複素解析

留数定理は複素積分と留数の関係を述べた複素解析の重要定理です．留数定理を用いることで広義積分の値が簡単に計算できることもよくあります．この記事では留数定理を説明したのち，留数定理を用いて具体例に広義積分を求めています．

点αで微分可能性が不明でも，αの近くで微分可能な複素関数は「ローラン展開」することができます．このローラン展開は「テイラー展開」の拡張ということができます．また，複素解析の重要定理である「留数定理」を考えるためには欠かせないものとなっています．

複素解析では領域上で１回でも微分可能ならテイラー展開可能であることが証明できます．また，このテイラー展開を用いることで「領域上で１回でも微分可能なら無限回微分可能」という微分積分学では成り立たない事実を証明することができます．

複素関数を複素積分で表す公式として[コーシーの積分公式]というものがあります．この[コーシーの積分公式]はテイラー展開とローラン展開のベースとなる重要な公式です．この記事では[コーシーの積分公式]の直感的な説明と証明をしています．

コーシーの積分定理は「正則関数の閉曲線上の複素積分は0である」という定理で，複素解析の中でも重要なとても強力な定理です．この記事ではこのコーシーの積分定理を紹介し，基本的な使い方を紹介します．

リーマン積分は「変数xを実区間[a,b]で動かして考える積分」でしたが，複素積分は「複素変数zを複素平面上の曲線C上で動かして考える積分」です．リーマン積分と複素積分の違いはこれだけなので，リーマン積分の定義を理解していれば複素積分の定義も同様に理解することができます．

複素解析は複素関数の微分と積分を考える分野で，この記事では複素関数の微分法について説明します．複素関数の微分は実数の関数の微分と形式的には同じですが，性質は大きく異なるものになっています．

微分積分学は「実変数の実数値関数の微分積分」を考える分野でしたが，複素解析は「複素変数の複素数値関数の微分積分」を考える分野となります．複素解析の「複素変数の複素数値関数」は複素変数と呼ばれ，微分積分を考える複素解析の主役となります．