線形代数学の基本

線形代数は正方行列の対角化はとても便利ですが，対角化できない正方行列も存在します．そこでこの記事では，正方行列が対角化可能であるための必要十分条件を固有空間から説明します．

正方行列はいつでも対角化可能であるとは限りませんが，簡単に対角化可能であることを判定できる場合もあります．この記事では，正方行列が対角化可能であることを判定できる最も基本的な定理を解説します．

正方行列Aの固有値は連立方程式|xI-A|=0を解くことで求めることができ，Aの固有値λに属する固有ベクトルは固有値・固有ベクトルの定義から得られる連立方程式を解いて得られます．このように「固有値→固有ベクトル」と順に求めることができます．

一般に正方行列Aの冪Aⁿを直接計算するのは非常に面倒ですが，正方行列の「対角化」を用いれば冪Aⁿは比較的簡単に計算することができます．この記事では「対角化」に密接に関わる固有値・固有ベクトルも併せて解説します．

２つの部分空間U,Vの元の和でできるベクトル全部の集合を「和空間」といいます．この記事では具体例から和空間の定義・基底の求め方を解説し，和空間の次元と直和についても解説します．

ℝⁿの部分空間U,Vの共通部分U∩Vは，いつでもℝⁿの部分空間となります．この記事では，部分空間の共通部分の基底と次元の求め方を具体例を用いて解説します．

行列Aを左からベクトルにかけて零ベクトルなるベクトルたち（連立方程式Ax=0の解）を全て集めてできる集合を行列Aの「核」といい，Ker(A)などと表します．行列の核は部分空間となることが知られており，重要な部分空間の１つです．

行列Aを左からベクトルにかけてできるベクトルたちを全て集めてできる集合を行列Aの「像」といい，Im(A)などと表します．行列の像は部分空間となることが知られており，重要な部分空間の１つです．

生成される部分空間は線形代数でよく現れる重要な空間で基底を求めたいことはよくあります．この記事では，ℝⁿ上の生成される空間の基底・次元の求め方を具体例から説明します．

前回の記事では$\R^n$の部分空間の基底を定義し，例えば$\R^3$の部分空間の基底として \begin{align*}\anb{\bmat{1\\0\\0},\bmat{0\\1\\0},\bmat{0\\0\\1}},\quad...