ルベーグ積分の基本

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ルベーグ積分はリーマン積分の拡張|証明と計算の例題を解説

有界閉区間上の有界関数fがリーマン積分可能なら,fはルベーグ積分可能であり,リーマン積分とルベーグ積分が等しいことが証明できます.また,有界閉区間上でない積分にも応用できることがあります.
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ルベーグの優収束定理の3つのポイント|定理の証明と具体例

ルベーグ積分は極限と相性が良く,その中でも積分と極限が順序交換であることを保証する「ルベーグの優収束定理」は非常に便利で広く用いられます.この記事ではルベーグの優収束定理の使い方を例題をもとに解説し,定理の証明をします.
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ファトゥの補題の使い方を例題から解説|ルベーグ積分と下極限

下極限とルベーグ積分の交換に関する定理として「ファトゥの補題」があります.ファトゥの補題は極限の発散の証明に便利であったり,ルベーグの収束定理を証明する際に鍵となる定理です.
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ルベーグの単調収束定理の例題と証明|ルベーグ積分の重要定理

可測集合A上の広義単調増加する非負値可測単関数列{fₙ}が各点収束するとき,{fₙ}はA上で項別積分可能です.この記事では,この「単関数列の項別積分定理」の考え方・応用・証明を解説します.
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単関数列の項別積分定理|直感的な考え方・応用・証明を解説

可測集合A上の広義単調増加する非負値可測単関数列{fₙ}が各点収束するとき,{fₙ}はA上で項別積分可能です.この記事では,この「単関数列の項別積分定理」の考え方・応用・証明を解説します.
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ルベーグ積分の基本性質|非負値可測関数のルベーグ積分

非負値可測関数に対してルベーグ積分の性質から,一般の可測関数のルベーグ積分でも同様の性質が成り立つことが多いです.この記事では,非負値可測関数の性質を中心に,ルベーグ積分の基本性質を証明します.
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ルベーグ積分の定義|単関数による近似を踏まえて定義する

可測単関数にルベーグ積分は簡単に定義でき,非負可測関数fは非負可測単関数列{fₙ}でしたから近似できることを踏まえて,この記事では一般の可測関数にルベーグ積分を定義します.
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単関数近似定理|ルベーグ可測関数fを単関数列{fₙ}で近似する

ルベーグ可測関数は単関数で近似することができ,ルベーグ積分はこの事実をもとに定義されます.この記事では,ルベーグ積分の定義のために「可測関数の単関数近似定理」を説明します.
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単関数のルベーグ積分|具体例を通して考え方を理解しよう

ルベーグ可測関数のルベーグ積分の考え方を理解する前に,先に「単関数」と呼ばれる関数のルベーグ積分を考えておくと見通しが良くなります.この記事では,具体例を踏まえて可測単関数のルベーグ積分を説明します.
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線形結合・絶対値・連続関数などのルベーグ可測性を証明

ルベーグ積分はルベーグ可測関数に対して定義されるため,ルベーグ可測関数の性質を整理しておくことは大切です.この記事では,可測関数の線形結合・積・商・正成分・負成分・絶対値の可測性を証明します.
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