線形代数18|固有空間はなぜ大切か?対角化の必要十分条件

以前の記事で説明したように,正方行列$A$の冪$A^n$を直接計算しようとするのは面倒なことが多く,そのような場合には正方行列の対角化を考えるのが良いのでした.

しかし,この記事で詳しく説明するように,正方行列はいつでも対角化可能であるとは限りません.

また,前回の記事で簡単に説明したように,1つの固有地に属する固有ベクトルと例ベクトルを併せた空間は線形空間となり,この線形空間を固有空間といいます.

正方行列がいつでも対角化可能とは限らないことから,正方行列がどのような場合に対角化可能であるかを知りたくなりますが,実は正方行列が対角化可能であるための必要十分条件を固有空間を用いて与えることができます.

この記事では,

  • 固有空間の定義
  • 対角化可能であるための必要十分条件

について説明します.

特に断らない限り,この記事のベクトル,行列の成分は全て複素数であるとします.

固有空間

固有空間を導入する意義を理解するために,これまでの記事で説明してきた

  • 対角化
  • 線形独立性と正則性の関係

を復習しつつ考えていきましょう.

対角化

対角化の定義は以下の通りでした.

[対角化] 正方行列$A$に対して,正則行列$P$が存在して$B:=P^{-1}AP$が対角行列となるとき,$A$は$P$により対角化可能であるといい,$B$を$A$の対角化という.

この対角化の式$B=P^{-1}AP$をもう少し書き換えてみます.

正方行列$A$を$n$次とします.$B=P^{-1}AP$から$PB=AP$なので

  • $B=\bmat{\lambda_1&0&\dots&0\\0&\lambda_2&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&0\\0&\dots&0&\lambda_n}$
  • $P=[\m{p}_1,\m{p}_2,\dots,\m{p}_n]$

とおくと

\begin{align*} [\lambda_1\m{p}_1,\dots,\lambda_n\m{p}_n]=[A\m{p}_1,A\m{p}_2,\dots,A\m{p}_n] \end{align*}

が成り立ちます.

任意の$i=1,\dots,n$に対して,$P$は正則なので$\m{p}_i\neq\m{0}$であり,各列で比較すると$\lambda_i\m{p}_i=A\m{p}_i$なので

  • $\lambda_i$は$A$の固有値
  • $\m{p}_i$は$A$の固有値$\lambda_i$に属する固有ベクトル

となっています.

これが固有値・固有ベクトルが対角化と密接に関係している理由なのでした.

線形独立性と正則性の関係

このことから,逆に

  • $\lambda_i$は$A$の固有値
  • $\m{p}_i$は$A$の固有値$\lambda_i$に属する固有ベクトル

を持ってくることができれば,$P=[\m{p}_1,\dots,\m{p}_n]$で$A$を対角化できるように思ってしまいそうですが,実はこれは正しくありません.

なぜなら,好きに固有ベクトル$\m{p}_1,\m{p}_2,\dots,\m{p}_n$を$n$個とってきても$P$が正則になるとは限らないからです.

ここで,次の[線形独立性と正則性の関係]を思い出しておきましょう.

[線形独立性と正則性の関係] 正方行列$P=[\m{p}_1,\dots,\m{p}_n]$に対して,次は同値である.

  • $P$は正則である.
  • $\m{p}_1,\dots,\m{p}_n$は線形独立である.

この定理をふまえると,線形独立な$A$の固有ベクトル$\m{p}_1,\dots,\m{p}_n$をとってくることができて,初めて$A$が対角化可能と言えることが分かりますね.

さらに,前回の記事で説明した固有値に関する次の性質も思い出しておきましょう.

$A\in\Mat_n(\C)$の異なる固有値$\lambda_1,\dots,\lambda_r$に対して,それぞれの固有値に属する固有ベクトルを$\m{a}_1,\dots,\m{a}_r$とすると,$\m{a}_1,\dots,\m{a}_r$は線形独立である.

この命題を併せると,それぞれの固有空間に属する固有ベクトルの中で線形独立なものを考えることが,対角化可能性に本質的に関わってくることが分かります.

固有空間の定義

そこで,以下のように固有空間を定義します.

正方行列$A$の固有値$\lambda$に対して

\begin{align*} W_A(\lambda):=\set{\m{a}\in\R^n}{A\m{a}=\lambda\m{a}} \end{align*}

で定まる線形空間を$A$の固有値$\lambda$の固有空間 (eigenspace)という.

$W_A(\lambda)$が線形空間となることを示すには,任意の$\alpha,\beta\in\C$と$\m{a},\m{b}\in W_A(\lambda)$に対して$\alpha\m{a}+\beta\m{b}\in W_A(\lambda)$が成り立つことを示せばよいですね.

$\m{a}$, $\m{b}$の少なくとも一方が$\m{0}$の場合は直ちにに示すことができ,$\m{a}\neq\m{0}$かつ$\m{b}\neq\m{0}$の場合は前回の記事で固有値・固有ベクトルの性質として証明しています.

$A\m{a}=\lambda\m{a}$を満たす$\m{a}$で零ベクトルでないものを$A$の固有値$\lambda$に属する固有ベクトルというのでしたから,固有空間$W_A(\lambda)$は集合として$A$の固有値$\lambda$に属する固有ベクトル全部と零ベクトルを併せたものになっています.

よって,固有空間$W_A(\lambda)$の次元$\dim{W_A(\lambda)}$の個数だけ,$A$の固有値$\lambda$に属する線形独立な固有ベクトルが存在することになりますね.

対角化可能性

固有空間の定義と意義を説明したので,次は対角化可能であるための必要十分条件を説明します.

固有空間の次元

次元$\dim{W_A(\lambda)}$が大きいほど対角化にとって嬉しいわけですから,次元$\dim{W_A(\lambda)}$がどこまで大きくなり得るかは大切なことですね.

実は次元$\dim{W_A(\lambda)}$について,以下の[固有空間の次元]の定理が成り立ちます.

[固有空間の次元] 正方行列$A$に対して,$A$の固有多項式$\chi_{A}(x):=|xI-A|$が

\begin{align*} \chi_{A}(x)=(x-\lambda_1)^{n_1}(x-\lambda_2)^{n_2}\dots(x-\lambda_r)^{n_r} \end{align*}

となったとする.ただし,$\lambda_1,\dots,\lambda_n$は異なるとする.

このとき,任意の$i=1,\dots,r$に対して

\begin{align*} 1\le \dim{W_A(\lambda_i)}\le n_i \end{align*}

が成り立つ.

複素数係数の$n$次多項式は$n$個の1次式の積に因数分解できますが,この定理を代数学の基本定理といいます.

代数学の基本定理より,[固有空間の次元]の定理の$\chi_A(x)$は必ず$(x-\lambda_1)^{n_1}(x-\lambda_2)^{n_2}\dots(x-\lambda_r)^{n_r}$の形に因数分解できることが分かります.

固有多項式が因数$x-\lambda_i$を持てば$\lambda_i$は固有値となるのでしたから,$\dim{W_A(\lambda_i)}$が1以上であることはすぐに分かります.

加えて,この定理は因数$x-\lambda_i$を$n_i$個持てば,$\dim{W_A(\lambda_i)}$が最大で$n_i$であることを述べているわけですね.

なお,固有多項式については以下の記事を参照してください.


任意に$i=1,\dots,r$をとる.記号の簡略化のため

  • $W_{i}:=W_{A}(\lambda_{i})$
  • $d_{i}:=\dim{W_{i}}$

とする.このとき,$1\le d_i\le n_i$が示すべき不等式である.

[1] $1\le d_{i}$を示す.

任意の$i=1,\dots,r$に対して$\lambda_{i}$は$A$の固有値だから,$(\lambda_i I-A)\m{x}=\m{0}$は非自明な解をもつ.

すなわち,$W_{i}$は零ベクトル以外の元をもつから$d_i\ge1$が従う.

[2] $d_{i}\le n_{i}$を示す.

$W_{i}$の基底を$\anb{\m{a}_1,\dots,\m{a}_{d_i}}$とする.

$\m{a}_1,\dots,\m{a}_{d_i}$は$\C^n$上で線形独立だから,$\anb{\m{a}_1,\dots,\m{a}_{d_i},\m{a}_{d_{i}+1},\dots,\m{a}_n}$が$\C^n$の基底となるようにできる.

このとき,$P:=[\m{a}_1,\dots,\m{a}_n]$とすると,$P$は正則で

\begin{align*} I=P^{-1}P=\brc{P^{-1}\m{a}_1,\dots,P^{-1}\m{a}_n} \end{align*}

だから,各列を比較して$\m{e}_j=P^{-1}\m{a}_j$ ($j=1,\dots,n$)が成り立つ.加えて,$\m{a}_1,\dots,\m{a}_{d_i}$は$A$の固有値$\lambda_i$に属する固有値だったから

\begin{align*} P^{-1}AP =&P^{-1}[A\m{a}_1,\dots,A\m{a}_{d_i},A\m{a}_{d_{i+1}},\dots,A\m{a}_n] \\=&P^{-1}[\lambda_i\m{a}_1,\dots,\lambda_i\m{a}_{d_i},A\m{a}_{d_{i+1}},\dots,A\m{a}_n] \\=&[\lambda_iP^{-1}\m{a}_1,\dots,\lambda_iP^{-1}\m{a}_{d_i},P^{-1}A\m{a}_{d_{i+1}},\dots,P^{-1}A\m{a}_n] \\=&[\lambda_i\m{e}_1,\dots,\lambda_i\m{e}_{d_i},P^{-1}A\m{a}_{d_{i+1}},\dots,P^{-1}A\m{a}_n] \end{align*}

となる.

よって,固有多項式$\chi_{A}(x)$は

\begin{align*} \chi_{A}(x) =&|xI-A| =|P|^{-1}|xI-A||P| \\=&|P^{-1}||xI-A||P| =|P^{-1}(xI-A)P| \\=&|xP^{-1}IP-P^{-1}AP| \\=&\abs{xI-[\lambda_i\m{e}_1,\dots,\lambda_i\m{e}_{d_i},P^{-1}A\m{a}_{d_{i+1}},\dots,P^{-1}A\m{a}_n]} \\=&|[x\m{e}_1,\dots,x\m{e}_{d_i},x\m{e}_{d_{i}+1},\dots,x\m{e}_n] \\&\quad -[\lambda_i\m{e}_1,\dots,\lambda_i\m{e}_{d_i},P^{-1}A\m{a}_{d_{i+1}},\dots,P^{-1}A\m{a}_n]| \\=&|(x-\lambda_i)\m{e}_1,\dots,(x-\lambda_i)\m{e}_{d_i}, \\&\quad x\m{e}_{d_{i}+1}-P^{-1}A\m{a}_{d_{i}+1},\dots,x\m{e}_{n}-P^{-1}A\m{a}_n| \\=&(x-\lambda_i)^{d_i}\abs{\m{e}_1,\dots,\m{e}_{d_i},x\m{e}_{d_{i}+1}-P^{-1}A\m{a}_{d_{i}+1},\dots,x\m{e}_{n}-P^{-1}A\m{a}_n} \end{align*}

が成り立つ.なお,最後の等号では行列式の線形性を用いた.

$\chi_{A}(x)$の因数分解の形から$\chi_{A}(x)$は因数$x-\lambda_i$を高々$n_{i}$個しか持たないから$d_i\le n_i$を得る.

対角化可能であるための必要十分条件

今の[固有空間の次元]の定理から,次のように対角化可能であるための必要十分条件が得られます.

[対角化可能性] 正方行列$A$に対して,$A$の固有多項式$\chi_{A}(x):=|xI-A|$が

\begin{align*} \chi_{A}(x)=(x-\lambda_1)^{n_1}(x-\lambda_2)^{n_2}\dots(x-\lambda_r)^{n_r} \end{align*}

となったとする.ただし,$\lambda_1,\dots,\lambda_n$は異なるとする.このとき,次は同値である.

  1. $A$は対角化可能
  2. $\dim{W_{A}(\lambda_i)}=n_i$ ($i=1,\dots,r$)

$\chi_{A}(x)$の形から,$A$の次数を$n$とすると$\chi_A(x)$は$n$次多項式だから,$n_{1}+\dots+n_{r}=n$が成り立つことに注意する.

$\dim{W_A(\lambda_i)}\le n_{i}$であり,$\dim{W_A(\lambda_i)}$は$A$の固有値$\lambda$に属する線形独立な固有ベクトルの最大個数に一致することから,

\begin{align*} \dim{W_A(\lambda_i)}=n_i\quad(i=1,\dots,r) \end{align*}

が成り立つことと,線形独立な固有ベクトルが$n$個存在することは同値である.

これはさらに$A$が対角化可能であることと同値である.

$A$の固有値$\lambda_i$に属する線形独立な固有ベクトルが固有多項式$\chi_A(x)$の因数$x-\lambda_i$の数$n_i$だけ存在すれば,$A$は対角化可能というわけですね.

対角化の具体例

いま説明した[対角化可能性]の系から,正方行列$A$の対角化を考える際に最初にすることは$A$の固有多項式$\chi_{A}(x)$を因数分解することです.

そのとき,全ての1次の因数が1つならその時点で対角化可能ですが,問題は同じ1次の因数が複数ある場合です.

その場合は複数ある因数$x-\lambda$の個数と,固有空間$W_A(\lambda)$の次数$\dim{W_A(\lambda)}$を調べ

  • 一致すれば対角化可能
  • 一致しなければ対角化不可能

ですね.

対角化不可能な具体例

まずは対角化不可能な例です.

$A:=\bmat{1&3&2\\0&-1&0\\1&2&0}$は対角化可能か?対角化可能なら対角化せよ.


$A$の固有多項式$\chi_{A}(x)$は

\begin{align*} \chi_{A}(x) =&|xI-A| =\vmat{x-1&-3&-2\\0&x+1&0\\-1&-2&x} \\=&(-1)^{2+2}(x+1)\vmat{x-1&-2\\-1&x} =(x+1)(x^2-x-2) \\=&(x+1)^2(x-2) \end{align*}

だから,$A$の固有値は$-1$, $2$である.

$A$の固有値$-1$に属する固有ベクトルは$(A-(-1)I)\m{x}=\m{0}$の非自明解である.

行基本変形

\begin{align*} A-(-1)I =&\bmat{2&3&2\\0&0&0\\1&2&1} \\\to&\bmat{1&0&1\\0&1&0\\0&0&0} \end{align*}

より$W_{A}(-1)=\spn{([1,0,-1]^{T})}$だから$\dim{W_{A}(-1)}=1$である.$\chi_{A}(x)$の因数$x+1$の個数は2だったから$A$は対角化不可能である.

対角化可能な具体例

次は同じ1次の因数が複数あっても対角化可能な例を考えましょう.

$A:=\bmat{5&6&0\\-1&0&0\\1&2&2}$は対角化可能か?対角化可能なら対角化せよ.


$A$の固有多項式$\chi_{A}(x)$は

\begin{align*} \chi_{A}(x) =&\vmat{x-5&-6&0\\1&x&0\\-1&-2&x-2} =(-1)^{3+3}(x-2)\vmat{x-5&-6\\1&x} \\=&(x-2)(x^2-5x+6) =(x-2)^2(x-3) \end{align*}

だから,$A$の固有値は$2$, $3$である.

[1] $A$の固有値$2$に属する固有ベクトルは$(A-2I)\m{x}=\m{0}$の非自明解である.

行基本変形

\begin{align*} A-2I =\bmat{3&6&0\\-1&-2&0\\1&2&0} \to\bmat{1&2&0\\0&0&0\\0&0&0} \end{align*}

より,線形独立な$\m{a}_1:=[2,-1,0]^{T}$, $\m{a}_2:=[0,0,1]^{T}$を用いて$W_{A}(2)=\spn{(\m{a}_{1},\m{a}_{2})}$と表せるから$\dim{W_{A}(2)}=2$である.

これは$\chi_{A}(x)$の因数$x-2$の個数に一致する.

[2] $A$の固有値$3$に属する固有ベクトルは$(A-3I)\m{x}=\m{0}$の非自明解である.

行基本変形

\begin{align*} A-3I =\bmat{2&6&0\\-1&-3&0\\1&2&-1} \to\bmat{1&3&0\\0&1&1\\0&0&0} \end{align*}

より,線形独立な$\m{a}_3:=[3,-1,1]^{T}$を用いて$W_{A}(3)=\spn{(\m{a}_{3})}$と表せるから$\dim{W_{A}(3)}=1$である.

これは$\chi_{A}(x)$の因数$x-3$の個数に(当然)一致する.

[1],[2]より

\begin{align*} P:=&[\m{v}_1,\m{v}_2,\m{v}_3] \\=&\bmat{2&0&3\\-1&0&-1\\0&1&1} \end{align*}

とおくと,$P^{-1}AP=\bmat{2&0&0\\0&2&0\\0&0&3}$となる(対角化の対角成分は固有値に一致することに注意).

これにより,任意の$k\in\N$に対して,$P^{-1}A^{k}P=\bmat{2^{k}&0&0\\0&2^{k}&0\\0&0&3^{k}}$だから

\begin{align*} A^{k} =&\bra{P\bmat{2^{k}&0&0\\0&2^{k}&0\\0&0&3^{k}}P^{-1}}^{k} \\=&\bmat{2&0&3\\-1&0&-1\\0&1&1}\bmat{2^{k}&0&0\\0&2^{k}&0\\0&0&3^{k}}\bmat{2&0&3\\1&0&-1\\0&1&1}^{-1} \\=&\bmat{2&0&3\\-1&0&-1\\0&1&1}\bmat{2^{k}&0&0\\0&2^{k}&0\\0&0&3^{k}}\cdot\frac{1}{-1}\bmat{1&3&0\\1&2&-1\\-1&-2&0} \\=&\bmat{2^{k+1}&0&3^{k+1}\\-2^{k}&0&-3^{k}\\0&2^{k}&3^{k}}\bmat{-1&-3&0\\-1&-2&1\\1&2&0} \\=&\bmat{-2^{k+1}+3^{k+1}&-3\cdot2^{k+1}+2\cdot3^{k+1}&0\\2^{k}-3^{k}&3\cdot2^{k}-2\cdot3^{k}&0\\-2^{k}+3^{k}&-2^{k+1}+2\cdot3^{k}&2^{k}} \\=&2^{k}\bmat{-2&-6&0\\1&3&0\\-1&-2&1}+3^{k}\bmat{3&6&0\\-1&-2&0\\1&2&0} \end{align*}

を得る.

参考文献

線型代数入門

[齋藤正彦 著/東京大学出版会]

線形代数の教科書として半世紀に渡って売れ続けている超ロングセラーの教科書です.

発刊されてから本書の内容の流れが線形代数の教科書のスタンダードとなったほど,日本の線形代数の指導にインパクトを与えた名著です.

その証拠に,著者の齋藤正彦氏は本書で日本数学会出版賞を受賞しています.

「線形代数をとりあえず使えるようにするための教科書」ではなく「線形代数を理解するための教科書」のため,論理的に非常に詳しく書かれているのが特徴です.

また,テキストのレベルとしては少なくとも理論系(特に数学系)の学部生であれば,確実に理解しておきたい程度のものとなっています.

なお,本書については,以下の記事で書評としてまとめています.

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