まずは具体例で考えましょう．一定の確率で表が出るコインを１回投げて
- 表が出れば１点
- 裏が出れば０点
とするゲームでの点数$X$はベルヌーイ分布に従います．また，このゲームを$n$回続けるときの合計点数$Y$は二項分布に従います．
このことを数学的に言い表すと「確率変数$X_1,X_2,\dots,X_n$が同じベルヌーイ分布に独立に従うとき，これらの和$Y=X_1+X_2+\dots+X_n$は二項分布に従う」となります．
また，同様の関係が幾何分布と負の二項分布に対しても成り立ちます．すなわち，確率変数$X_1,X_2,\dots,X_n$が幾何分布に独立に従うとき，これらの和$Y=X_1+X_2+\dots+X_n$は負の二項分布に従います．
この記事では
- ベルヌーイ分布と二項分布の関係の直観的な考え方
- ベルヌーイ分布と二項分布の確率関数
- ベルヌーイ分布に従う確率変数の和が二項分布に従うことの証明
- 幾何分布と負の二項分布の関係
を順に解説します．
ベルヌーイ分布と二項分布の関係の直観的な考え方
ここでは冒頭のコインの例をもとに，ベルヌーイ分布と二項分布がどのような確率分布だったかを確認し，これらの関係を直観的に解説します．
ベルヌーイ分布を具体例から捉える
表が確率1/3で出るコインを１回投げ，表が出れば１点，裏が出れば０点とするゲームでの点数を$X$とすると，
- $X=1$となる確率は1/3
- $X=0$となる確率は2/3
となりますね．このとき，$X$はベルヌーイ分布$\mrm{Ber}(\frac{1}{3})$に従うといいます．
一般に，１回の試行で確率$p$で起こる事象$A$を考え，事象$A$に対して値１を，余事象$A^c$に対して値０をとる変数$X$はベルヌーイ分布$\mrm{Ber}(p)$に従うといい，
と表します．
二項分布を具体例から捉える
ベルヌーイ分布と同じく，表が確率1/3で出るコインを考えます．
表が出れば１点，裏が出れば０点とするゲームを１０回繰り返し，最終的な合計点数を$Y$とすると，$Y$の取りうる値は$Y=0,1,2,3,\dots,10$のいずれかですね．
このとき，$Y$は二項分布$\mrm{Bin}(10,\frac{1}{3})$に従うといいます．
合計点数$Y$は表が出た回数と言い換えることもできますね．
一般に，試行$T$を行い確率$p$で起こる事象$A$を考えるとき，試行$T$を繰り返して事象$A$が起こる回数$Y$は二項分布$\mrm{Bin}(n,p)$に従うといい，
と表します．$n=1$のときの二項分布$\mrm{Bin}(1,p)$はベルヌーイ分布$\mrm{Ber}(p)$と同じですね．
ベルヌーイ分布と二項分布の関係
確率変数$X_1,X_2,\dots,X_n$がベルヌーイ分布に独立に従うとき，
- 各$X_i$は事象$A$が起これば値１
- 事象$A$が起こらなければ（余事象$A^c$が起これば）値０
なので，和$Y=X_1+X_2+\dots+X_n$は試行を$n$回繰り返したときの事象$A$が起こる回数となりますね．
この$Y$はまさに二項分布に従う確率変数ですから，以上をまとめて次のようになることが分かります．
$p$を$0<p<1$を満たす実数，$n$を正の整数とする．確率変数$X_1,X_2,\dots,X_n$が互いに独立にベルヌーイ分布$\mrm{Ber}(p)$に従うとき，
は二項分布$\mrm{Bin}(n,p)$に従う．
この定理はもっとシンプルに「$X_1,X_2,\dots,X_n\overset{\text{i.i.d.}}{\sim}\mrm{Ber}(p)$のとき，$X_1+X_2+\dots+X_n\sim\mrm{Bin}(n,p)$が成り立つ」と表現することもできます．
のちにこの定理を厳密に証明します．
ベルヌーイ分布と二項分布の確率関数
上記の定理を証明するために，ここでベルヌーイ分布と二項分布の定義を確認しておきましょう．
ベルヌーイ分布の定義
実数$p$は$0<p<1$を満たすとする．離散型確率変数$X$がパラメータ$p$のベルヌーイ分布に従うとは，$X$の確率関数$P(X=k)$が
を満たすことをいう．また，このとき$X\sim\mrm{Ber}(p)$などと表す．
慣習的に，ベルヌーイ分布で
- 値１となる事象を成功
- 値０となる事象を失敗
といいます．また，$p$を成功確率ということも多いです．たとえば，確率$p$で表が出るコインを投げて，
- 表が出れば１点（確率$p$）
- 裏が出れば０点（確率$1-p$）
とする場合は，表が出ることを成功，裏が出ることを失敗と考えているわけですね．
二項分布の定義
$p$を$0<p<1$を満たす実数とし，$n$を正の整数とする．離散型確率変数$X$がパラメータ$n$, $p$の二項分布に従うとは，$X$の確率関数$P(X=k)$が
を満たすことをいう．また，このとき$X\sim\mrm{Bin}(n,p)$などと表す．
$\binom{n}{k}$は二項係数で，高校数学でいう組み合わせの場合の数$\Co{n}{k}$と同じものです．
具体例で見たように，二項分布はベルヌーイ試行（成功または失敗のいずれかの事象が起こる試行）を繰り返すことを考えています．
そのため，ベルヌーイ分布と同様に，二項分布$\mrm{Bin}(n,p)$の$p$を慣習的に成功確率ということも多いです．
また，$n$はベルヌーイ試行を繰り返す回数$n$を試行回数ということも多いです．
ベルヌーイ分布に従う確率変数の和が二項分布に従うことの証明
（再掲）$p$を$0<p<1$を満たす実数，$n$を正の整数とする．確率変数$X_1,X_2,\dots,X_n$が互いに独立にベルヌーイ分布$\mrm{Ber}(p)$に従うとき，
は二項分布$\mrm{Bin}(n,p)$に従う．
各$X_1,X_2,\dots,X_n$のとる値は０または１だから，和$X_1+X_2+\dots+X_n$は$0,1,2,\dots,n$のいずれかの値をとることが分かる．
よって，あとは任意の$k=0,1,2,\dots,n$に対して，
が成り立つことを示せばよい．
$X_1+X_2+\dots+X_n=k$となるパターン
$X_1+X_2+\dots+X_n=k$となるのは，$X_1,X_2,\dots,X_n$のうちちょうど$k$個が１となる場合である．
すなわち，$X_1,X_2,\dots,X_n$から値１をとるものをちょうど$k$個選ぶ場合の数に等しく，組み合わせの場合の数$\Co{n}{k}=\binom{n}{k}$である．
（たとえば，$n=5$のとき，$X_1+X_2+X_3+X_4+X_5=3$となるのは
- $(X_1,X_2,X_3,X_4,X_5)=(1,1,1,0,0)$
- $(X_1,X_2,X_3,X_4,X_5)=(1,1,0,1,0)$
- ……
- $(X_1,X_2,X_3,X_4,X_5)=(0,0,1,1,1)$
の場合で，この場合の数は$\Co{5}{3}=\binom{5}{3}=10$である．）
確率$P(X_1+X_2+\dots+X_n=k)$の計算
上記の箇条書きのパターンはいずれも排反なので，それぞれの確率を求めて足し合わせれば，確率$P(X_1+X_2+\dots+X_n=k)$が得られる．
$X_1,X_2,\dots,X_n$は独立なので，いずれのパターンの確率も$p^k(1-p)^{n-k}$だから，
$P(X_1+X_2+\dots+X_n=k)=\underbrace{p^k(1-p)^{n-k}+\dots+p^k(1-p)^{n-k}}_{\text{$\binom{n}{k}$個}}$
である．同じ$p^k(1-p)^{n-k}$を$\binom{n}{k}$個足し合わせているので，
を得る．よって，$X_1+X_2+\dots+X_n$は二項分布$\mrm{Bin}(n,p)$に従う．
本質的に反復試行の確率の公式の導出と同じことをしています．
幾何分布と負の二項分布の関係
ベルヌーイ分布と二項分布の関係と同様の関係が，幾何分布と負の二項分布に対しても成り立ちます．
以下，ベルヌーイ分布と二項分布の関係と同様のストーリーで説明していきます．
直観的な考え方
確率$p$で表が出るコインを投げ続けるとき，
従います．一般に，試行$T$を１回行い確率$p$で起こる事象$A$を考えるとき，試行$T$を繰り返して
- 事象$A$が初めて起こるまでの余事象$A^c$が起こる回数$X$は幾何分布$\mrm{Geo}(p)$に従う
- 事象$A$が$r$回起こるまでの余事象$A^c$が起こる回数$Y$は負の二項分布$\mrm{NB}(r,p)$に従う
といい，それぞれ
と表します．
確率変数$X_1,X_2,\dots,X_r$が幾何分布に独立に従うとき，各$X_i$は事象$A$が起こるまでの余事象$A^c$が起こる回数なので，和$Y=X_1+X_2+\dots+X_r$は余事象$A^c$が$r$回繰り返したときの余事象$A^c$が起こる回数となりますね．
この$Y$はまさに負の二項分布に従う確率変数ですから，以上をまとめて次のようになることが分かります．
$p$を$0<p<1$を満たす実数，$r$を正の整数とする．確率変数$X_1,X_2,\dots,X_r$が互いに独立に幾何分布$\mrm{Geo}(p)$に従うとき，
は負の二項分布$\mrm{NB}(r,p)$に従う．
この定理はもっとシンプルに「$X_1,X_2,\dots,X_r\overset{\text{i.i.d.}}{\sim}\mrm{Geo}(p)$のとき，$X_1+X_2+\dots+X_r\sim\mrm{NB}(r,p)$が成り立つ」と表現することもできます．
幾何分布・負の二項分布の定義
実数$p$は$0<p<1$を満たすとする．離散型確率変数$X$がパラメータ$p$の幾何分布に従うとは，$X$の確率関数$p_X$が
を満たすことをいう．また，このとき$X\sim\mrm{Geo}(p)$などと表す．
$r$を正の整数，$p$は$0<p<1$を満たす実数とする．離散型確率変数$X$がパラメータ$r$, $p$の負の二項分布に従うとは，$X$の確率関数$p_X$が
を満たすことをいう．また，このとき$X\sim\mrm{NB}(r,p)$などと表す．
ベルヌーイ分布・二項分布と同様に，$p$を成功確率ということも多いです．
とくに，負の二項分布で$r=1$とした$\mrm{NB}(1,p)$は，$\binom{r+k-1}{k}=\binom{k}{k}=1$であることから$\mrm{Geo}(p)$に等しいですね．
幾何分布に従う確率変数の和が負の二項分布に従うことの証明
（再掲）$p$を$0<p<1$を満たす実数，$r$を正の整数とする．確率変数$X_1,X_2,\dots,X_r$が互いに独立に幾何分布$\mrm{Geo}(p)$に従うとき，
は負の二項分布$\mrm{NB}(r,p)$に従う．
各$X_1,X_2,\dots,X_r$のとる値は$0,1,2,3,\dots$だから，和$X_1+X_2+\dots+X_r$も値$0,1,2,3,\dots$をとる．
よって，あとは任意の$k=0,1,2,3,\dots$に対して，
が成り立つことを示せばよい．
$X_1+X_2+\dots+X_r=k$となるパターン
$X_1+X_2+\dots+X_r=k$となるのは，$r$種類のものから全部で$k$個選ぶ重複組み合わせの場合の数に等しい．
これは$k$個の◯と$r-1$本の｜の並べ方の総数に等しく，組み合わせの場合の数$\Co{r+k-1}{k}=\binom{r+k-1}{k}$である．
（たとえば，$r=5$, $k=10$のとき
- ◯◯｜◯◯◯◯｜◯｜◯｜◯◯は$(X_1,X_2,X_3,X_4,X_5)=(2,4,1,1,2)$
- ◯◯◯｜◯◯◯◯｜｜◯◯｜◯は$(X_1,X_2,X_3,X_4,X_5)=(3,4,0,2,1)$
- ｜◯◯｜｜◯◯◯◯◯◯｜◯◯は$(X_1,X_2,X_3,X_4,X_5)=(0,2,0,6,2)$
に対応する．すなわち，｜によって分けられた◯が何個連続しているかと$(X_1,X_2,X_3,X_4,X_5)$を対応させることができる．）
確率$P(X_1+X_2+\dots+X_r=k)$の計算
異なる組$(X_1,X_2,\dots,X_r)$のパターンの確率を求めて足し合わせれば，確率$P(X_1+X_2+\dots+X_r=k)$が得られる．
$X_1,X_2,\dots,X_r$は独立なので，いずれのパターンの確率も$p^k(1-p)^{r}$だから，
$P(X_1+X_2+\dots+X_r=k)=\underbrace{p^k(1-p)^{r}+\dots+p^k(1-p)^{r}}_{\text{$\binom{r+k-1}{k}$個}}$
である．同じ$p^k(1-p)^{r}$を$\binom{r+k-1}{k}$個足し合わせているので，
を得る．よって，$X_1+X_2+\dots+X_r$は負の二項分布$\mrm{NB}(r,p)$に従う．
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