2014年度の京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻の大学院入試問題の「専門科目」の解答の方針と解答です．
ただし，公式に採点基準などは発表されていないため，本稿の解答が必ずしも正解になるとは限りません．ご注意ください．
また，十分注意して解答を作成していますが，論理の飛躍・誤りが残っている場合があります．
なお，過去問は京都大学のホームページから入手できます．
大学院入試の解答に関する記事一覧はこちら
問題
問題は１２問あり，数学系志願者は問１～問１０から選択して２問を，数理解析系志願者は問１〜問１２から選択して２問を解答します．試験時間は３時間です．
この記事では問６，問７，問８を掲載しています．
問６
$f$を$\R$上の実数値$C^1$級関数とする．さらに，
が成り立っているとする．このとき以下を示せ．
(i) $g(x)=xf(x)^2$とおくと，$g’$は$\R$上可積分であり，$\lim\limits_{x\to\pm\infty}g(x)=0$となる．
(ii) $\dint_{-\infty}^{\infty}f(x)^2\,dx\le2\brb{\dint_{-\infty}^{\infty}x^2f(x)^2\,dx}^{1/2}\brb{\dint_{-\infty}^{\infty}f'(x)^2\,dx}^{1/2}$．
(i)の前半は$g'(x)=f(x)^2+xf(x)f'(x)$なので
を示せば良く，これらは２つの可積分条件から得られますね．
また，$g’$の可積分性が得られれば，$|x|\gg1$で$g$がほとんど$0$で変化しないことになり，このことから$\lim\limits_{x\to\pm\infty}g(x)=0$を示すことができます．
さらに，(ii)は(i)を用いれば直ちに得られます．
問７
$H$を実Hilbert空間とし，$T$を$H$上のコンパクト作用素とする．任意の$x\in H$に対して，$H$の点列$\{T^n{x}\}_{n=1}^{\infty}$が$n\to\infty$のとき$0$に弱収束しているとする．以下の問に答えよ．
(i) $H$の点列$\{T^n{x}\}_{n=1}^{\infty}$が$n\to\infty$のとき$0$に強収束していることを示せ．(補足説明:(i)で強収束とは，$H$のノルムに関する収束を意味する．)
(ii) 作用素列$\{T^n{x}\}_{n=1}^{\infty}$は$0$に作用素ノルムで収束していることを示せ．
一般に次が成り立ちます．
ノルム空間$X$上の点列$\{u_n\}$を考える．$\{u_n\}$の任意の部分列が$u\in X$に収束する部分列をもてば，$\{u_n\}$は$u$に収束する．
(i)はこの定理を用いることで解くことができますが，この定理を用いるために仮定の
- $T$のコンパクト性
- $\{T^n{x}\}_{n=1}^{\infty}$の弱収束性
を用いることになります．
また，(ii)はやはりこの定理に加えて$T$のコンパクト性を用いて，Ascoli-Arzelàの定理を適用することで解くことができます．
問８
$C^2$級関数$u:\R^2\to\R$はすべての$(t,x)\in\R^2$で次の方程式をみたす．
このとき，$\R$上の３つの実数値関数$E$, $v_{+}$, $v_{-}$を次で定める．
$E(t)=\dint_{-t}^{t}\brb{\abs{\pd{u}{t}(t,x)}^2+\abs{\pd{u}{x}(t,x)}^2+|u(t,x)|^2}\,dx$,
$v_{\pm}(t)=u(t,\pm t)$ (複号同順)
以下の問に答えよ．
(i) $\frac{dE}{dt}(t)$を関数$v_{\pm}$とその導関数を用いて表し，$E(t)$が$t\in\R$について単調増加であることを示せ．
(ii) $\sup\limits_{t\ge0}E(t)<\infty$なら，$\lim\limits_{t\to\infty}v_{\pm}(t)=0$となることを示せ．
合成関数の要領で
- $E(t)$の積分区間の$t$
- $E(t)$の被積分関数の$t$
を別々に微分して足し合わせることで，$\frac{dE}{dt}(t)$を求めることができます．
ただし，きちんと示すにはルベーグの収束定理などから$\od{}{t}$と$\int$の交換ができることを示す必要があります．
参考文献
以下，私も使ったオススメの入試問題集を挙げておきます．
詳解と演習大学院入試問題〈数学〉
[海老原円，太田雅人 共著/数理工学社]
理工系の修士課程への大学院入試問題集ですが，基礎〜標準的な問題が広く大学での数学の基礎が復習できる総合問題集として利用することができます．
実際，まえがきにも「単なる入試問題の解説にとどまらず，それを通じて，数学に関する読者の素養の質を高めることにある」と書かれているように，必ずしも大学院入試を受験しない一般の学習者にとっても学びやすい問題集です．また，構成が読みやすいのも個人的には嬉しいポイントです．
第１章 数え上げと整数
第２章 線形代数
第３章 微積分
第４章 微分方程式
第５章 複素解析
第６章 ベクトル解析
第７章 ラプラス変換
第８章 フーリエ変換
第９章 確率
一方で，問題数はそれほど多くないので，多くの問題を解きたい方には次の問題集もオススメです．
なお，本書については，以下の記事で書評としてまとめています．
【オススメの問題集｜詳解と演習 大学院入試問題(数理工学社)】
本書の目次・必要な知識・良い点と気になる点・オススメの使い方などをレビューしています．
演習 大学院入試問題
[姫野俊一，陳啓浩 共著/サイエンス社]
上記の問題集とは対称的に問題数が多く，まえがきに「修士の基礎数学の問題の範囲は，ほぼ本書中に網羅されている」と書かれているように，広い分野から問題が豊富に掲載されています．
全２巻で，
１巻第１編 線形代数
１巻第２編 微分・積分学
１巻第３編 微分方程式
２巻第４編 ラプラス変換，フーリエ変換，特殊関数，変分法
２巻第５編 複素関数論
２巻第６編 確率・統計
が扱われています．
地道にきちんと地に足つけた考え方で解ける問題が多く，確かな「腕力」がつくテキストです．入試では基本問題は確実に解けることが大切なので，その意味で試験への対応力が養われると思います．
なお，私自身は受験生時代に計算力があまり高くなかったので，この本の問題で訓練したのを覚えています．
なお，本書については，以下の記事で書評としてまとめています．
【オススメの問題集｜演習 大学院入試問題[数学](サイエンス社)】
本書の目次・必要な知識・良い点と気になる点・オススメの使い方などをレビューしています．
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