ルベーグ積分の基本

ルベーグ積分の基本

ルベーグ積分11|一般の可測関数にルベーグ積分を定義する

可測単関数にルベーグ積分は簡単に定義でき,非負可測関数fは非負可測単関数列{fₙ}でしたから近似できることを踏まえて,この記事では一般の可測関数にルベーグ積分を定義します.
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ルベーグ積分10|ルベーグ可測関数を単関数列で近似する

ルベーグ可測関数は単関数で近似することができ,ルベーグ積分はこの事実をもとに定義されます.この記事では,ルベーグ積分の定義のために「可測関数の単関数近似定理」を説明します.
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ルベーグ積分9|ルベーグ可測単関数のルベーグ積分を定義する

ルベーグ可測関数のルベーグ積分を定義するには,先に「単関数」と呼ばれる関数のルベーグ積分を考えておくと見通しが良いです.この記事では,具体例を踏まえてルベーグ可測単関数のルベーグ積分を説明します.
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ルベーグ積分8|可測関数からなる種々の関数の可測性を証明

ルベーグ積分はルベーグ可測関数に対して定義されるため,ルベーグ可測関数の性質を整理しておくことは大切です.この記事では,可測関数の線形結合・積・商・正成分・負成分・絶対値の可測性を証明します.
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ルベーグ積分7|可測関数の定義・具体例・必要十分条件

この記事では,ルベーグ積分を考えることのできる関数として「ルベーグ可測関数」を定義し,具体例や可測関数であるための必要十分条件を順に説明します.
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ルベーグ積分6|ルベーグ測度の本質的に重要な4つの性質

ルベーグ測度mの本質的に重要な4つの性質に,非負値性・平行移動不変性・完全加法性・区間の外測度があります.このうち,測度論的には「完全加法族」が本質的に重要な性質です.
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ルベーグ積分5|区間・開集合・閉集合の可測性とボレル集合族

ℝの区間・開集合・閉集合はルベーグ可測集合の重要な例で,この記事ではこれらの可測性を証明します.また,位相空間Ωの開集合について和集合,共通部分,補集合を可算回とってできる集合全部からなる集合族をボレル集合族といい,一般の測度空間では重要な測度空間です.
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ルベーグ積分4|可測集合の基本性質のまとめと完全加法族

ルベーグ外測度m*の定義域ルベーグ可測集合全部の族Lに制限してできる写像mをルベーグ測度というのでした.この記事では,Lが完全加法族であることの証明を目標に,基本性質をまとめます.
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ルベーグ積分3|可測集合の定義と具体例・ルベーグ測度の定義

外測度m*はほぼ「集合の長さを測る写像」と言えますが実は少し不都合があり,「m*の定義域を少し狭めることで不都合を排除しよう」という方法を採用します.この定義域を狭めてできる写像mをルベーグ測度といいます.
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ルベーグ積分2|外測度の本質的に重要な5つの性質

ルベーグ外測度の「非負値性」「単調性」「劣加法性」「平行移動不変性」「区間の外測度」は本質的に重要な性質であり,ルベーグ測度の定義の土台となります.この記事では,これらの性質が重要な理由と,それぞれの性質の説明と証明をしています.
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