集合・位相空間論一覧

具体例からwell-definedを理解する

数学でなんらかの定義をするとき,「well-defined性」を意識することは大切です. 大雑把にいえば,ある定義がwell-defi...

記事を読む

商集合の考え方と具体例|同値関係はただのグループ分け

集合論には二項関係という概念がありますが,二項関係の中でもある性質を満たすものを同値関係といいます. 最初に「同値関係」と聞くと語感か...

記事を読む

無理数は有理数よりも多い?|対角線論法による濃度差の証明

たとえば $\frac{2}{3}=0.66666\dots$ $-\frac{1}{5}=-0.20000\dots$ ...

記事を読む

フレシェ空間とは?|セミノルムから距離空間を定義する方法

以下の3つの性質を満たす実(または複素)線形空間$V$上の関数$\|\cdot\|:V\to\R$を$V$上のノルムというのでした: ...

記事を読む

距離空間の定義のイメージと具体例|ノルム空間との関係

大雑把にいえば,距離空間とは「2点間の離れ具合が実数値で表される空間」のことであり,大学数学の分野としては位相空間論に属します. しか...

記事を読む

バナッハの不動点定理|完備距離空間の縮小写像の不動点

写像$f:X\to X$を施しても変化しない,すなわち$f(x)=x$を満たす点$x\in X$を$f$の不動点といいます. 不動点に...

記事を読む

ハメル基底とf(x+y)=f(x)+f(y)をみたす関数

$f(x)=ax$ ($a\in\R$)で定まる関数$f:\R\to\R$が等式 \begin{align*} f(x+y)=f...

記事を読む

[線形空間の基底]と[ハメル基底]の存在はZornの補題から

Zorn(ツォルン)の補題は選択公理と同値な存在定理で,Zornの補題を用いることで様々なものの存在を証明することができます. 例えば...

記事を読む

位相空間上の連続写像を矛盾なく定義する方法

位相空間上の写像に連続性を定義することを考える. 距離空間における連続性は「$\epsilon$-$\delta$論法」を用いて定義す...

記事を読む

記事一覧は

こちら

Twitterを

フォロー

大学院入試

解答例

大学受験

解説ブログ