解析学

微分方程式

ピカール-リンデレフの定理|常微分方程式の解の一意存在性

常微分方程式の初期値問題の解の存在と一意性に関する重要定理としてピカール-リンデレフの定理があります.この記事では,ピカール-リンデレフの定理がどのような定理かを説明し,この定理を証明します.
ルベーグ積分の基本

ルベーグ積分6|ルベーグ測度の本質的に重要な4つの性質

ルベーグ測度mの本質的に重要な4つの性質として「非負値性」「平行移動不変性」「完全加法性」「区間の外測度」があります.このうち,測度論的には「完全加法族」が本質的に重要な性質です.また,記事の最後に最後に測度空間にも触れます.
ルベーグ積分の基本

ルベーグ積分5|区間・開集合・閉集合の可測性とボレル集合族

ℝの区間・開集合・閉集合はルベーグ可測集合の重要な例で,この記事ではこれらの可測性を証明します.また,位相空間Ωの開集合について和集合,共通部分,補集合を可算回とってできる集合全部からなる集合族をボレル集合族といい,一般の測度空間では重要な測度空間です.
関数空間

ハーディの不等式|ソボレフ空間の重み付き空間への埋め込み

ハーディの不等式はソボレフ空間の埋め込みを示す不等式で,偏微分方程式論などで空間の重みが付いた積分を評価する際に用いられ,通常のソボレフの不等式と同様に重要な不等式となっています.この記事ではハーディの不等式の証明まで行っています.
ルベーグ積分の基本

ルベーグ積分4|可測集合の基本性質のまとめと完全加法族

ルベーグ外測度m*の定義域ルベーグ可測集合全部の族Lに制限してできる写像mをルベーグ測度というのでした.この記事では,Lが完全加法族であることの証明を目標に,基本性質をまとめます.
ルベーグ積分の基本

ルベーグ積分3|ルベーグ可測集合とルベーグ測度の定義

外測度m*はほぼ「集合の長さを測る写像」と言えますが実は少し不都合があり,「m*の定義域を少し狭めることで不都合を排除しよう」という方法を採用します.この定義域を狭めてできる写像mをルベーグ測度といいます.
ルベーグ積分の基本

ルベーグ積分2|外測度の本質的に重要な5つの性質

ルベーグ外測度の「非負値性」「単調性」「劣加法性」「平行移動不変性」「区間の外測度」は本質的に重要な性質であり,ルベーグ測度の定義の土台となります.この記事では,これらの性質が重要な理由と,それぞれの性質の説明と証明をしています.
ルベーグ積分の基本

ルベーグ積分1|外測度とは何か?集合の「長さ」の測り方

ルベーグ積分を考えるには「集合の長さ」が鍵となり,この「集合の長さ」を測るために重要なものとして外測度があります.外測度を用いれば有理数の集合ℚのようなまばらな集合にも「長さ」を考えることができます.
微分方程式

シュレディンガー方程式の質量とエネルギー|保存則の証明

偏微分方程式の解が保存量を持つことはよくあり,それら保存量は偏微分方程式の解析で重要な手がかりとなります.この記事では,非線形シュレディンガー方程式の解uの質量MとエネルギーEが保存されることを説明します.
複素解析の基本

複素解析8|[留数定理]を使って広義積分を計算する方法

留数定理は複素積分と留数の関係を述べた複素解析の重要定理です.留数定理を用いることで広義積分の値が簡単に計算できることもよくあります.この記事では留数定理を説明したのち,留数定理を用いて具体例に広義積分を求めています.
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