集合論

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関数の表し方|“$f$”と“$f(x)$”で意味はどう違う?

高校数学では「関数f(x)」という表現が,大学数学では「関数f」という表現が多く用いられています.実はこれら“f"と“f(x)"の意味には明確な違いがあり,この記事ではこの違いを説明しています.
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well-definedを理解する|三角比の定義から具体例に考える

数学では,定義がwell-definedであることはとても重要ですが,あまり授業で積極的に扱われることは少ないようで,曖昧な理解になってしまっている人は少なくないようです.そこで,この記事では三角比の定義を具体例としてwell-definedを説明します.
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無理数は有理数よりも多い?|対角線論法による濃度差の証明

無理数は有理数よりも多いことが証明できます.このことを厳密に証明するには大学数学の知識が必要ですが,大まかな考え方は中学生にも理解できます.この記事では,「対角線論法」を用いて無理数の集合の濃度と有理数の集合の濃度が異なることを示します.
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ハメル基底とコーシーの関数方程式|$f(x+y)=f(x)+f(y)$

等式f(x+y)=f(x)+f(y)を満たす関数にはどんなものがあるでしょうか?たとえば単純な比例の関数f(x)=axはこの等式を満たしますが,他にはないのでしょうか?実は「ハメル基底」を用いることで,この等式を満たす比例でない関数が構成できます.
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Zornの補題から|線形空間の基底・ハメル基底の存在を示す

単に「線形空間」といっても,無限次元の線形空間には様々なものがあります.とはいえ「{0}でないどんな線形空間にも基底が存在する」ことが「Hamel基底が存在する」ことから証明できます.このことをZornの補題を用いて証明します.
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