解析学

測度論

測度の単調収束定理|集合の単調増大列・単調減少列

測度論において可測集合の列{Aₙ}に対して,Aₙの測度の極限を考えることはよくあります.この記事では,測度の極限に関する「測度の単調収束定理」の証明と補足をします.
測度論

「ほとんど至る所」の定義と具体例|同値関係による同一視も解説

ルベーグ積分では零集合上でのみ例外であることを「ほとんど至る所で」と言います.この記事では「ほとんど至る所で」の定義と具体例を解説したのち,ほとんど至る所で等しい関数の同一視についても解説します.
測度論

可測空間と測度空間|直感的な考え方で定義・具体例を解説

測度論の基本的な空間として「可測空間」「測度空間」があります.この記事では,これらの直感的な考え方をたどりながら,定義と具体例を丁寧に解説していきます.
ルベーグ積分の基本

ルベーグ積分11|一般の可測関数にルベーグ積分を定義する

可測単関数にルベーグ積分は簡単に定義でき,非負可測関数fは非負可測単関数列{fₙ}でしたから近似できることを踏まえて,この記事では一般の可測関数にルベーグ積分を定義します.
微分方程式

停留位相法の直感的な考え方|偏微分方程式の解の時間減衰

時間発展する偏微分方程式の解の時間減衰のスピードは,解の振る舞いにおいて重要な要因となることは多いです.この記事では,時間減衰評価を求める方法である「停留位相法」を説明します.
ルベーグ積分の基本

ルベーグ積分10|ルベーグ可測関数を単関数列で近似する

ルベーグ可測関数は単関数で近似することができ,ルベーグ積分はこの事実をもとに定義されます.この記事では,ルベーグ積分の定義のために「可測関数の単関数近似定理」を説明します.
ルベーグ積分の基本

ルベーグ積分9|ルベーグ可測単関数のルベーグ積分を定義する

ルベーグ可測関数のルベーグ積分を定義するには,先に「単関数」と呼ばれる関数のルベーグ積分を考えておくと見通しが良いです.この記事では,具体例を踏まえてルベーグ可測単関数のルベーグ積分を説明します.
ルベーグ積分の基本

ルベーグ積分8|可測関数からなる種々の関数の可測性を証明

ルベーグ積分はルベーグ可測関数に対して定義されるため,ルベーグ可測関数の性質を整理しておくことは大切です.この記事では,可測関数の線形結合・積・商・正成分・負成分・絶対値の可測性を証明します.
ルベーグ積分の基本

ルベーグ積分7|可測関数の定義・具体例・必要十分条件

この記事では,ルベーグ積分を考えることのできる関数として「ルベーグ可測関数」を定義し,具体例や可測関数であるための必要十分条件を順に説明します.
微分方程式

ピカール-リンデレフの定理|常微分方程式の解の一意存在性

常微分方程式の初期値問題の解の存在と一意性に関する重要定理としてピカール-リンデレフの定理があります.この記事では,ピカール-リンデレフの定理がどのような定理かを説明し,この定理を証明します.
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