「行列式」は線形代数の要！行列式の定義と性質を総まとめ

前々回の記事で正方行列$A$の行列式$|A|$の図形的なイメージについて説明し，前回の記事で行列式を定義するために必要となる置換について説明しました．

行列式$|A|$を考える大きな目的の１つに正方行列$A$の正則性を判定することが挙げられます．

結論から言えば，行列式$|A|$が０でないことと$A$が正則である($A$が逆行列$A^{-1}$をもつ)ことが同値となります．

また，行列式を用いることで逆行列を求めることもできます．

この記事では，前々回と前回の記事を踏まえて

行列式の定義
行列式の性質
正方行列$A$が正則であることと$|A|\neq0$の同値性

を説明します．

また，$A$が正則なら連立方程式$A\m{x}=\m{c}$の解を$|A|$を用いて表すこともでき，これをクラメール(Cramer)の公式といいます．

なお，この記事では実数$\R$を中心に説明しますが，複素数$\C$など一般の体に対しても同様です．

一連の記事はこちら

【線形代数の初学者のための道案内｜線形代数のイメージを知る】

・行列と数ベクトル
【線形代数１｜行列の計算の基本！行列の積はなぜこうなる？】
【線形代数２｜連立１次方程式の掃き出し法と行列の基本変形】
【線形代数３｜正則の条件を簡単に！基本変形と行列の積の話】
【線形代数４｜行列のランクと，行列が逆行列をもつための条件】
【線形代数５｜連立１次方程式が解をもつ条件と解の自由度】
【線形代数６｜線形独立のイメージと線形独立であるための条件】

・行列式
【線形代数７｜行列の正則性を判定できる行列式のイメージ】
【線形代数８｜行列式を定義するための置換の性質を理解する】
【線形代数９｜「行列式」は線形代数の要！定義と性質を解説】←今の記事

・部分空間と基底
【線形代数10｜数ベクトル空間の部分空間と基底の考え方(準備中)】
【線形代数11｜部分空間の同型と部分空間の次元(準備中)】
【線形代数12｜線形写像の像と核と次元定理(準備中)】
【線形代数13｜部分空間の和空間と共通部分の空間(準備中)】

・固有値と固有ベクトル
【線形代数14｜「固有値」「固有ベクトル」「対角化」とは？】
【線形代数15｜固有値と固有ベクトルは２ステップで求める！】
【線形代数16｜「固有値」と「固有ベクトル」の性質のまとめ(準備中)】

1 行列式の定義と性質
- 1.1 行列式の定義
- 1.2 行列式の性質
2 余因子と逆行列
- 2.1 行列式と逆行列
- 2.2 クラメールの公式

行列式の定義と性質

前回の記事で説明した置換を用いるので，置換が危うい読者は前回の記事を参照しながら読み進めてください．

なお，この記事では，$S_n$は$\{1,2,\dots,n\}$の置換全体の集合とします．

行列式の定義

早速，行列式を定義します．

$A\in\Mat_{n}(\R)$に対して

$\begin{align*} \sum_{\sigma\in S_n}\sgn(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)} \end{align*}$

を$A$の行列式 (determinant)といい，$|A|$や$\det{A}$と表す．

例１

２次正方行列$A=\bmat{a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}}\in\Mat_{2}(\R)$の行列式$|A|$を考えます．

$S_2$は$\{1,2\}$の置換全体の集合だから

$\begin{align*} S_2=\brb{\sigma_{1}:=\pmat{1&2\\1&2},\sigma_{2}:=\pmat{1&2\\2&1}} \end{align*}$

です．

$\sgn(\sigma_{1})=1$, $\sgn(\sigma_{2})=-1$より

$\begin{align*} |A| =&\sgn(\sigma_{1})a_{1\sigma_{1}(1)}a_{2\sigma_{1}(2)}+\sgn(\sigma_{2})a_{1\sigma_{2}(1)}a_{2\sigma_{2}(2)} \\=&a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \end{align*}$

となります．

これは前々回の記事で説明した２次正方行列の行列式に一致しますね．

例２

３次正方行列$A=\bmat{a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}}\in\Mat_{3}(\R)$の行列式$|A|$を考えます．

３次の置換の集合$S_3$は

$\begin{align*} S_3=\left\{ \sigma_{1}:=\pmat{1&2&3\\1&2&3}, \sigma_{2}:=\pmat{1&2&3\\1&3&2}, \sigma_{3}:=\pmat{1&2&3\\2&1&3}, \right.& \\\left. \sigma_{4}:=\pmat{1&2&3\\2&3&1}, \sigma_{5}:=\pmat{1&2&3\\3&1&2}, \sigma_{6}:=\pmat{1&2&3\\3&2&1} \right\} & \end{align*}$

で，$\sgn(\sigma_{1})=1$, $\sgn(\sigma_{2})=-1$, $\sgn(\sigma_{3})=-1$, $\sgn(\sigma_{4})=1$, $\sgn(\sigma_{5})=1$, $\sgn(\sigma_{6})=-1$より

$\begin{align*} |A| =&\sgn{(\sigma_{1})}a_{1\sigma_{1}(1)}a_{2\sigma_{1}(2)}a_{3\sigma_{1}(3)}+\sgn{(\sigma_{2})}a_{1\sigma_{2}(1)}a_{2\sigma_{2}(2)}a_{3\sigma_{2}(3)} \\&+\sgn{(\sigma_{3})}a_{1\sigma_{3}(1)}a_{2\sigma_{3}(2)}a_{3\sigma_{3}(3)}+\sgn{(\sigma_{4})}a_{1\sigma_{4}(1)}a_{2\sigma_{4}(2)}a_{3\sigma_{4}(3)} \\&+\sgn{(\sigma_{5})}a_{1\sigma_{5}(1)}a_{2\sigma_{5}(2)}a_{3\sigma_{5}(3)}+\sgn{(\sigma_{6})}a_{1\sigma_{6}(1)}a_{2\sigma_{6}(2)}a_{3\sigma_{6}(3)} \\=&a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} \\&-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33} \end{align*}$

となります．

これも前々回の記事で説明した３次正方行列の行列式に一致しますね．

行列式の性質

それでは行列式の性質を述べていきます．

なお，前々回の記事で説明した「$A=[\m{a}_1,\dots,\m{a}_n]$の行列式が$\m{a}_1,\dots,\m{a}_n$が張る$n$次元平行多面体の向き付きの体」に一致すること」を念頭においていれば，当たり前に思える性質も多いでしょう．

【前々回の記事：線形代数６｜行列の正則性を判定できる行列式のイメージ】

この記事では，２次正方行列と３次正方行列を例に行列式のイメージを説明し，行列式が正方行列の正則性の判定に使えることを説明しています．

転置行列の行列式

正方行列$A$に対して，$|A|=|A^{T}|$が成り立つ．

$A=(a_{ij})\in\Mat_{n}(\R)$とする．任意の$\sigma\in S_{n}$に対して$\{1,\dots,n\}=\{\sigma(1),\dots,\sigma(n)\}$だから

$\begin{align*} a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)} =a_{\sigma^{-1}(1)1}a_{\sigma^{-1}(2)2}\dots a_{\sigma^{-1}(n)n} \end{align*}$

なので

$\begin{align*} |A| =&\sum_{\sigma\in S_n}\sgn{(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)} \\=&\sum_{\sigma\in S_n}\sgn{(\sigma)}a_{\sigma^{-1}(1)1}a_{\sigma^{-1}(2)2}\dots a_{\sigma^{-1}(n)n} \\=&\sum_{\sigma\in S_n}\sgn{(\sigma)}a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}\dots a_{\sigma(n)n} =|A^{T}| \end{align*}$

が従う．

なお，３行目最初の等号について，前回の記事で説明したように$S_{n}=\{\sigma^{-1}|\sigma\in S_{n}\}$だから和としては等しい．

この命題から行列式について行で成り立つ性質は列でも成り立つということが分かり，逆に行列式について列で成り立つ性質は行でも成り立つことも分かりますね．

行列式の交代性

行列式の次の命題の性質を交代性 (反対称性, antisymmetry)といいます．

$A=[\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{n}]\in\Mat_{n}(\R)$と$\sigma\in S_{n}$に対して，以下が成り立つ．

$\begin{align*} |A|=\sgn{(\sigma)}|\m{a}_{\sigma(1)},\dots,\m{a}_{\sigma(n)}| \end{align*}$

$A=(a_{ij})$とする．置換の性質より

$\begin{align*} &\sgn{(\sigma)}|\m{a}_{\sigma(1)},\dots,\m{a}_{\sigma(n)}| \\=&\sgn{(\sigma)}\sum_{\tau\in S_{n}}\sgn(\tau)a_{1,\tau\sigma(1)}\dots a_{n,\tau\sigma(n)} \\=&\sum_{\tau\in S_{n}}\sgn{(\tau\sigma)}a_{1,\tau\sigma(1)}\dots a_{n,\tau\sigma(n)} =|A| \end{align*}$

が従う．

この命題から，次の系が容易に得られます．

等しい２つの列をもつ正方行列の行列式は０である．

$A=[\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{n}]\in\Mat_{n}(\R)$について，$i,j\in\{1,\dots,n\}$ ($i<j$)が$\m{a}_{i}=\m{a}_{j}$をみたすとする．

互換$\sigma:=(i,j)\in S_{n}$について，行列式の交代性から

$\begin{align*} |A| =&\sgn(\sigma)|\m{a}_{\sigma(1)},\dots,\m{a}_{\sigma(i)},\dots,\m{a}_{\sigma(j)},\dots,\m{a}_{\sigma(n)}| \\=&-|\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{j},\dots,\m{a}_{i},\dots,\m{a}_{n}| \\=&-|\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{i},\dots,\m{a}_{j},\dots,\m{a}_{n}| =-|A| \end{align*}$

だから，$|A|=0$が従う．

行列式の線形性

行列式の次の命題の性質を線形性 (linearity)といいます．

$\alpha,\beta\in\R$とする．$n$次行列の行列式について，以下が成り立つ．

$\begin{align*} &|\m{a}_{1},\dots,\alpha\m{a}_{i_{1}}+\beta\m{a}_{i_{2}},\dots,\m{a}_{n}| \\=&\alpha|\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{i_{1}},\dots,\m{a}_{n}|+\beta|\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{i_{2}},\dots,\m{a}_{n}| \end{align*}$

任意の$k=1,\dots,i_{1},i_{2},\dots,n$に対して，$\m{a}_{k}:=[a_{k1},\dots,a_{kn}]^{T}$とすると

$\begin{align*} &|\m{a}_{1},\dots,\alpha\m{a}_{i_{1}}+\beta\m{a}_{i_{2}},\dots,\m{a}_{n}| \\=&\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn(\sigma)a_{1\sigma(1)}\dots(\alpha a_{i_{1}\sigma(i)}+\beta a_{i_{2}\sigma(i)})\dots a_{n\sigma(n)} \\=&\alpha\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn(\sigma)a_{1\sigma(1)}\dots a_{i_{1}\sigma(i)}\dots a_{n\sigma(n)} \\&+\beta\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn(\sigma)a_{1\sigma(1)}\dots a_{i_{2}\sigma(i)}\dots a_{n\sigma(n)} \\=&\alpha|\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{i_{1}},\dots,\m{a}_{n}|+\beta|\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{i_{2}},\dots,\m{a}_{n}| \end{align*}$

が従う．

積の行列式

任意の$A,B\in\Mat_{n}(\R)$に対し，$|AB|=|A||B|$が成り立つ．

$A=(a_{ij})=[\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{n}]$, $B=(b_{ij})=[\m{b}_{1},\dots,\m{b}_{n}]$とすると，行列式の線形性より

$\begin{align*} |AB| =&\abs{[\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{n}]\bmat{b_{11}&\dots&b_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\b_{n1}&\dots&b_{nn}}} \\=&\abs{\sum_{k_{1}=1}^{n}b_{k_{1}1}\m{a}_{k_{1}},\dots,\sum_{k_{n}=1}^{n}b_{k_{n}n}\m{a}_{k_{n}}} \\=&\sum_{k_{1}=1}^{n}\dots\sum_{k_{n}=1}^{n}b_{k_{1}1}\dots b_{k_{n}n}|\m{a}_{k_{1}},\dots,\m{a}_{k_{n}}| \end{align*}$

である．

もし$k_{1},\dots,k_{n}$の中に同じものがあれば，交代性の系から$|\m{a}_{k_{1}},\dots,\m{a}_{k_{n}}|=0$だから

$\begin{align*} |AB| =&\sum_{\sigma\in S_{n}}b_{\sigma(1)1}\dots b_{\sigma(n)n}|\m{a}_{\sigma(1)},\dots,\m{a}_{\sigma(n)}| \\=&\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn{(\sigma)}b_{\sigma(1)1}\dots b_{\sigma(n)n} \cdot\sgn{(\sigma)}|\m{a}_{\sigma(1)},\dots,\m{a}_{\sigma(n)}| \\=&|A|\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn{(\sigma)}b_{\sigma(1)1}\dots b_{\sigma(n)n} =|A||B^{T}| =|A||B| \end{align*}$

となる．

この命題から逆行列の行列式について，以下が得られます．

正則行列$A\in\Mat_{n}(\R)$に対して，$|A^{-1}|=|A|^{-1}$が成り立つ．

$AA^{-1}=I$だから$|A||A^{-1}|=|AA^{-1}|=|I|=1$となって，$|A^{-1}|=|A|^{-1}$が成り立つ．

行列式の計算

以下の命題は，行列式を具体的に求める際に非常に有用な性質です．

$a_{1j}=0$ ($j=2,\dots,n$)をみたす$A=(a_{ij})\in\Mat_{n}(\R)$について，以下が成り立つ．

$\begin{align*} |A| =\vmat{a_{11}&0&\dots&0\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}} =a_{11}\vmat{a_{22}&\dots&a_{2n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n2}&\dots&a_{nn}} \end{align*}$

仮定より$\sigma(1)\neq1$なら$a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)}=0$なので

$\begin{align*} |A| =&\sum_{\sigma\in S_n}\sgn(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)} \\=&a_{11}\sum_{\substack{\sigma\in S_n\\\sigma(1)=1}} \sgn(\sigma)a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)} \end{align*}$

である．

$\set{\sigma\in S_n}{\sigma(1)=1}$は$\{2,\dots,n\}$の置換全体の集合なので，$S_{n-1}$と同一視できるから

$\begin{align*} a_{11}\sum_{\substack{\sigma\in S_n\\\sigma(1)=1}} \sgn(\sigma)a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)} =a_{11} \vmat{a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n2}&\dots&a_{nn}} \end{align*}$

となる．

この命題を用いるには$a_{1j}=0$ ($j=2,\dots,n$)であることが必要なので，行列式をこの形に変形する必要がありますね．

そこで，行列の基本変形に関する次の命題が非常に便利です．

行列式について，次が成り立つ．

２つの列を入れ替えると，行列式の値は$-1$倍になる．
任意の列を$c$倍すると，行列式の値は$c$倍になる．
任意の列に他の列の何倍かを加えても行列式の値は変わらない．

(1)は行列式の交代性より成り立ち，(2)は行列式の線形性より成り立つ．

(3)　$c\in\R$, $k,\ell\in M_{n}$ ($k\neq\ell$)に対して，$A=[\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{n}]$の第$k$列の$c$倍を第$\ell$列に加えた行列の行列式は，行列式の線形性と交代性の系より

$\begin{align*} &|\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{\ell}+c\m{a}_{k},\dots,\m{a}_{n}| \\=&|\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{\ell},\dots,\m{a}_{n}|+c|\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{k},\dots,\m{a}_{k},\dots,\m{a}_{n}| \\=&|\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{\ell},\dots,\m{a}_{n}|+c\cdot0 =|A| \end{align*}$

となる．

例えば，行列式$\vmat{-11&-5&-6\\-11&-1&-14\\11&9&17}$を計算したいときは，いまみた２つの命題を使えば

$\begin{align*} \vmat{-11&-5&-6\\-11&-1&-14\\11&9&17} =&11\vmat{-1&-5&-6\\-1&-1&-14\\1&9&17} \\=&11\vmat{1&5&6\\1&1&14\\1&9&17} =11\vmat{0&4&-8\\1&1&14\\0&8&3} \\=&-11\vmat{1&1&14\\0&4&-8\\0&8&3} =-11\cdot1\vmat{4&-8\\8&3} \\=&-11\cdot\{4\cdot3-(-8)\cdot8\} =-836 \end{align*}$

と計算できますね．

余因子と逆行列

それでは，行列式により正則性(逆行列をもつかどうか)を判定できることを説明しますが，そのために余因子を説明する必要があります．

$A\in\Mat_{n}(\R)$に対して，$A$の第$i$行と第$j$列を取り除いてできる${n-1}$次行列の行列式を$(i,j)$小行列式 (minor determinant)といい，$(i,j)$小行列式に$(-1)^{i+j}$をかけたものを$(i,j)$余因子 (cofactor)という．

この記事では，行列$A=(a_{ij})$の$(i,j)$余因子を$a_{ij}^{*}$と表します．

例えば，$A=\bmat{1&2&3\\4&5&6\\7&8&9}$に対して

$\begin{align*} &a_{12}^{*} =(-1)^{1+2}\vmat{4&6\\7&9} =6, \\&a_{33}^{*} =(-1)^{3+3}\vmat{1&2\\4&5} =-3 \end{align*}$

ですね．

$A\in\Mat_{n}(\R)$に対して，$A$の$(i,j)$余因子$a_{ij}^{*}$は$A$の第$j$列を$\m{e}_{i}$に置き換えてできる行列の行列式に等しい：

$\begin{align*} a_{ij}^{*}=|\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{j-1},\m{e}_{i},\m{a}_{j+1},\dots,\m{a}_{n}| \end{align*}$

行列$[\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{j-1},\m{e}_{i},\m{a}_{j+1},\dots,\m{a}_{n}]$を

$\begin{align*} [\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{j-1},\m{e}_{i},\m{a}_{j+1},\dots,\m{a}_{n}] =\bmat{A_{1}&\m{0}&A_{2}\\\m{p}&1&\m{q}\\A_{1}&\m{0}&A_{2}} \end{align*}$

とおく．

$\sigma,\tau\in S_{n}$を巡回置換$\sigma:=(1,\dots,j)$, $\tau:=(1,\dots,i)$とすると

$\begin{align*} \vmat{A_{1}&\m{0}&A_{2}\\\m{p}&1&\m{q}\\A_{1}&\m{0}&A_{2}} =&\sgn{\sigma}\vmat{\m{0}&A_{1}&A_{2}\\1&\m{p}&\m{q}\\\m{0}&A_{1}&A_{2}} =\sgn{\sigma}\sgn{\tau}\vmat{1&\m{p}&\m{q}\\\m{0}&A_{1}&A_{2}\\\m{0}&A_{1}&A_{2}} \\=&(-1)^{i+j-2}\vmat{A_{1}&A_{2}\\A_{1}&A_{2}} =(-1)^{i+j}\vmat{A_{1}&A_{2}\\A_{1}&A_{2}} =a_{ij}^{*} \end{align*}$

を得る．

次の命題は余因子展開 (cofactor expansion)とよばれ，理論上非常に有用である．

[余因子展開]　$A=(a_{ij})\in\Mat_{n}(\R)$の行列式は，任意の$j=1,2,\dots,n$に対して，以下が成り立つ．

$\begin{align*} |A|=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}a_{ij}^{*}\bra{=a_{1j}a_{1j}^{*}+\dots+a_{nj}a_{nj}^{*}} \end{align*}$

$A=[\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{n}]$とすると，行列式の線形性と補題より

$\begin{align*} |A| =&\abs{\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{j-1},\sum_{i=1}^{n}a_{ij}\m{e}_{i},\m{a}_{j+1},\dots,\m{a}_{n}} \\=&\sum_{i=1}^{n}a_{ij}\abs{\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{j-1},\m{e}_{i},\m{a}_{j+1},\dots,\m{a}_{n}} =\sum_{i=1}^{n}a_{ij}a_{ij}^{*} \end{align*}$

を得る．

ただし，実用上は先ほど見たように行基本変形により計算する方がラクでしょう．

行列式と逆行列

さて，余因子を用いることで，次ののように正則行列の逆行列を与えることができる．

$A\in\Mat_{n}(\R)$に対して，次は同値である．

$A$は正則である．
$|A|\neq0$が成り立つ．

さらに，これらの少なくとも一方，すなわち両方をみたすとき，以下が成り立つ．

$\begin{align*} A^{-1}=\frac{1}{|A|}\bmat{a_{11}^{*}&\dots&a_{n1}^{*}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{1n}^{*}&\dots&a_{nn}^{*}} \end{align*}$

$A$が正則であることと$\rank{A}=n$は同値で，これは$A$の簡約化が$I$であることと同値である．

行列式が０なら行基本変形を施しても行列式は０であるし，行列式が非０なら行基本変形を施しても行列式は非０であるから$(1)\iff(2)$が成り立つ．

また，$A=(a_{ij})=[\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{n}]$, $B:=\bmat{a_{11}^{*}&\dots&a_{n1}^{*}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{1n}^{*}&\dots&a_{nn}^{*}}$とすると，積$BA$の第$(i,j)$成分は

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}a_{kj}a_{ki}^{*} =&\sum_{k=1}^{n}a_{kj}|\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{i-1},\m{e}_{k},\m{a}_{i-1},\m{a}_{n}| \\=&\abs{\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{i-1},\sum_{k=1}^{n}a_{kj}\m{e}_{k},\m{a}_{i-1},\m{a}_{n}} =\abs{\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{i-1},\m{a}_{j},\m{a}_{i-1},\m{a}_{n}} \end{align*}$

である．

これは

$i\neq j$のときは，第$i$列と第$j$列が等しいから交代性の系より０に等しく，
$i=j$のときは，$|A|$に等しい．

よって，$AB=|A|I$となるから，$|A|\neq0$なら$\frac{1}{|A|}B$はAの逆行列となり，$A$は正則である．

例えば，２次行列$A=(a_{ij})=\bmat{a&b\\c&d}$について

$\begin{align*} &a_{11}^{*}=(-1)^{1+1}d,\quad a_{12}^{*}=(-1)^{1+2}c,\quad a_{21}^{*}=(-1)^{2+1}b,\quad a_{22}^{*}=(-1)^{2+2}a \end{align*}$

だから，$|A|=ad-bc\neq0$なら

$\begin{align*} A^{-1} =\frac{1}{|A|}\bmat{a_{11}^{*}&a_{21}^{*}\\a_{12}^{*}&a_{22}^{*}} =\frac{1}{ad-bc}\bmat{d&-c\\-b&a} \end{align*}$

となりますね．

クラメールの公式

最後に，$A$が正則な場合の連立1次方程式$A\m{x}=\m{c}$の解を与えるCramer(クラメール)の公式を説明します．

[Cramerの公式]　正則行列$A=[\m{a}_1,\dots,\m{a}_n]\in\Mat_{n}(\R)$, $\m{b}\in\R^{n}$に対して，$\m{x}=[x_{1},\dots,x_{n}]^{T}$の連立方程式$A\m{x}=\m{b}$の解は次で与えられる．

$\begin{align*} x_i=\frac{1}{|A|}|\m{a}_1,\dots,\m{a}_{i-1},\m{b},\m{a}_{i+1},\dots,\m{a}_n| \quad(i=1,\dots,n) \end{align*}$

$A=(a_{ij})$, $\m{b}=[b_1,\dots,b_n]^{T}$とする．

$A$は正則だから，$\m{x}$の連立方程式$A\m{x}=\m{b}$の解は

$\begin{align*} \m{x} =A^{-1}\m{b} =\frac{1}{|A|}\bmat{a_{11}^{*}&\dots&a_{n1}^{*}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{1n}^{*}&\dots&a_{nn}^{*}}\m{b} =\frac{1}{|A|}\bmat{\sum_{k=1}^{n}b_{k}a_{k1}^{*}\\\vdots\\\sum_{k=1}^{n}b_{k}a_{kn}^{*}} \end{align*}$

となる．

余因子展開より，任意の$i\in\{1,\dots,n\}$に対して

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}b_{k}a_{ki}^{*}=|\m{a}_1,\dots,\m{a}_{i-1},\m{b},\m{a}_{i+1},\dots,\m{a}_n| \end{align*}$

が従う．

例えば，少なくとも１つは他と異なる$a,b,c\in\R$は$a+b+c\neq0$を満たすとし，$x$, $y$, $z$の連立方程式

$\begin{align*} \begin{cases} ax+by+cz=1\\ bx+cy+az=0\\ cx+ay+bz=0 \end{cases} \end{align*}$

を考えます．

このとき，係数行列$A$の行列式$|A|$は

$\begin{align*} |A| =&\vmat{a&b&c\\b&c&a\\c&a&b} =-a^3-b^3-c^3+3abc \\=&-\frac{1}{2}(a+b+c)\brb{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2} \neq0 \end{align*}$

となるから$A$は正則で，Cramerの公式より解は

$\begin{align*} (x,y,z) =&\bra{\frac{1}{|A|}\vmat{1&b&c\\0&c&a\\0&a&b},\frac{1}{|A|}\vmat{a&1&c\\b&0&a\\c&0&b},\frac{1}{|A|}\vmat{a&b&1\\b&c&0\\c&a&0}} \\=&\bra{\frac{a^2-bc}{a^3+b^3+c^3-3abc},\frac{b^2-ca}{a^3+b^3+c^3-3abc},\frac{c^2-ab}{a^3+b^3+c^3-3abc}} \end{align*}$

となりますね．

一連の記事はこちら

【線形代数の初学者のための道案内｜線形代数のイメージを知る】