たとえば

• $\frac{2}{3}=0.66666\dots$
• $-\frac{1}{5}=-0.20000\dots$

のように，(整数)/(整数)の形の分数は小数に直すと必ず循環する小数で表すことができ，このような数を有理数というのでした．

一方で，有理数でない(循環小数で表せない)実数のことを無理数といい，例えば$\sqrt{2}$などがありますね．

義務教育下では，有理数は小学校以来扱ってきますが，無理数は中学数学で２次方程式を解くために導入される平方根に関連して$\sqrt{\quad}$が現れるのが最初でしょう．

さて，この記事では「無理数と有理数はどちらの方が多いでしょう？」という問題を考えますが，この問題に対してどのように考えれば良いでしょうか？

いろいろ考えるところはあると思いますが，モノの多さを計る指標として数学には濃度というものがあり，濃度を考えると「無理数の方が多い」ということができます．

この記事では濃度の基本的な考え方を説明し，「有理数が無理数よりも多い」ということを前提知識が少ない人にも分かるように，なおかつそれなりに数学的に説明します． 続きを読む

１つ問題を考える．$a$を実数として，$f:\R\to\R;x\mapsto ax$で定まる関数$f$が等式

をみたすことは簡単に分かるが，逆にこの等式を満たす関数$f:\R\to\R$は

の形のものに限るだろうか？

実は，Hamel(ハメル)基底というものを用いれば，$f(x+y)=f(x)+f(y)$を満たすが$f(x)=ax$の形をしていない関数$f:\R\to\R$の存在を示すことができる．

この記事では，

• Hamel基底を説明し，
• $f(x+y)=f(x)+f(y)$をみたす関数$f:\R\to\R$

を考える．

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Zorn(ツォルン)の補題は選択公理と同値な存在定理で，Zornの補題を用いることで様々なものの存在を証明することができます．

例えば，この記事で扱う

• 線形空間(ベクトル空間)における基底
• Hamel基底

の存在は両者ともZornの補題によって証明することができます．

Hamal基底のイメージなどについては以下の記事でも説明しているので参照してください．

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