集合論

高校数学では「関数f(x)」という表現が，大学数学では「関数f」という表現が多く用いられています．実はこれら“f"と“f(x)"の意味には明確な違いがあり，この記事ではこの違いを説明しています．

数学では，定義がwell-definedであることはとても重要ですが，あまり授業で積極的に扱われることは少ないようで，曖昧な理解になってしまっている人は少なくないようです．そこで，この記事では三角比の定義を具体例としてwell-definedを説明します．

無理数は有理数よりも多いことが証明できます．このことを厳密に証明するには大学数学の知識が必要ですが，大まかな考え方は中学生にも理解できます．この記事では，「対角線論法」を用いて無理数の集合の濃度と有理数の集合の濃度が異なることを示します．

等式f(x+y)=f(x)+f(y)を満たす関数にはどんなものがあるでしょうか？たとえば単純な比例の関数f(x)=axはこの等式を満たしますが，他にはないのでしょうか？実は「ハメル基底」を用いることで，この等式を満たす比例でない関数が構成できます．

無限次元のものも考えると線形空間はさまざまなものがあります．しかし，選択公理と同値なツォルンの補題を用いると「{0}でない任意の線形空間にも基底が存在する」ことを証明することができます．