$G(x)=Ae^{-\eta x^2}$ ( $x\in\R$ )で定まる関数 $G$ を(1次元の)Gauss(ガウス)関数(Gaussian/ガウシアン)いい，Gauss関数は正規分布の確率密度関数として知られ，Gauss関数はFourier変換を施してもGauss関数であるという性質をもつ．

Fourier変換を数学的に定義するには，ある程度の条件(可積分性など)が必要である．具体的には，Lebesgue可積分であるような関数には，Fourier変換を定義することができる．

本記事では，Gauss関数にFourier変換が定義できることを説明し，Gauss関数のFourier変換が再びGauss関数になることを計算により確かめる．

バナッハ空間とヒルベルト空間の完備でない部分空間の例

2018/6/20 2019/12/16 関数解析

完備なノルム空間をBanach(バナッハ)空間といい，完備な内積空間をHilbert(ヒルベルト)空間という．

Banach空間(Hilbert空間)はもとより線型空間なので，線型空間としての部分空間を考えることができる．この部分空間に元の空間と同じノルム(内積)を与えたものはノルム空間(内積空間)となるが，完備性を持つとは限らない．

すなわち，Banach空間の部分空間が同じノルムでBanach空間になるとは限らないし，Hilbert空間の部分空間が同じ内積でHilbert空間になるとは限らない．

本稿では，Hilbert空間の部分ノルム空間で完備でないものの例を考える．その際，以下の事実に注意する．

一般に，Banach空間，Hilbert空間の部分空間が同じノルムで完備であるためには，部分空間が閉であることが必要十分である．したがって，Banach空間，Hilbert空間の閉でない部分ノルム空間は完備でない．

シュレディンガー方程式のストリッカーツ評価の導出

2018/2/17 2019/12/16 微分方程式

この記事ではSchrödinger(シュレディンガー)方程式に関して，非常に重要な役割を果たすStrichartz評価とその証明を解説する．

Strichartz(ストリッカーツ)評価は，波動方程式に関する不等式評価であるStrichartz-Brenner評価に対応し，歴史的にはStrichartz-Brenner評価の方が古い．

Strichartz評価の証明のためには，「自由Schrödinger発展作用素 $e^{it\Delta}$ の分散型評価(分散評価)」と「Hardy-Littlewood-Sobolervの不等式」を用いることになる．

なお，自由Schrödinger発展作用素 $e^{it\Delta}$ は，初期値 $u_0$ に対して自由Schrödinger方程式

$\begin{align*} i\partial_t{u}+\Delta{u}=0 \end{align*}$

の解 $e^{it\Delta}u_0$ を表す作用素 $e^{it\Delta}$ のことである．

【自由シュレディンガー方程式の解の性質】

非線形項が0の線形Schrödinger方程式を自由Schrödinger方程式という．適切な初期値 $u_0$ (たとえば $u_0\in\mathcal{S}(\R^N)$ )のもとで，自由Schrödinger方程式の解をもち，これを $e^{it\Delta}u_0$ と表す．

弱Lp有界性とマルチンキーヴィッツの実補間定理

2017/8/3 2019/12/16 関数解析

関数空間の補間定理として，[Marcinkiewicz(マルチンキーヴィッツ)の実補間定理]がある．

定義はのちに述べるが，作用素の $L^p$ 有界性には，(普通の) $L^p$ 有界性と弱 $L^p$ 有界性がある．言葉からも分かるように，作用素 $T$ が $L^p$ 有界であれば，弱 $L^p$ 有界である．

[Marcinkiewiczの実補間定理]は，ある種の三角不等式を満たす作用素 $T$ が弱 $L^1$ 有界性と弱 $L^q$ 有界性( $1<q$ )をもつとき，任意の $p\in(1,q)$ に対して作用素 $T$ が $L^p$ 有界性をもつことを保証する定理である．

つまり，両端 $L^1$ と $L^q$ で弱有界であれば，その間で $L^p$ 有界となる．「両端は弱でよい」というのが[Marcinkiewiczの実補間定理]の優れた点である．

また，非線形作用素にも適用できる点も優れている．

なお，日本ではMarcinkiewiczは様々な発音で読まれるが，「マルチンキェーヴィツ」がMarcinkiewiczの正確な発音に近いようである．

【リース-ソリンの複素補間定理とその証明】

$L^{p_1}(X)\to L^{q_1}(Y)$ で有界かつ， $L^{p_2}(X)\to L^{q_2}(Y)$ で有界な作用素 $T$ を考える．このとき，2点 $(p_1,q_1)$ , $(p_2,q_2)$ を結ぶ線分上の点 $(a,b)$ に対して， $T$ は $L^{a}(X)\to L^{b}(Y)$ の有界作用素となるという補間定理を[Riesz-Thorinの複素補間定理]という．

ラグランジュの未定乗数法の直感的な理解と証明

2017/6/26 2020/3/2 微分積分学

例えば，

$\begin{align*} f(x,y)=x^2+3xy+y^2+1 \end{align*}$

の最小値を求めたいとき，

$\begin{align*} \pd{f}{x}(a,b)=\pd{f}{y}(a,b)=0 \end{align*}$

を満たす点 $(a,b)$ を求めることによって， $f(x,y)$ が最小値をとる点の候補が得られる．

しかし，これが「『 $x+y=1$ 上での』 $f(x,y)=x^2+3xy+y^2+1$ の最小値を求めたい」のように， $x$ と $y$ に制約がかかると単純に $f$ の偏導関数から最小値を求めることができない．

そこで，曲線や直線上といった「制約条件下」での関数の極値を求めるために，[Lagrange(ラグランジュ)の未定乗数法]がある．

この記事では，[Lagrangeの未定乗数法]の考え方のイメージを説明し，証明を与える．

自由シュレディンガー方程式の解の性質

2017/6/3 2019/12/15 微分方程式

自由Schrödinger(シュレディンガー)方程式の初期値問題

$\begin{align*} \begin{cases} i\partial_{t}u(t,x)+\Delta_x u(t,x)=0& (t,x)\in\R\times\R^N\\ u(0,x)=u_0(x)& x\in\R^N \end{cases} \end{align*}$

を考える．ここに， $i$ は虚数単位， $\partial_{t}=\frac{\partial}{\partial t}$ , $\Delta_x=\sum_{i=1}^N\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}$ である．

自由Schrödinger方程式の初期値問題の解 $u$ は，[Stoneの定理]を用いて $u(t,x)=e^{it\Delta}u_0(x)$ と表すことができ，この $e^{it\Delta}$ を自由Schrödinger発展作用素という．

この記事では，自由Schrödinger発展作用素 $e^{it\Delta}$ の基本性質について説明する．

ただし，本稿ではFourier変換 $\mathcal{F}$ ，逆Fourier変換 $\mathcal{F}^{-1}$ をそれぞれ次で定義する：

$\begin{align*} &\hat{u}(\xi)=\mathcal{F}_{x}[u](\xi)=\frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\dint_{\R^N}e^{-ix\cdot\xi}u(x)\,dx, \\&\check{u}(x)=\mathcal{F}_{\xi}^{-1}[u](x)=\frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\dint_{\R^N}e^{ix\cdot\xi}u(\xi)\,d\xi \end{align*}$