらない定数$R>0$が存在して,$r>R$なら$f(x,y)\ge1$であることが分かる.$f(0,0)=0<1$より$\set{(x,y)\in\R^2}{f(x,y)\le1}$は空でなく,またコンパクトだから,$f$の連続性と併せてHeineの定理から最小値の存在を得る.

(ii) $(a,b)\in\R^2$で$f$がもつを持つなら,すべての偏導関数が$(a,b)$で0になることが必要.これにより求めた$(a,b)$が極値になるかを個別に調べればよい.

解答例

(i) 極座標変換$x=r\sin\theta$, $y=r\cos\theta$により,

\begin{align*} f(x,y) =&r^{2n}\bra{\sin^{2n}\theta+\cos^{2n}\theta}+nr^2(\sin{2\theta}-1) \\\ge& r^{2n}\bra{\sin^{2n}\theta+\cos^{2n}\theta}-2nr^2 \end{align*}

である.

$\sin\theta$, $\cos\theta$は同時に0にならないから$\sin^{2n}\theta+\cos^{2n}\theta>0$で,コンパクト集合$[0,2\pi]$上で連続だから

\begin{align*} M:=\min_{\theta\in[0,2\pi]}\bra{\sin^{2n}\theta+\cos^{2n}\theta} \end{align*}

が存在する.よって,

\begin{align*} \lim_{r\to\infty}f(x,y) \ge\lim_{r\to\infty}\bra{Mr^{2n-2}-2n}r^2 =\infty \end{align*}

となる.よって,$f$の最大値は存在しない.

また,$\theta$によらない定数$R>0$が存在して$r\ge R$で$f(x,y)\ge1$をみたすことも分かる.

コンパクト集合$D_{R}:=\set{(x,y)\in\R^2}{x^2+y^2\le R^2}$上で$f$は連続だから,$f$は$D_{R}$上で最小値をもつ.

$f(0,0)=0<1$なので$\R^2$上で$f$の最小値は存在する.

(ii) $(a,b)\in\R^2$で$f$が極値をもつためには

\begin{align*} \begin{cases} f_x(a,b)=0\\ f_y(a,b)=0 \end{cases} \iff& \begin{cases} 2na^{2n-1}-2na+2nb=0\\ 2nb^{2n-1}-2nb+2na=0 \end{cases} \\\iff& \begin{cases} a^{2n-1}-a+b=0\\ b^{2n-1}-b+a=0 \end{cases} \\\iff& \begin{cases} a^{2n-1}+b^{2n-1}=0\\ b^{2n-1}-b+a=0 \end{cases} \\\iff& \begin{cases} a=-b\\ b^{2n-1}-b+a=0 \end{cases} \\\iff& \begin{cases} a=-b\\ b^{2n-1}-2b=0 \end{cases} \\\iff& \begin{cases} a=-b\\ b\bra{b^{2n-2}-2}=0 \end{cases} \\\iff& (a,b)=(0,0),\bra{\pm2^{1/(2n-2)}, \mp2^{1/(2n-2)}} \end{align*}

であること

が必要である(複合同順).

[1] $|x|<1$なら

\begin{align*} f(x,0)=&x^{2n}-nx^2=x^2\bra{x^{2n-2}-n}<x^2(1-n)<0, \\f(x,x)=&2x^{2n}>0 \end{align*}

だから,$(0,0)$は極値をとらない.

[2] $(a,b)=\bra{\pm2^{1/(2n-2)}, \mp2^{1/(2n-2)}}$のとき,

\begin{align*} \vmat{f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}} =&\vmat{2n(2n-1)a^{2n-2}-2n&2n\\2n&2n(2n-1)b^{2n-2}-2n} \\=&\vmat{4n(2n-1)-2n&2n\\2n&4n(2n-1)-2n} \\=&4n^2\vmat{2(2n-1)-1&1\\1&2(2n-1)-1} \\=&4n^2\vmat{4n-3&1\\1&4n-3} =4n^2(4n-4)(4n-2)>0, \\f_{xx}(a,b)=&4n(2n-1)-2n=2n(4n-3)>0 \end{align*}

だから,$(\pm2^{1/(2n-2)},\mp2^{1/(2n-2)})$はともに極小値をとる.

以上より極小値をとる点は$(\pm2^{1/(2n-2)},\mp2^{1/(2n-2)})$であり,極大値をとる点は存在しない.

問3

次の4次実正方行列$A,B$は正則か?正則ならば逆行列を求め,正則でないならば階数を求めよ.

\begin{align*} A=\pmat{2&0&1&3\\0&8&2&4\\2&0&1&4\\0&4&0&1},\quad B=\pmat{1&1&1&0\\2&2&0&3\\3&4&2&4\\4&5&3&4} \end{align*}

解答の方針

$A$, $B$を行基本変形により階段行列に変形することにより判定できる.

また,4次単位行列$I$に対して,$A$が正則なときは$[A,I]$を行基本変形で$[I,A’]$の形に変形でき,このとき$A^{-1}=A’$である.

解答例

行基本変形により

\begin{align*} [A,E] =&\bmat{2&0&1&3&1&0&0&0\\0&8&2&4&0&1&0&0\\2&0&1&4&0&0&1&0\\0&4&0&1&0&0&0&1} \\\to&\bmat{2&0&1&3&1&0&0&0\\0&0&2&2&0&1&0&-2\\0&0&0&1&-1&0&1&0\\0&4&0&1&0&0&0&1} \\\to&\bmat{2&0&1&0&4&0&-3&0\\0&0&2&0&2&1&-2&-2\\0&0&0&1&-1&0&1&0\\0&4&0&0&1&0&-1&1} \\\to&\bmat{2&0&1&0&4&0&-3&0\\0&0&1&0&1&\frac{1}{2}&-1&-1\\0&0&0&1&-1&0&1&0\\0&4&0&0&1&0&-1&1} \\\to&\bmat{2&0&0&0&3&-\frac{1}{2}&-2&1\\0&0&1&0&1&\frac{1}{2}&-1&-1\\0&0&0&1&-1&0&1&0\\0&4&0&0&1&0&-1&1} \\\to&\bmat{1&0&0&0&\frac{3}{2}&-\frac{1}{4}&-1&\frac{1}{2}\\0&1&0&0&\frac{1}{4}&0&-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\0&0&1&0&1&\frac{1}{2}&-1&-1\\0&0&0&1&-1&0&1&0}, \end{align*}

だから,$A$は正則で逆行列$A^{-1}$は

\begin{align*} A^{-1}=\frac{1}{4}\bmat{6&-1&-4&2\\1&0&-2&1\\4&2&-4&-4\\-4&0&4&0} \end{align*}

である.

また,行基本変形により

\begin{align*} \\B =&\bmat{1&1&1&0\\2&2&0&3\\3&4&2&4\\4&5&3&4} \to\bmat{1&1&1&0\\0&0&-2&3\\0&1&-1&4\\0&1&-1&4} \to\bmat{1&1&1&0\\0&0&-2&3\\0&1&-1&4\\0&0&0&0} \end{align*}

だから,$B$は正則でなく階数は3である.

問4

3次の複素正方行列

\begin{align*} A=\pmat{3&0&-1\\-2&1&1\\2&0&0},\quad B=\pmat{1&x&0\\0&1&0\\-1&x&2} \end{align*}

に対して,$A$と$B$が相似となるような複素数$x$をすべて求めよ.ただし,行列$A$と$B$が相似とは,複素正則行列$P$で$A=P^{-1}BP$をみたすものが存在することをいう.

解答の方針

「行列$A$と$B$が相似である」ことと「$A$と$B$のJordan標準形がJordan細胞の順番の違いを除いて一致する」ことが同値であることを用いればよい.

解答例

$I$を3次単位行列とする.

\begin{align*} |tI-A| =&\vmat{t-3&0&1\\2&t-1&-1\\-2&0&t} \\=&\{(t-3)(t-1)t+0+0\}-\{-2(t-1)+0+0\} \\=&(t-1)\bra{t^2-3t+2} =(t-1)^2(t-2) \end{align*}

だから,$A$の固有値は1, 2で,固有値1の重複度は2である.行基本変形により

\begin{align*} |I-A| =\bmat{-2&0&1\\2&0&-1\\-2&0&1} \to\bmat{-2&0&1\\0&0&0\\0&0&0} \end{align*}

だから,固有値1の固有空間の次元は2である.よって,$A$は対角成分が1, 2, 2である行列に対角化可能である.

一方,

\begin{align*} |tI-B| =&\vmat{t-1&-x&0\\0&t-1&0\\1&-x&t-2} \\=&\{(t-1)^2(t-2)+0+0\}-\{0+0+0\} \\=&(t-1)^2(t-2) \end{align*}

だから,$A$の固有値は1, 2で,固有値1の重複度は2である.行基本変形により

\begin{align*} |I-B| =\bmat{0&-x&0\\0&0&0\\1&-x&-1} \to\bmat{0&-x&0\\0&0&0\\1&0&-1} \end{align*}

だから,固有値1の固有空間の次元は

  • $x=0$のとき1
  • $x=0$のとき2

である.よって,$x=0$のとき$B$は対角成分が1,1,2である行列に対角化可能で,$x\neq0$のとき$B$は対角化可能でない.

$A$, $B$が相似であることと,$A,B$のJordan標準形が一致することは同値だから,$x=0$のときに$A$と$B$は相似であり,$x\neq0$のときは$A$と$B$は相似でない.

参考文献

以下の問題集は,実際に私が大学院入試対策で使用したものである.

演習 大学院入試問題

まえがきに「修士の基礎数学の問題の範囲は,ほぼ本書中に網羅されている」と書かれているように,広い分野から問題が豊富に掲載されている.

全2巻で,

  • 1巻 第1編 線形代数
    1巻 第2編 微分・積分学
    1巻 第3編 微分方程式
  • 2巻 第4編 ラプラス変換,フーリエ変換,特殊関数,変分法
    2巻 第5編 複素関数論
    2巻 第6編 確率・統計

が扱われている.

問題の種類としては発想問題よりも,ちゃんと地に足つけた考え方で解ける問題が多い.

計算量が多い問題,基本問題も多く扱われているが,試験では基本問題ほど手早く処理することが求められるので,その意味で試験への対応力が養われるであろう.(私自身,計算力があまり高くないので苦労した.)

目次や詳しい内容は以下の記事を参照してください.

詳解と演習大学院入試問題〈数学〉

上述の姫野氏の問題集とは対照的に,問題数はそこまで多くないが1問1問の解説が丁寧になされている.また,構成が読みやすい.

第1章 数え上げと整数
第2章 線形代数
第3章 微積分
第4章 微分方程式
第5章 複素解析
第6章 ベクトル解析
第7章 ラプラス変換
第8章 フーリエ変換
第9章 確率

典型的な問題でも複数の解法を紹介しているので,私は参考になることも多かった.

個人的に,この本は非常に好感が持てる良書であった.

目次や詳しい内容は以下の記事を参照してください.

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