ルベーグ積分の基本

「ルベーグ積分の基本」の一連の記事

ルベーグ積分入門
1. 0 ルベーグ積分の基礎｜リーマン積分の先へ！積分の歴史から紹介

ルベーグ測度
1. 1 外測度とは何か？集合の「長さ」の測り方
2. 2 外測度の本質的に重要な５つの性質
3. 3 可測集合の定義とルベーグ測度の定義
4. 4 可測集合の基本性質のまとめと完全加法族
5. 5 区間・開集合・閉集合の可測性とボレル集合族
6. 6 ルベーグ測度の本質的に重要な４つの性質

ルベーグ可測関数とルベーグ積分
1. 7 可測関数の定義・具体例・必要十分条件
2. 8 可測関数からなる関数の可測性を証明する
3. 9 単関数の定義と可測単関数のルベーグ積分
4. 10 可測関数を単関数列で近似する重要定理
5. 11 一般の可測関数にルベーグ積分を定義する

ルベーグ積分の性質と項別積分
1. 12 非負値可測関数のルベーグ積分の基本性質
2. 13 単関数列の項別積分定理の考え方・応用・証明
3. 14 ルベーグの単調収束定理と具体例と証明
4. 15 ファトゥの補題の使い方を例題から理解する
5. 16 ルベーグの収束定理の応用例を理解する
6. 17 リーマン積分の関係とルベーグ積分の計算例

ルベーグ積分はリーマン積分の拡張｜証明と計算の例題を解説

有界閉区間上の有界関数fがリーマン積分可能なら，fはルベーグ積分可能であり，リーマン積分とルベーグ積分が等しいことが証明できます．また，有界閉区間上でない積分にも応用できることがあります．

ルベーグ積分の基本

ルベーグの収束定理を例題から理解する｜証明・考え方を解説

ルベーグ積分は極限と相性が良く，その中でもひときわ便利な重要な定理に「ルベーグの収束定理」があります．ルベーグの収束定理はルベーグ積分における重要な項別積分定理です．

ルベーグ積分の基本

ファトゥの補題の使い方を例題から解説｜ルベーグ積分と下極限

下極限とルベーグ積分の交換に関する定理として「ファトゥの補題」があります．ファトゥの補題は極限の発散の証明に便利であったり，ルベーグの収束定理を証明する際に鍵となる定理です．

ルベーグ積分の基本

ルベーグの単調収束定理の例題と証明｜ルベーグ積分の重要定理

可測集合A上の広義単調増加する非負値可測単関数列{fₙ}が各点収束するとき，{fₙ}はA上で項別積分可能です．この記事では，この「単関数列の項別積分定理」の考え方・応用・証明を解説します．

ルベーグ積分の基本

単関数列の項別積分定理｜直感的な考え方・応用・証明を解説

可測集合A上の広義単調増加する非負値可測単関数列{fₙ}が各点収束するとき，{fₙ}はA上で項別積分可能です．この記事では，この「単関数列の項別積分定理」の考え方・応用・証明を解説します．

ルベーグ積分の基本

ルベーグ積分の基本性質｜非負値可測関数のルベーグ積分

非負値可測関数に対してルベーグ積分の性質から，一般の可測関数のルベーグ積分でも同様の性質が成り立つことが多いです．この記事では，非負値可測関数の性質を中心に，ルベーグ積分の基本性質を証明します．

ルベーグ積分の基本

ルベーグ積分の定義｜単関数による近似を踏まえて定義する

可測単関数にルベーグ積分は簡単に定義でき，非負可測関数fは非負可測単関数列{fₙ}でしたから近似できることを踏まえて，この記事では一般の可測関数にルベーグ積分を定義します．

ルベーグ積分の基本

単関数近似定理｜ルベーグ可測関数fを単関数列{fₙ}で近似する

ルベーグ可測関数は単関数で近似することができ，ルベーグ積分はこの事実をもとに定義されます．この記事では，ルベーグ積分の定義のために「可測関数の単関数近似定理」を説明します．

ルベーグ積分の基本

単関数のルベーグ積分｜具体例を通して考え方を理解しよう

ルベーグ可測関数のルベーグ積分の考え方を理解する前に，先に「単関数」と呼ばれる関数のルベーグ積分を考えておくと見通しが良くなります．この記事では，具体例を踏まえて可測単関数のルベーグ積分を説明します．

ルベーグ積分の基本

線形結合・絶対値・連続関数などのルベーグ可測性を証明

ルベーグ積分はルベーグ可測関数に対して定義されるため，ルベーグ可測関数の性質を整理しておくことは大切です．この記事では，可測関数の線形結合・積・商・正成分・負成分・絶対値の可測性を証明します．

ルベーグ積分の基本

次のページ

1 2

タイトルとURLをコピーしました