たとえば

• $\frac{2}{3}=0.66666\dots$
• $-\frac{1}{5}=-0.20000\dots$

のように，(整数)/(整数)の形の分数は小数に直すと必ず循環する小数で表すことができ，このような数を有理数というのでした．

一方で，循環小数で表せない実数のことを無理数といい，例えば$\sqrt{2}$などがありますね．

義務教育下では，有理数は小学校以来扱ってきますが，無理数は中学数学で２次方程式を解くために導入される平方根に関連して$\sqrt{\quad}$が現れるのが最初でしょう．

さて，この記事では「無理数と有理数はどちらの方が多いでしょう？」という問題を考えますが，この問題に対してどのように考えれば良いでしょうか？

いろいろ考えるところはあると思いますが，モノの多さを計る指標として数学には濃度というものがあり，濃度を考えると「無理数の方が多い」ということができます．

この記事では濃度の基本的な考え方を説明し，「有理数が無理数よりも多い」ということを前提知識が少ない人にも分かるように，なおかつそれなりに数学的に説明します． 続きを読む

１つ問題を考える．$a$を実数として，$f:\R\to\R;x\mapsto ax$で定まる関数$f$が等式

をみたすことは簡単に分かるが，逆にこの等式を満たす関数$f:\R\to\R$は

の形のものに限るだろうか？

実は，Hamel(ハメル)基底というものを用いれば，$f(x+y)=f(x)+f(y)$を満たすが$f(x)=ax$の形をしていない関数$f:\R\to\R$の存在を示すことができる．

この記事では，

• Hamel基底を説明し，
• $f(x+y)=f(x)+f(y)$をみたす関数$f:\R\to\R$

を考える．

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Zorn(ツォルン)の補題は選択公理と同値な存在定理であり，Zornの補題を用いることで様々なものの存在を証明することができる．

例えば，この記事で扱う

• ベクトル空間における基底
• Hamel基底

の存在は両者ともZornの補題によって証明することができる．

なお，Hamal基底のイメージなどについては以下の記事でも説明しているので参照されたい．

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