線形代数学の基本

線形代数は正方行列の対角化があるゆえに広く応用されると言っても良いでしょう．しかし，対角化できない正方行列も存在します．そこで，この記事では，正方行列が対角化可能であるための必要十分条件を説明します．この必要十分条件は固有空間を用いて表せることが知られています．

ある正方行列の固有値・固有ベクトルが分かっているとき，他にも固有値・固有ベクトルが分かる場合があります．この記事では，固有値・固有ベクトルの基本性質を説明し，異なる固有値に属する固有ベクトルが線形独立であることを証明します．

正方行列Aの固有値は連立方程式|xI-A|=0を解くことで求めることができ，Aの固有値λに属する固有ベクトルは固有値・固有ベクトルの定義から得られる連立方程式を解いて得られます．このように「固有値→固有ベクトル」と順に求めることができます．

一般に正方行列Aの冪$A^n$を直接計算するのは非常に面倒です．そこで，正方行列の「対角化」を用いれば冪$A^n$は比較的簡単に計算することができます．そして．この「対角化」のためには「固有値」と「固有ベクトル」が非常に重要です．

ベクトル空間がどのような元からなっているかを考えるとき，「基底」は重要な概念です．この記事では，線形独立性，生成される部分空間を準備し，具体例をもとに基底の考え方を説明します．

ℝⁿの和とスカラー倍について閉じている部分集合をℝⁿの「部分空間」と言い，直感的には原点を通り真っ直ぐに伸びた空間ということができます．この記事では部分空間を具体例とともに説明しています．

正方行列Aが正則行列であるかどうかは，Aの行列式|A|が０であるか否かで判定することができます．このことを[余因子展開]を用いることでこのことを証明することができ，さらに正則行列Aの逆行列A⁻¹の形も知ることができます．

行列式|A|は正方行列Aの正則性(逆行列の存在)を判定できるもので，線形代数学のいたるところに現れます．この記事では，行列式|A|の定義と性質をまとめ，連立1次方程式の解を行列式|A|を用いて表すクラメールの公式を導きます．

前々回の記事では正方行列$A=$の行列式$|A|$の直感的なイメージを説明し $|A|\neq0$をみたすこと $A$が正則であること が同値となりそうなことをみました（このことは次の記事で成り立つことを証明します）．...

Aの行列式|A|は$a_1$,…,$a_n$が張る立体の体積に相当する量であり，|A|が０かどうかで正則性を判定することができます．しかし，実際に行列式|A|を定義するには置換を用いる方が便利です．この記事では，行列式を定義するための置換の定義と性質を説明します．