「集合論」一覧

無理数は有理数よりも多い？｜対角線論法による濃度差の証明

2020/4/28 集合論

たとえば

$\frac{2}{3}=0.66666\dots$
$-\frac{1}{5}=-0.20000\dots$

のように，(整数)/(整数)の形の分数は小数に直すと必ず循環する小数で表すことができ，このような数を有理数というのでした．

一方で，循環小数で表せない実数のことを無理数といい，例えば $\sqrt{2}$ などがありますね．

義務教育下では，有理数は小学校以来扱ってきますが，無理数は中学数学で２次方程式を解くために導入される平方根に関連して $\sqrt{\quad}$ が現れるのが最初でしょう．

さて，この記事では「無理数と有理数はどちらの方が多いでしょう？」という問題を考えますが，この問題に対してどのように考えれば良いでしょうか？

いろいろ考えるところはあると思いますが，モノの多さを計る指標として数学には濃度というものがあり，濃度を考えると「無理数の方が多い」ということができます．

この記事では濃度の基本的な考え方を説明し，「有理数が無理数よりも多い」ということを前提知識が少ない人にも分かるように，なおかつそれなりに数学的に説明します．続きを読む

ハメル基底とf(x+y)=f(x)+f(y)をみたす関数

2017/10/16 2020/3/15 集合論

１つ問題を考える． $a$ を実数として， $f:\R\to\R;x\mapsto ax$ で定まる関数 $f$ が等式

$\begin{align*} f(x+y)=f(x)+f(y) \end{align*}$

をみたすことは簡単に分かるが，逆にこの等式を満たす関数 $f:\R\to\R$ は

$\begin{align*} f(x)=ax\quad(a\in\R) \end{align*}$

の形のものに限るだろうか？

実は，Hamel(ハメル)基底というものを用いれば， $f(x+y)=f(x)+f(y)$ を満たすが $f(x)=ax$ の形をしていない関数 $f:\R\to\R$ の存在を示すことができる．

この記事では，

Hamel基底を説明し，
$f(x+y)=f(x)+f(y)$ をみたす関数 $f:\R\to\R$

を考える．

[ベクトル空間の基底]と[ハメル基底]の存在の証明

2017/8/21 2020/3/15 集合論

Zorn(ツォルン)の補題は選択公理と同値な存在定理であり，Zornの補題を用いることで様々なものの存在を証明することができる．

例えば，この記事で扱う

ベクトル空間における基底
Hamel基底

の存在は両者ともZornの補題によって証明することができる．

なお，Hamal基底のイメージなどについては以下の記事でも説明しているので参照されたい．

【ハメル基底とf(x+y)=f(x)+f(y)をみたす関数】

単純な比例の関数 $f(x)=ax$ は等式 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ を満たすが，他に等式 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ を満たすような $f(x)$ が存在するだろうか？実は「Hamel基底」を用いることで，等式 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ を満たす比例でない関数が構成できる．