線形代数11
「行列式」は線形代数の要！定義と性質を解説

2022/5/13 線形代数学

前々回の記事で正方行列$A$の行列式$|A|$の図形的なイメージについて説明し，前回の記事で行列式を定義するために必要となる置換について説明しました．

以前の記事から示唆していたように，行列式$|A|$を考える大きな目的の１つに正方行列$A$の正則性を判定することが挙げられます．

結論から言えば，「行列式$|A|$が０でないこと」と「$A$が正則であること」が同値となります(詳しい解説は次の記事)．

この記事では，前々回と前回の記事を踏まえて

  • 行列式の定義
  • 行列式の基本性質

を説明します．

なお，この記事では実数$\R$を中心に説明しますが，複素数$\C$など一般の体に対しても同様です．

「線形代数学の基本」の一連の記事はこちら

【線形代数の初学者のための道案内｜線形代数のイメージを知る】

・行列と列ベクトル
【線形代数１｜線形代数は「多変数バージョンの比例」という話】
【線形代数２｜行列の計算の基本！行列の積はなぜこうなる？】
【線形代数３｜逆行列を考えると何が嬉しいのか？】
【線形代数４｜連立１次方程式の掃き出し法と行列の基本変形】
【線形代数５｜正則の条件を簡単に！基本変形と行列の積の話】
【線形代数６｜行列のランクと，行列が逆行列をもつための条件】
【線形代数７｜連立１次方程式が解をもつ条件と解の自由度】
【線形代数８｜線形独立のイメージと線形独立であるための条件】

・行列式
【線形代数９｜行列の正則性を判定できる行列式のイメージ】
【線形代数10｜行列式を定義するための置換の性質を理解する】
【線形代数11｜「行列式」は線形代数の要！定義と性質を解説】←今の記事
【線形代数12｜[余因子展開]と[行列式による正則条件]を解説】

・部分空間と基底
【線形代数13｜列ベクトル空間の部分空間の定義と具体例】
【線形代数14｜部分空間の基底を具体例から理解する(準備中)】
【線形代数15｜部分空間の同型と部分空間の次元(準備中)】
【線形代数16｜線形写像の像と核と次元定理(準備中)】
【線形代数17｜部分空間の和空間と共通部分の空間(準備中)】

・固有値と固有ベクトル
【線形代数18｜「固有値」「固有ベクトル」「対角化」とは？】
【線形代数19｜固有値と固有ベクトルは２ステップで求める！】
【線形代数20｜固有値・固有ベクトルの基本性質のまとめ】
【線形代数21｜固有空間はなぜ大切か？対角化の必要十分条件】

オススメの入門書

以下は初学者向けのオススメの教科書です．この記事の著者も数学教室の集団授業で使っています．

手を動かしてまなぶ 線形代数

[藤岡敦 著/裳華房]

線形代数の入門書で，説明も非常に丁寧なので初学者にも読み進めやすい教科書です．

数学で初めて出会った概念で詰まった時には，具体例を考えることで理解できるようになることはよくあります．

特に線形代数は高校数学で扱ってきた数学よりも抽象度がやや増すので，いきなり抽象的に理解するよりも「具体例を理解→抽象化」という学び方が効果的です．

本書は具体例と例題が豊富で，実際に手を動かしながらイメージを掴んで抽象的に理解することを目指しています．

また，続巻も発行されていますが，この第１巻だけでも正方行列の対角化(固有値・固有ベクトル)まで学ぶことができます．

行列式の定義

前回の記事で説明した置換を用いるので，置換が危うい読者は前回の記事を参照しながら読み進めてください．

なお，この記事では，$S_n$は$\{1,2,\dots,n\}$の置換全体の集合とします．

$A\in\Mat_{n}(\R)$に対して

    \begin{align*} \sum_{\sigma\in S_n}\sgn(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)} \end{align*}

を$A$の行列式 (determinant)といい，$|A|$や$\det{A}$と表す．

例１

２次正方行列$A=\bmat{a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}}\in\Mat_{2}(\R)$の行列式$|A|$を考えます．

$S_2$は$\{1,2\}$の置換全体の集合だから

    \begin{align*} S_2=\brb{\sigma_{1}:=\pmat{1&2\\1&2},\sigma_{2}:=\pmat{1&2\\2&1}} \end{align*}

です．

$\sgn(\sigma_{1})=1$, $\sgn(\sigma_{2})=-1$より

    \begin{align*} |A| =&\sgn(\sigma_{1})a_{1\sigma_{1}(1)}a_{2\sigma_{1}(2)}+\sgn(\sigma_{2})a_{1\sigma_{2}(1)}a_{2\sigma_{2}(2)} \\=&a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \end{align*}

となります．

これは前々回の記事で説明した２次正方行列の行列式に一致しますね．

例２

３次正方行列$A=\bmat{a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}}\in\Mat_{3}(\R)$の行列式$|A|$を考えます．

３次の置換の集合$S_3$は

    \begin{align*} S_3=\left\{ \sigma_{1}:=\pmat{1&2&3\\1&2&3}, \sigma_{2}:=\pmat{1&2&3\\1&3&2}, \sigma_{3}:=\pmat{1&2&3\\2&1&3}, \right.& \\\left. \sigma_{4}:=\pmat{1&2&3\\2&3&1}, \sigma_{5}:=\pmat{1&2&3\\3&1&2}, \sigma_{6}:=\pmat{1&2&3\\3&2&1} \right\} & \end{align*}

で，$\sgn(\sigma_{1})=1$, $\sgn(\sigma_{2})=-1$, $\sgn(\sigma_{3})=-1$, $\sgn(\sigma_{4})=1$, $\sgn(\sigma_{5})=1$, $\sgn(\sigma_{6})=-1$より

    \begin{align*} |A| =&\sgn{(\sigma_{1})}a_{1\sigma_{1}(1)}a_{2\sigma_{1}(2)}a_{3\sigma_{1}(3)}+\sgn{(\sigma_{2})}a_{1\sigma_{2}(1)}a_{2\sigma_{2}(2)}a_{3\sigma_{2}(3)} \\&+\sgn{(\sigma_{3})}a_{1\sigma_{3}(1)}a_{2\sigma_{3}(2)}a_{3\sigma_{3}(3)}+\sgn{(\sigma_{4})}a_{1\sigma_{4}(1)}a_{2\sigma_{4}(2)}a_{3\sigma_{4}(3)} \\&+\sgn{(\sigma_{5})}a_{1\sigma_{5}(1)}a_{2\sigma_{5}(2)}a_{3\sigma_{5}(3)}+\sgn{(\sigma_{6})}a_{1\sigma_{6}(1)}a_{2\sigma_{6}(2)}a_{3\sigma_{6}(3)} \\=&a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} \\&-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33} \end{align*}

となります．

これも前々回の記事で説明した３次正方行列の行列式に一致しますね．

行列式の性質

それでは行列式の性質を述べていきます．

なお，前々回の記事で説明した「$A=[\m{a}_1,\dots,\m{a}_n]$の行列式が$\m{a}_1,\dots,\m{a}_n$が張る$n$次元平行多面体の向き付きの体」に一致すること」を念頭においていれば，当たり前に思える性質も多いでしょう．

【前々回の記事：線形代数６｜行列の正則性を判定できる行列式のイメージ】

この記事では，２次正方行列と３次正方行列を例に行列式のイメージを説明し，行列式が正方行列の正則性の判定に使えることを説明しています．

転置行列の行列式

行列式は転置行列にしても変わりません．

正方行列$A$に対して，$|A|=|A^{T}|$が成り立つ．


$A=(a_{ij})\in\Mat_{n}(\R)$とする．任意の$\sigma\in S_{n}$に対して$\{1,\dots,n\}=\{\sigma(1),\dots,\sigma(n)\}$だから

    \begin{align*} a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)} =a_{\sigma^{-1}(1)1}a_{\sigma^{-1}(2)2}\dots a_{\sigma^{-1}(n)n} \end{align*}

なので

    \begin{align*} |A| =&\sum_{\sigma\in S_n}\sgn{(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)} \\=&\sum_{\sigma\in S_n}\sgn{(\sigma)}a_{\sigma^{-1}(1)1}a_{\sigma^{-1}(2)2}\dots a_{\sigma^{-1}(n)n} \\=&\sum_{\sigma\in S_n}\sgn{(\sigma)}a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}\dots a_{\sigma(n)n} =|A^{T}| \end{align*}

が従う．

なお，３行目最初の等号について，前回の記事で説明したように$S_{n}=\{\sigma^{-1}|\sigma\in S_{n}\}$だから和としては等しい．

この命題から行列式について行で成り立つ性質は列でも成り立つということが分かり，逆に行列式について列で成り立つ性質は行でも成り立つことも分かりますね．

行列式の交代性

行列式の次の命題の性質を交代性 (反対称性, antisymmetry)といいます．

$A=[\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{n}]\in\Mat_{n}(\R)$と$\sigma\in S_{n}$に対して，以下が成り立つ．

    \begin{align*} |A|=\sgn{(\sigma)}|\m{a}_{\sigma(1)},\dots,\m{a}_{\sigma(n)}| \end{align*}


$A=(a_{ij})$とする．置換の性質より

    \begin{align*} &\sgn{(\sigma)}|\m{a}_{\sigma(1)},\dots,\m{a}_{\sigma(n)}| \\=&\sgn{(\sigma)}\sum_{\tau\in S_{n}}\sgn(\tau)a_{1,\tau\sigma(1)}\dots a_{n,\tau\sigma(n)} \\=&\sum_{\tau\in S_{n}}\sgn{(\tau\sigma)}a_{1,\tau\sigma(1)}\dots a_{n,\tau\sigma(n)} =|A| \end{align*}

が従う．

この命題から，次の系が容易に得られます．

等しい２つの列をもつ正方行列の行列式は０である．


$A=[\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{n}]\in\Mat_{n}(\R)$について，$i,j\in\{1,\dots,n\}$ ($i<j$)が$\m{a}_{i}=\m{a}_{j}$をみたすとする．

互換$\sigma:=(i,j)\in S_{n}$について，行列式の交代性から

    \begin{align*} |A| =&\sgn(\sigma)|\m{a}_{\sigma(1)},\dots,\m{a}_{\sigma(i)},\dots,\m{a}_{\sigma(j)},\dots,\m{a}_{\sigma(n)}| \\=&-|\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{j},\dots,\m{a}_{i},\dots,\m{a}_{n}| \\=&-|\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{i},\dots,\m{a}_{j},\dots,\m{a}_{n}| =-|A| \end{align*}

だから，$|A|=0$が従う．

行列式の線形性

行列式の次の命題の性質を線形性 (linearity)といいます．

$\alpha,\beta\in\R$とする．$n$次行列の行列式について，以下が成り立つ．

    \begin{align*} &|\m{a}_{1},\dots,\alpha\m{a}_{i_{1}}+\beta\m{a}_{i_{2}},\dots,\m{a}_{n}| \\=&\alpha|\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{i_{1}},\dots,\m{a}_{n}|+\beta|\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{i_{2}},\dots,\m{a}_{n}| \end{align*}


任意の$k=1,\dots,i_{1},i_{2},\dots,n$に対して，$\m{a}_{k}:=[a_{k1},\dots,a_{kn}]^{T}$とすると

    \begin{align*} &|\m{a}_{1},\dots,\alpha\m{a}_{i_{1}}+\beta\m{a}_{i_{2}},\dots,\m{a}_{n}| \\=&\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn(\sigma)a_{1\sigma(1)}\dots(\alpha a_{i_{1}\sigma(i)}+\beta a_{i_{2}\sigma(i)})\dots a_{n\sigma(n)} \\=&\alpha\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn(\sigma)a_{1\sigma(1)}\dots a_{i_{1}\sigma(i)}\dots a_{n\sigma(n)} \\&+\beta\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn(\sigma)a_{1\sigma(1)}\dots a_{i_{2}\sigma(i)}\dots a_{n\sigma(n)} \\=&\alpha|\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{i_{1}},\dots,\m{a}_{n}|+\beta|\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{i_{2}},\dots,\m{a}_{n}| \end{align*}

が従う．

積の行列式

任意の$A,B\in\Mat_{n}(\R)$に対し，$|AB|=|A||B|$が成り立つ．


$A=(a_{ij})=[\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{n}]$, $B=(b_{ij})=[\m{b}_{1},\dots,\m{b}_{n}]$とすると，行列式の線形性より

    \begin{align*} |AB| =&\abs{[\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{n}]\bmat{b_{11}&\dots&b_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\b_{n1}&\dots&b_{nn}}} \\=&\abs{\sum_{k_{1}=1}^{n}b_{k_{1}1}\m{a}_{k_{1}},\dots,\sum_{k_{n}=1}^{n}b_{k_{n}n}\m{a}_{k_{n}}} \\=&\sum_{k_{1}=1}^{n}\dots\sum_{k_{n}=1}^{n}b_{k_{1}1}\dots b_{k_{n}n}|\m{a}_{k_{1}},\dots,\m{a}_{k_{n}}| \end{align*}

である．

もし$k_{1},\dots,k_{n}$の中に同じものがあれば，交代性の系から$|\m{a}_{k_{1}},\dots,\m{a}_{k_{n}}|=0$だから

    \begin{align*} |AB| =&\sum_{\sigma\in S_{n}}b_{\sigma(1)1}\dots b_{\sigma(n)n}|\m{a}_{\sigma(1)},\dots,\m{a}_{\sigma(n)}| \\=&\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn{(\sigma)}b_{\sigma(1)1}\dots b_{\sigma(n)n} \cdot\sgn{(\sigma)}|\m{a}_{\sigma(1)},\dots,\m{a}_{\sigma(n)}| \\=&|A|\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn{(\sigma)}b_{\sigma(1)1}\dots b_{\sigma(n)n} =|A||B^{T}| =|A||B| \end{align*}

となる．

この命題から逆行列の行列式について，以下が得られます．

正則行列$A\in\Mat_{n}(\R)$に対して，$|A^{-1}|=|A|^{-1}$が成り立つ．


$AA^{-1}=I$だから$|A||A^{-1}|=|AA^{-1}|=|I|=1$となって，$|A^{-1}|=|A|^{-1}$が成り立つ．

行列式の計算

以下の命題は，行列式を具体的に求める際に非常に有用な性質です．

$a_{1j}=0$ ($j=2,\dots,n$)をみたす$A=(a_{ij})\in\Mat_{n}(\R)$について，以下が成り立つ．

    \begin{align*} |A| =\vmat{a_{11}&0&\dots&0\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}} =a_{11}\vmat{a_{22}&\dots&a_{2n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n2}&\dots&a_{nn}} \end{align*}


仮定より$\sigma(1)\neq1$なら$a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)}=0$なので

    \begin{align*} |A| =&\sum_{\sigma\in S_n}\sgn(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)} \\=&a_{11}\sum_{\substack{\sigma\in S_n\\\sigma(1)=1}} \sgn(\sigma)a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)} \end{align*}

である．

$\set{\sigma\in S_n}{\sigma(1)=1}$は$\{2,\dots,n\}$の置換全体の集合なので，$S_{n-1}$と同一視できるから

    \begin{align*} a_{11}\sum_{\substack{\sigma\in S_n\\\sigma(1)=1}} \sgn(\sigma)a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)} =a_{11} \vmat{a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n2}&\dots&a_{nn}} \end{align*}

となる．

この命題を用いるには$a_{1j}=0$ ($j=2,\dots,n$)であることが必要なので，行列式をこの形に変形する必要がありますね．

そこで，行列の基本変形に関する次の命題が非常に便利です．

行列式について，次が成り立つ．

  1. ２つの列を入れ替えると，行列式の値は$-1$倍になる．
  2. 任意の列を$c$倍すると，行列式の値は$c$倍になる．
  3. 任意の列に他の列の何倍かを加えても行列式の値は変わらない．

(1)は行列式の交代性より成り立ち，(2)は行列式の線形性より成り立つ．

(3)　$c\in\R$, $k,\ell\in M_{n}$ ($k\neq\ell$)に対して，$A=[\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{n}]$の第$k$列の$c$倍を第$\ell$列に加えた行列の行列式は，行列式の線形性と交代性の系より

    \begin{align*} &|\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{\ell}+c\m{a}_{k},\dots,\m{a}_{n}| \\=&|\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{\ell},\dots,\m{a}_{n}|+c|\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{k},\dots,\m{a}_{k},\dots,\m{a}_{n}| \\=&|\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{n}|+c\cdot 0 =|A| \end{align*}

となる．

例えば，行列式$\vmat{-11&-5&-6\\-11&-1&-14\\11&9&17}$を計算したいときは，いまみた２つの命題を使えば

    \begin{align*} \vmat{-11&-5&-6\\-11&-1&-14\\11&9&17} =&11\vmat{-1&-5&-6\\-1&-1&-14\\1&9&17} \\=&11\vmat{1&5&6\\1&1&14\\1&9&17} =11\vmat{0&4&-8\\1&1&14\\0&8&3} \\=&-11\vmat{1&1&14\\0&4&-8\\0&8&3} =-11\cdot1\vmat{4&-8\\8&3} \\=&-11\cdot\{4\cdot3-(-8)\cdot8\} =-836 \end{align*}

と計算できますね．

「線形代数学の基本」の一連の記事はこちら

【線形代数の初学者のための道案内｜線形代数のイメージを知る】

・行列と列ベクトル
【線形代数１｜線形代数は「多変数バージョンの比例」という話】
【線形代数２｜行列の計算の基本！行列の積はなぜこうなる？】
【線形代数３｜逆行列を考えると何が嬉しいのか？】
【線形代数４｜連立１次方程式の掃き出し法と行列の基本変形】
【線形代数５｜正則の条件を簡単に！基本変形と行列の積の話】
【線形代数６｜行列のランクと，行列が逆行列をもつための条件】
【線形代数７｜連立１次方程式が解をもつ条件と解の自由度】
【線形代数８｜線形独立のイメージと線形独立であるための条件】

・行列式
【線形代数９｜行列の正則性を判定できる行列式のイメージ】
【線形代数10｜行列式を定義するための置換の性質を理解する】
【線形代数11｜「行列式」は線形代数の要！定義と性質を解説】
【線形代数12｜[余因子展開]と[行列式による正則条件]を解説】←次の記事

・部分空間と基底
【線形代数13｜列ベクトル空間の部分空間の定義と具体例】
【線形代数14｜部分空間の基底を具体例から理解する(準備中)】
【線形代数15｜部分空間の同型と部分空間の次元(準備中)】
【線形代数16｜線形写像の像と核と次元定理(準備中)】
【線形代数17｜部分空間の和空間と共通部分の空間(準備中)】

・固有値と固有ベクトル
【線形代数18｜「固有値」「固有ベクトル」「対角化」とは？】
【線形代数19｜固有値と固有ベクトルは２ステップで求める！】
【線形代数20｜固有値・固有ベクトルの基本性質のまとめ】
【線形代数21｜固有空間はなぜ大切か？対角化の必要十分条件】

参考文献

以下は参考文献です．

手を動かしてまなぶ 線形代数

[藤岡敦 著/裳華房]

線形代数の入門書で，説明も非常に丁寧なので初学者にも読み進めやすい教科書です．

数学で初めて出会った概念で詰まった時には，具体例を考えることで理解できるようになることはよくあります．

特に線形代数は高校数学で扱ってきた数学よりも抽象度がやや増すので，いきなり抽象的に理解するよりも「具体例を理解→抽象化」という学び方が効果的です．

本書は具体例と例題が豊富で，実際に手を動かしながらイメージを掴んで抽象的に理解することを目指しています．

また，続巻も発行されていますが，この第１巻だけでも正方行列の対角化(固有値・固有ベクトル)まで学ぶことができます．

線型代数入門

[齋藤正彦 著/東京大学出版会]

線形代数の教科書として半世紀に渡って売れ続けている超ロングセラーの教科書です．

発刊されてから本書の内容の流れが線形代数の教科書のスタンダードとなったほど，日本の線形代数の指導にインパクトを与えた名著です．

その証拠に，著者の齋藤正彦氏は本書で日本数学会出版賞を受賞しています．

「線形代数をとりあえず使えるようにするための教科書」ではなく「線形代数を理解するための教科書」のため，論理的に非常に詳しく書かれているのが特徴です．

また，テキストのレベルとしては少なくとも理論系(特に数学系)の学部生であれば，確実に理解しておきたい程度のものとなっています．

なお，本書については，以下の記事で書評としてまとめています．

【書評｜線型代数入門(齋藤正彦著，東京大学出版会)】

本書の目次・必要な知識・良い点と気になる点・オススメの使い方などをレビューしています．