H26院試/京都大学/数学・数理解析専攻/専門科目

$f$を$\R$上の実数値$C^1$級関数とする．さらに，

が成り立っているとする．このとき以下を示せ．

(i)　$g(x)=xf(x)^2$とおくと，$g’$は$\R$上可積分であり，$\lim\limits_{x\to\pm\infty}g(x)=0$となる．

(ii)　$\dint_{-\infty}^{\infty}f(x)^2\,dx\le2\brb{\dint_{-\infty}^{\infty}x^2f(x)^2\,dx}^{1/2}\brb{\dint_{-\infty}^{\infty}f'(x)^2\,dx}^{1/2}$．

$H$を実Hilbert空間とし，$T$を$H$上のコンパクト作用素とする．任意の$x\in H$に対して，$H$の点列$\{T^n{x}\}_{n=1}^{\infty}$が$n\to\infty$のとき0に弱収束しているとする．以下の問に答えよ．

(i)　$H$の点列$\{T^n{x}\}_{n=1}^{\infty}$が$n\to\infty$のとき0に強収束していることを示せ．(補足説明:(i)で強収束とは，$H$のノルムに関する収束を意味する．)

(ii)　作用素列$\{T^n{x}\}_{n=1}^{\infty}$は0に作用素ノルムで収束していることを示せ．

$C^2$級関数$u:\R^2\to\R$はすべての$(t,x)\in\R^2$で次の方程式をみたす．

このとき，$\R$上の3つの実数値関数$E$, $v_{+}$, $v_{-}$を次で定める．

ただし，複号同順である．

以下の問に答えよ．

(i)　$\frac{dE}{dt}(t)$を関数$v_{\pm}$とその導関数を用いて表し，$E(t)$が$t\in\R$について単調増加であることを示せ．

(ii)　$\sup\limits_{t\ge0}E(t)<\infty$なら，$\lim\limits_{t\to\infty}v_{\pm}(t)=0$となることを示せ．