ルベーグ積分の基本 「ルベーグ積分の基本」の一連の記事 ルベーグ積分入門 0 ルベーグ積分の基礎|リーマン積分の先へ!積分の歴史から紹介 ルベーグ測度 1 外測度とは何か?集合の「長さ」の測り方2 外測度の本質的に重要な5つの性質3 可測集合の定義とルベーグ測度の定義4 可測集合の基本性質のまとめと完全加法族5 区間・開集合・閉集合の可測性とボレル集合族6 ルベーグ測度の本質的に重要な4つの性質 ルベーグ可測関数とルベーグ積分 7 可測関数の定義・具体例・必要十分条件8 可測関数からなる関数の可測性を証明する9 単関数の定義と可測単関数のルベーグ積分10 可測関数を単関数列で近似する重要定理11 一般の可測関数にルベーグ積分を定義する ルベーグ積分の性質と項別積分 12 非負値可測関数のルベーグ積分の基本性質13 単関数列の項別積分定理の考え方・応用・証明14 ルベーグの単調収束定理と具体例と証明15 ファトゥの補題の使い方を例題から理解する16 ルベーグの収束定理の応用例を理解する17 リーマン積分の関係とルベーグ積分の計算例
ルベーグ積分の基本 ルベーグ積分はリーマン積分の拡張|証明と計算の例題を解説 有界閉区間上の有界関数fがリーマン積分可能なら,fはルベーグ積分可能であり,リーマン積分とルベーグ積分が等しいことが証明できます.また,有界閉区間上でない積分にも応用できることがあります. 2023.03.27 ルベーグ積分の基本
ルベーグ積分の基本 ルベーグの優収束定理の3つのポイント|定理の証明と具体例 ルベーグ積分は極限と相性が良く,その中でも積分と極限が順序交換であることを保証する「ルベーグの優収束定理」は非常に便利で広く用いられます.この記事ではルベーグの優収束定理の使い方を例題をもとに解説し,定理の証明をします. 2023.03.25 ルベーグ積分の基本
ルベーグ積分の基本 ファトゥの補題の使い方を例題から解説|ルベーグ積分と下極限 下極限とルベーグ積分の交換に関する定理として「ファトゥの補題」があります.ファトゥの補題は極限の発散の証明に便利であったり,ルベーグの収束定理を証明する際に鍵となる定理です. 2023.03.24 ルベーグ積分の基本
ルベーグ積分の基本 ルベーグの単調収束定理の例題と証明|ルベーグ積分の重要定理 可測集合A上の広義単調増加する非負値可測単関数列{fₙ}が各点収束するとき,{fₙ}はA上で項別積分可能です.この記事では,この「単関数列の項別積分定理」の考え方・応用・証明を解説します. 2023.03.17 ルベーグ積分の基本
ルベーグ積分の基本 単関数列の項別積分定理|直感的な考え方・応用・証明を解説 可測集合A上の広義単調増加する非負値可測単関数列{fₙ}が各点収束するとき,{fₙ}はA上で項別積分可能です.この記事では,この「単関数列の項別積分定理」の考え方・応用・証明を解説します. 2023.02.20 ルベーグ積分の基本
ルベーグ積分の基本 ルベーグ積分の基本性質|非負値可測関数のルベーグ積分 非負値可測関数に対してルベーグ積分の性質から,一般の可測関数のルベーグ積分でも同様の性質が成り立つことが多いです.この記事では,非負値可測関数の性質を中心に,ルベーグ積分の基本性質を証明します. 2023.02.13 ルベーグ積分の基本
ルベーグ積分の基本 ルベーグ積分の定義|単関数による近似を踏まえて定義する 可測単関数にルベーグ積分は簡単に定義でき,非負可測関数fは非負可測単関数列{fₙ}でしたから近似できることを踏まえて,この記事では一般の可測関数にルベーグ積分を定義します. 2022.12.24 ルベーグ積分の基本
ルベーグ積分の基本 単関数近似定理|ルベーグ可測関数fを単関数列{fₙ}で近似する ルベーグ可測関数は単関数で近似することができ,ルベーグ積分はこの事実をもとに定義されます.この記事では,ルベーグ積分の定義のために「可測関数の単関数近似定理」を説明します. 2022.11.11 ルベーグ積分の基本
ルベーグ積分の基本 単関数のルベーグ積分|具体例を通して考え方を理解しよう ルベーグ可測関数のルベーグ積分の考え方を理解する前に,先に「単関数」と呼ばれる関数のルベーグ積分を考えておくと見通しが良くなります.この記事では,具体例を踏まえて可測単関数のルベーグ積分を説明します. 2022.10.24 ルベーグ積分の基本
ルベーグ積分の基本 線形結合・絶対値・連続関数などのルベーグ可測性を証明 ルベーグ積分はルベーグ可測関数に対して定義されるため,ルベーグ可測関数の性質を整理しておくことは大切です.この記事では,可測関数の線形結合・積・商・正成分・負成分・絶対値の可測性を証明します. 2022.10.22 ルベーグ積分の基本