集合・位相空間論

集合論

関数の表し方|“$f$”と“$f(x)$”で意味はどう違う?

高校数学では「関数f(x)」という表現が,大学数学では「関数f」という表現が多く用いられています.実はこれら“f"と“f(x)"の意味には明確な違いがあり,この記事ではこの違いを説明しています.
位相空間論

連結性3|連結であっても弧状連結でない集合の具体例

集合が「ひとまとまり」であることを表す概念として「弧状連結性」「連結性」があります.これらには「弧状連結なら連結」という関係がありますが,逆は成り立ちません.そこで,この記事では「連結であっても弧状連結でない集合」を紹介します.
位相空間論

連結性2|集合が「連結」であることの定義と具体例

位相空間Xの部分集合Aが「ひとまとまりになっていること」を表す概念として,「連結」と「弧状連結」があります.この記事では「連結」の定義をを丁寧に説明したあと,「弧状連結なら連結」が成り立つことを証明し,「連結な集合の具体例」を紹介しています.
位相空間論

連結性1|集合が「弧状連結」であることの定義と具体例

位相空間Xの部分集合Aが「ひとまとまりになっていること」を表す概念として,「連結」と「弧状連結」があります.この記事では「弧状連結」の定義を丁寧に説明したあと,「弧状連結な集合の具体例」を紹介しています.
集合論

well-definedを理解する|三角比の定義から具体例に考える

数学では,定義がwell-definedであることはとても重要ですが,あまり授業で積極的に扱われることは少ないようで,曖昧な理解になってしまっている人は少なくないようです.そこで,この記事では三角比の定義を具体例としてwell-definedを説明します.
位相空間論

商集合の考え方と具体例|同値関係はただのグループ分け

集合論には二項関係という概念がありますが,二項関係の中でもある性質を満たすものを同値関係といいます. 最初に「同値関係」と聞くと語感からキツい印象を受けてしまいますが,実際にはただの「グループ分け」の考え方を数学的に定式化したものにほ...
集合論

無理数は有理数よりも多い?|対角線論法による濃度差の証明

無理数は有理数よりも多いことが証明できます.このことを厳密に証明するには大学数学の知識が必要ですが,大まかな考え方は中学生にも理解できます.この記事では,「対角線論法」を用いて無理数の集合の濃度と有理数の集合の濃度が異なることを示します.
位相空間論

フレシェ空間とは?|セミノルムから距離空間を定義する方法

適当な性質をもつセミノルムの族が定められた線形空間Vは,ノルム空間のように考えることができます.さらに,この線形空間Vが完備ならVをフレシェ空間といいます.この記事では,フレシェ空間の考え方を説明し,フレシェ空間の具体例を紹介します.
位相空間論

距離空間の定義のイメージと具体例|ノルム空間との関係

「距離空間」は位相空間よりはとっつきやすいものの,それでも少々抽象的に感じる初学者も少なくないようです.この記事では,距離空間の定義の3条件のイメージ,距離空間の具体例を説明します.最後に,距離空間に似た「ノルム空間」との関係も説明します.
集合論

ハメル基底とコーシーの関数方程式|$f(x+y)=f(x)+f(y)$

等式f(x+y)=f(x)+f(y)を満たす関数にはどんなものがあるでしょうか?たとえば単純な比例の関数f(x)=axはこの等式を満たしますが,他にはないのでしょうか?実は「ハメル基底」を用いることで,この等式を満たす比例でない関数が構成できます.
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