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集合・位相空間論一覧

商集合の考え方と具体例|同値関係はただのグループ分け

集合論には二項関係という概念がありますが,二項関係の中でもある性質を満たすものを同値関係といいます.

最初に「同値関係」と聞くと語感からキツい印象を受けてしまいますが,実際にはただの「グループ分け」の考え方を数学的に定式化したものにほかなりません.

とはいえ,同値関係は数学の様々な分野に現れる概念であり,縁の下の力持ちともいえます.例えば

  • 代数学では剰余群G/N
  • 幾何学では射影空間\K P_n
  • 解析学ではLebesgue(ルベーグ)空間L^p(\R^n)

などは商集合の一種で,定義には同値関係が必要です.

この記事では,同値関係の基本的な考え方と,同値関係の具体例を考えます.

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無理数は有理数よりも多い?|対角線論法による濃度差の証明

たとえば

  • \frac{2}{3}=0.66666\dots
  • -\frac{1}{5}=-0.20000\dots

のように,(整数)/(整数)の形の分数は小数に直すと必ず循環する小数で表すことができ,このような数を有理数というのでした.

一方で,循環小数で表せない実数のことを無理数といい,例えば\sqrt{2}などがありますね.

義務教育下では,有理数は小学校以来扱ってきますが,無理数は中学数学で2次方程式を解くために導入される平方根に関連して\sqrt{\quad}が現れるのが最初でしょう.

さて,この記事では「無理数と有理数はどちらの方が多いでしょう?」という問題を考えますが,この問題に対してどのように考えれば良いでしょうか?

いろいろ考えるところはあると思いますが,モノの多さを計る指標として数学には濃度というものがあり,濃度を考えると「無理数の方が多い」ということができます.

この記事では濃度の基本的な考え方を説明し,「有理数が無理数よりも多い」ということを前提知識が少ない人にも分かるように,なおかつそれなりに数学的に説明します. 続きを読む


フレシェ空間とは?|セミノルムから距離空間を定義する方法

以下の3つの性質を満たす実(または複素)線形空間V上の関数\|\cdot\|:V\to\RV上のノルムというのでした:

  1. 非退化性:\|\m{v}\|=0\Ra\ \m{v}=0 (\m{v}\in V)
  2. 斉次性:\|\alpha \m{v}\|=|\alpha|\|\m{v}\| (\alpha\in\R\ \mrm{or}\ \C), \m{v}\in V)
  3. 劣加法性:\|\m{u}+\m{v}\|\le \|\m{u}\|+\|\m{v}\| (\m{u},\m{v}\in V)

ノルムを備えたベクトル空間(V,\|\cdot\|)ノルム空間といい,ノルム空間は自然に距離空間とみなすことができるのでした.

さて,ノルムの性質のうち非退化性を満たさない関数V\to\Rセミノルムといいます.

セミノルムを1つ用意するだけではベクトル空間は距離空間とみなすことはできませんが,適当なセミノルムを用意することによりベクトル空間を距離空間とみなすことができます.

さらに,このセミノルムにより定められた距離空間が完備であるとき,この空間をFréchet(フレシェ)空間といいます.

この記事では,

  • 適当な性質を持つセミノルムの族により複素線形空間は距離空間とみなせることを説明し
  • Fréchet空間の定義と具体例を説明します

なお,この記事では全て複素線形空間で考えますが,実線形空間に対してもFréchet空間は同様に定義できます.

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距離空間の定義のイメージと具体例|ノルム空間との関係

大学数学において,「距離空間」は位相空間論で学ぶことになります.

大雑把に言えば,距離空間とは「2点間の離れ具合が数値で表される空間」のことであり,我々が中学・高校以来扱ってきた数直線,xy平面,xyz空間などは距離空間の1つです.

また,距離空間は位相空間の例としても重要で,良い位相的な性質をもちます.

この記事では,

  • 距離空間の定義のイメージ
  • 距離空間の具体例

を説明し,最後に距離空間に似たノルム空間との関係を説明します.

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バナッハの不動点定理|完備距離空間の縮小写像の不動点

写像f:X\to Xを施しても変化しない,すなわちf(x)=xを満たす点x\in Xf不動点といいます.

不動点に関する定理は様々なものがあり,[Banach(バナッハ)の不動点定理]もその1つです.

[Banachの不動点定理]は完備距離空間X上の縮小写像に関する不動点定理で,別名[縮小写像の定理]とも呼ばれています.

例えば,常微分方程式の解の存在と一意性を証明する方法としてPicard(ピカール)の逐次近似法(Picard–Lindelöfの定理)がありますが,これは本質的に[Banachの不動点定理]です.

この記事では,[Banachの不動点定理]について説明したのち,この定理の証明をします.

なお,[Picardの逐次近似法]については以下の記事を参照してください.

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ハメル基底とf(x+y)=f(x)+f(y)をみたす関数

1つ問題を考える.aを実数として,f:\R\to\R;x\mapsto axで定まる関数fが等式

    \begin{align*} f(x+y)=f(x)+f(y) \end{align*}

をみたすことは簡単に分かるが,逆にこの等式を満たす関数f:\R\to\R

    \begin{align*} f(x)=ax\quad(a\in\R) \end{align*}

の形のものに限るだろうか?

実は,Hamel(ハメル)基底というものを用いれば,f(x+y)=f(x)+f(y)を満たすがf(x)=axの形をしていない関数f:\R\to\Rの存在を示すことができる.

この記事では,

  • Hamel基底を説明し,
  • f(x+y)=f(x)+f(y)をみたす関数f:\R\to\R

を考える.

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[ベクトル空間の基底]と[ハメル基底]の存在の証明

Zorn(ツォルン)の補題は選択公理と同値な存在定理であり,Zornの補題を用いることで様々なものの存在を証明することができる.

例えば,この記事で扱う

  • ベクトル空間における基底
  • Hamel基底

の存在は両者ともZornの補題によって証明することができる.

なお,Hamal基底のイメージなどについては以下の記事でも説明しているので参照されたい.

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位相空間上の連続写像を矛盾なく定義する方法

位相空間上の写像に連続性を定義することを考える.

距離空間における連続性は「\epsilon\delta論法」を用いて定義するのが普通である.

しかし,「\epsilon\delta論法」は距離を用いた定義のため,一般には距離が定義されていない位相空間にそのまま「\epsilon\delta論法」は適用できない.

そのため,位相空間での写像の連続性を定義する際には,距離空間での連続性の定義に矛盾しないように定義する必要がある.

そこで,もし距離空間での写像の連続性の定義を距離を用いない同値な条件に言い換えることができれば,その条件を位相空間上の写像の連続性の定義とすることができる.

この記事では,位相空間の定義,距離空間の定義から確認し,距離空間上の写像の連続性について考察する.

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