解析学 | あーるえぬ｜数学のあれこれ

積率母関数が微分できてn次モーメントが得られることの証明

2021/9/17 測度論

実数値確率変数$X$に対して，$X^n$($n\in\N$)の期待値$E$を$X$の$n$次モーメントといいます．１次モーメント$E...

数学では微分方程式に「解が存在するか」「解が存在すれば一意か」を考えることはよくあります．常微分方程式の解の存在に関する重要な定理と...

偏微分方程式に解が存在するか解が存在するなら一意かということは当たり前でないことも多く，最先端の研究でも広く研究...

高校数学で初めて「積分」に出会い，「こんな曲がった境界をもつ図形も面積が求められるのか！」と衝撃を受けた人は多いかもしれません．大学...

関数列$\{f_n\}$に対して，極限$\lim$と積分$\int$の順序交換 \begin{align*} \lim_{n\t...

体$\R$上の有限次元線形空間$V$に対して，線形写像$V\to\R$全部の集合は$V$の双対空間とよばれ，$V^*$と表されることは線形代...

解析学において，極限と積分の順序交換をしたいことは頻繁にあります．例えば， \begin{align*} \lim_{n\to\...

確率論の重要な定理として中心極限定理があります．かなり大雑把に言えば，中心極限定理とは「同じ分布に従う試行を何度も繰り返すと...

前回の記事では，初期値$u_0=u(0,x)$に対する自由Schrödinger方程式 \begin{align*} i\par...

例えば，初期条件$x(0)=0$を満たす常微分方程式 \begin{align*} \od{x}{t}(t)=-t^2x(t)+...