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無理数は有理数よりも多い?|対角線論法による濃度差の証明

たとえば

  • $\frac{2}{3}=0.66666\dots$
  • $-\frac{1}{5}=-0.20000\dots$

のように,(整数)/(整数)の形の分数は小数に直すと必ず循環する小数で表すことができ,このような数を有理数というのでした.

一方で,循環小数で表せない実数のことを無理数といい,例えば$\sqrt{2}$などがありますね.

義務教育下では,有理数は小学校以来扱ってきますが,無理数は中学数学で2次方程式を解くために導入される平方根に関連して$\sqrt{\quad}$が現れるのが最初でしょう.

さて,この記事では「無理数と有理数はどちらの方が多いでしょう?」という問題を考えますが,この問題に対してどのように考えれば良いでしょうか?

いろいろ考えるところはあると思いますが,モノの多さを計る指標として数学には濃度というものがあり,濃度を考えると「無理数の方が多い」ということができます.

この記事では濃度の基本的な考え方を説明し,「有理数が無理数よりも多い」ということを前提知識が少ない人にも分かるように,なおかつそれなりに数学的に説明します. 続きを読む


ハメル基底とf(x+y)=f(x)+f(y)をみたす関数

1つ問題を考える.$a$を実数として,$f:\R\to\R;x\mapsto ax$で定まる関数$f$が等式

    \begin{align*} f(x+y)=f(x)+f(y) \end{align*}

をみたすことは簡単に分かるが,逆にこの等式を満たす関数$f:\R\to\R$は

    \begin{align*} f(x)=ax\quad(a\in\R) \end{align*}

の形のものに限るだろうか?

実は,Hamel(ハメル)基底というものを用いれば,$f(x+y)=f(x)+f(y)$を満たすが$f(x)=ax$の形をしていない関数$f:\R\to\R$の存在を示すことができる.

この記事では,

  • Hamel基底を説明し,
  • $f(x+y)=f(x)+f(y)$をみたす関数$f:\R\to\R$

を考える.

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[ベクトル空間の基底]と[ハメル基底]の存在の証明

Zorn(ツォルン)の補題は選択公理と同値な存在定理であり,Zornの補題を用いることで様々なものの存在を証明することができる.

例えば,この記事で扱う

  • ベクトル空間における基底
  • Hamel基底

の存在は両者ともZornの補題によって証明することができる.

なお,Hamal基底のイメージなどについては以下の記事でも説明しているので参照されたい.

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