３次方程式の解の公式
「カルダノの公式」の導出と歴史

2022/5/5 代数学

２次方程式$ax^2+bx+c=0$の解が

    \begin{align*} x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align*}

であることはよく知られており，これを[２次方程式の解の公式]といいますね．

そこで[２次方程式の解の公式]があるなら[３次方程式の解の公式]はどうなのか，つまり次の問題を考えることは自然なことでしょう．

３次方程式$ax^3+bx^2+cx+d=0$はいつでも解けるのか？(厳密には有限回の「四則演算と冪根をとる操作」で解を表せるのか？)

また，表せるならどう表せるのか？

歴史的には[２次方程式の解の公式]は紀元前より知られていたものの，[３次方程式の解の公式]が発見されるには16世紀まで待たなくてはなりません．

この記事では，[３次方程式の解の公式]として知られる「カルダノの公式」について

  • 「カルダノの公式」と呼ばれるようになった歴史
  • 「カルダノの公式」の導出
  • 「カルダノの公式」の具体例

を順に説明します．

解説動画

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【３次方程式の解の公式】カルダノの公式の歴史と導出と具体例(13分44秒)

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16世紀のイタリア

まずは[３次方程式の解の公式]が知られた16世紀のイタリアの話から始めましょう．

ジェロラモ・カルダノ

かつてイタリアでは数学の問題を出し合って勝負する公開討論会が行われていた時代がありました．

公開討論会では３次方程式は難問とされており，多くの人によって[３次方程式の解の公式]の導出が試みられました．

そんな中，16世紀の半ばにジェロラモ・カルダノ(Gerolamo Cardano)により著書「アルス・マグナ(Ars Magna)」が執筆され，その中で[３次方程式の解の公式]が示されました．

なお，「アルス・マグナ」の意味は「偉大な術」であり，副題は「代数学の諸法則」でした．

このようにカルダノによって[３次方程式の解の公式]は世の中の知るところとなったわけですが，この「アルス・マグナ」の発刊に際して重要なシピオーネ・デル・フェロ (Scipione del Ferro)とニコロ・フォンタナ(Niccolò Fontana)を紹介しましょう．

デル・フェロとフォンタナ

15世紀後半の数学者であるデル・フェロが[３次方程式の解の公式]を最初に導出したとされています．

デル・フェロは自身の研究をあまり公表しなかったため，彼の導出した[３次方程式の解の公式]が日の目を見ることはありませんでした．

しかし，デル・フェロは自身の研究成果を弟子に託しており，弟子の一人であるアントニオ・マリア・デル・フィオール (Antonio Maria del Fiore)はこの結果をもとに討論会で勝ち続けていたそうです．

そんな折，デル・フェロと同じく数学者のフォンタナは[３次方程式の解の公式]があるとの噂を聞き，フォンタナは独自に[３次方程式の解の公式]を導出しました．

実はデル・フェロ(フィオール)の公式は全ての３次方程式に対して適用することができなかった一方で，フォンタナの公式は全ての３時方程式に対して解を求めることができるものでした．

そのため，フォンタナは討論会でフィオールが解けないパターンの問題を出題することで勝利し，[３次方程式の解の公式]を導いたらしいとフォンタナの名前が広まることとなりました．

カルダノとフォンタナ

後に「アルス・マグナ」を発刊するカルダノもフォンタナの噂を聞きつけ，フォンタナを訪れます．

カルダノは「公式を発表しない」という約束のもとに，フォンタナから[３次方程式の解の公式]を聞き出すことに成功します．

しかし，しばらくしてカルダノはデル・フェロの公式を導出した原稿を確認し，フォンタナの前にデル・フェロが公式を得ていたことを知ります．

そこでカルダノは

「公式はフォンタナによる発見ではなくデル・フェロによる発見であり約束を守る必要はない」

と考え，「アルス・マグナ」の中で「デル・フェロの解法」と名付けて[３次方程式の解の公式]を紹介しました．

同時にカルダノは最初に自身はフォンタナから教わったことを記していますが，約束を反故にされたフォンタナは当然激怒しました．

その後，フォンタナはカルダノに勝負を申し込みましたが，カルダノは受けなかったと言われています．

以上のように，現在ではこの記事で説明する[３次方程式の解の公式]は「カルダノの公式」と呼ばれていますが，カルダノによって発見されたわけではなく，デル・フェロとフォンタナによって別々に発見されたわけですね．

３次方程式の解の公式

それでは３次方程式$ax^3+bx^2+cx+d=0$の解の公式を導きましょう．

導出は大雑把には

  • ３次方程式を$X^3+pX+q=0$の形に変形する
  • $X^3+y^3+z^3-3Xyz$の因数分解を用いる

の２ステップに分けられます．

ステップ１

３次方程式$ax^3+bx^2+cx+d=0$は$x=X-\frac{b}{3a}$とおくことで

    \begin{align*} X^3+pX+q=0 \end{align*}

の形となる．

３次方程式としているので$a\neq0$ですから，$x=X-\frac{b}{3a}$の第２項で$a$で割っているのは問題ありませんね．


$x=X-\frac{b}{3a}$をもとの３次方程式$ax^3+bx^2+cx+d=0$に代入して

    \begin{align*} &a\bra{X-\frac{b}{3a}}^3+b\bra{X-\frac{b}{3a}}^2+c\bra{X-\frac{b}{3a}}+d=0 \\\iff&a\bra{X^3-\frac{b}{a}X^2+\frac{b^2}{3a^2}X-\frac{b^3}{27a^3}} \\&+b\bra{X^2-\frac{2b}{3a}X+\frac{b^2}{9a^2}}+c\bra{X-\frac{b}{3a}}+d=0 \\\iff&aX^3+\frac{-b^2+3ac}{3a}X+\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^2}=0 \\\iff&X^3+\frac{-b^2+3ac}{3a^2}X+\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}=0 \end{align*}

となります．よって，

    \begin{align*} p=\frac{-b^2+3ac}{3a^2},\quad q=\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3} \end{align*}

とすれば，３次方程式$ax^3+bx^2+cx+d=0$は$X^3+pX+q=0$となりますね．

ステップ２

３次方程式$X^3+pX+q=0$は因数分解

    \begin{align*} X^3+y^3+z^3-3Xyz=(X+y+z)(X+\omega y+\omega^2z)(X+\omega^2 y+\omega z) \end{align*}

を用いることで解ける．


１の原始３乗根の１つを$\omega$とおくと，因数分解

    \begin{align*} &X^3+y^3+z^3-3Xyz \\=&(X+y+z)(X^2+y^2+z^2-Xy-yz-zX) \\=&(X+y+z)(X+\omega y+\omega^2z)(X+\omega^2 y+\omega z) \end{align*}

が成り立ちます．

１の原始３乗根とは「３乗して初めて１になる複素数」のことで，$x^3=1$の１でない２つの虚数解はどちらも１の原始３乗根となります．そのため，

    \begin{align*} 1-\omega^3=0 \iff& (1-\omega)(1+\omega+\omega^2)=0 \\\iff& 1+\omega+\omega^2=0 \end{align*}

を満たします．

よって

    \begin{align*} \begin{cases} -3yz=p\\ y^3+z^3=q \end{cases} \end{align*}

を満たす$y$, $z$を$p$, $q$で表すことができれば，方程式$X^3+pX+q=0$の解

    \begin{align*} X=-y-z,-y\omega-z\omega^2,-y\omega^2-z\omega \end{align*}

を$p$, $q$で表すことができますね．

さて，先ほどの連立方程式より

    \begin{align*} \begin{cases} y^3z^3=-\frac{p^3}{27}\\ y^3+z^3=q \end{cases} \end{align*}

となるので，２次方程式の解と係数の関係より$t$の２次方程式

    \begin{align*} t^2-qt-\frac{p^3}{27}=0 \end{align*}

は$y^3$, $z^3$を解にもちます．一方，２次方程式の解の公式より，この方程式の解は

    \begin{align*} t=&\frac{q\pm\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}}}{2} \\=&\frac{3\sqrt{3}q\pm\sqrt{27q^2+4p^3}}{6\sqrt{3}} \end{align*}

となります．$y$, $z$は対称なので

    \begin{align*} &y=\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q+\sqrt{27q^2+4p^3}}{6\sqrt{3}}}, \\&z=\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q-\sqrt{27q^2+4p^3}}{6\sqrt{3}}} \end{align*}

として良く，これで３次方程式$X^3+pX+q=0$が解けました．

結論

以上より，３次方程式の解の公式は以下のようになります．

[カルダノの公式(３次方程式の解の公式)]　３次方程式$ax^3+bx^2+cx+d=0$の解は

    \begin{align*} x=&-\frac{b}{3a}-\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q+\sqrt{27q^2+4p^3}}{6\sqrt{3}}}-\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q-\sqrt{27q^2+4p^3}}{6\sqrt{3}}}, \\&-\frac{b}{3a}-\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q+\sqrt{27q^2+4p^3}}{6\sqrt{3}}}\omega-\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q-\sqrt{27q^2+4p^3}}{6\sqrt{3}}}\omega^2, \\&-\frac{b}{3a}-\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q+\sqrt{27q^2+4p^3}}{6\sqrt{3}}}\omega^2-\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q-\sqrt{27q^2+4p^3}}{6\sqrt{3}}}\omega \end{align*}

である．ただし，

  • $p=\dfrac{-b^2+3ac}{3a^2}$
  • $q=\dfrac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}$
  • $\omega$は１の原始３乗根

である．

具体例

上の公式に直接代入して解を求めるのは現実的ではありません．

そのため，公式に代入して解を求めるというより，解の導出の手順を当てはめるのが良いでしょう．

方程式$x^3-3x^2-3x-4=0$を解け．

単純に$(x-4)(x^2+x+1)=0$と左辺が因数分解できることから解は

    \begin{align*} x=4,\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2} \end{align*}

と得られますが，[カルダノの公式]を使っても同じ解が得られることを確かめましょう．


$x=X+1$とおくと，方程式$x^3-3x^2-3x-4=0$は

    \begin{align*} &(X+1)^3-3(X+1)^2-3(X+1)-4=0 \\\iff&(X^3+3x^2+3x+1)-3(X^2+2X+1)-3(X+1)-4=0 \\\iff&X^3-6X-9=0 \end{align*}

となる．因数分解

    \begin{align*} X^3-3yzX+(y^3+z^3) =(X+y+z)(X+\omega y+\omega^2z)(X+\omega^2 y+\omega z) \end{align*}

と比較して，

    \begin{align*} \begin{cases} -3yz=-6\\ y^3+z^3=-9 \end{cases} \end{align*}

なる$y$, $z$を見つけることができれば，解は

    \begin{align*} X=-y-z,-\omega y-\omega^2z,-\omega^2 y-\omega z \end{align*}

となる．$y^3z^3=8$と$y^3+z^3=-9$だから，２次方程式の解と係数の関係より，$t$の２次方程式

    \begin{align*} t^2+9t+8=0 \end{align*}

は解$y^3$, $z^3$をもつ．一方，これは$(t+1)(t+8)=0$と左辺を因数分解できるから，解は$t=-1,-8$である．

$y$, $z$の対称性より$(y^3,z^3)=(-1,-8)$としてよく，さらに$yz=2$に注意して$(y,z)=(-1,-2)$としてよい．

以上より，求める解は

    \begin{align*} x=&X+1 \\=&-(-1)-(-2)+1,-(-1)\omega-(-2)\omega^2+1,-(-1)\omega^2-(-2)\omega+1 \\=&4,\omega+2\omega^2+1,\omega^2+2\omega+1 \\=&4,\omega^2,\omega \\=&4,\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2} \end{align*}

である．

なお，最後に$(y,z)=(-2,-1)$や$(y,z)=(-\omega,-2\omega^2)$などとしても，最終的に

  • $-y-z$
  • $-y\omega-z\omega^2$
  • $-y\omega^2-z\omega$

が辻褄を合わせてくれるので，同じ解が得られます．

参考文献

数学の真理をつかんだ25人の天才たち

[イアン・スチュアート 著/水谷淳 訳/ダイヤモンド社]

アルキメデス，オイラー，ガウス，ガロア，ラマヌジャンといった数学上の25人の偉人が，時系列順にざっくりとまとめられた伝記です．

カルダノもこの本の中で紹介されています．

しかし，上述したようにカルダノ自身が重要な発見をしたわけではないので，カルダノがなぜ「数学の真理をつかんだ天才」とされているのか，個人的には正直なところ疑問ではあるのですが……

とはいえ，ほとんどが数学界を大きく発展させるような発見をした人物が数多く取り上げられています．

「こんな偉大な人物が実はそんな人間だったのか」と意外な一面を知ることができる一冊です．