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ベクトル解析一覧

ベクトル解析の基本の微分公式のまとめ|gradとdivとrot

ベクトル解析において,3つの微分作用素

  • 勾配$\operatorname{grad}$
  • 発散$\operatorname{div}$
  • 回転$\operatorname{rot}$ ($\operatorname{curl}$)

は基本的で,多くの場面で現れます.

とくに積に関する微分(例えば$\operatorname{div}{f\m{v}}$, $\operatorname{grad}(fg)$など)はよく現れ,これは公式として当たり前に使えるようになっておきたいところです.

この記事では,これら3つの基本の微分作用素の

  • 和の微分公式
  • 積の微分公式
  • 内積/外積の微分公式

をまとめます.

なお,それぞれの微分作用素の定義とイメージについては以下の記事を参照してください.

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gradとdivとrotのイメージ|ナブラ∇に関する3つの微分作用素

線形代数学でベクトルを学び,微分積分学で偏微分を学びます.

数学や物理ではベクトルに関する偏微微分を考えることがよくあり,ベクトルの偏微分を扱う分野としてベクトル解析があります.

その中でよく扱う偏微分として

  • 勾配$\operatorname{grad}$
  • 発散$\operatorname{div}$
  • 回転$\operatorname{rot}$ ($\operatorname{curl}$)

があります.

この記事では,これらの定義とイメージを説明し,ナブラ$\nabla$による表し方を説明します.

また,これら3つの微分作用素の合成の関係式も紹介します.

なお,[和の微分公式],[積の微分公式],[内積・外積の微分公式]については以下の記事を参照してください.

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フルネ-セレの公式の導出|曲線に関するベクトルの関係式

3次元ユークリッド空間$\R^3$上の$t$をパラメータとする滑らかな曲線$C:r=r(t)$に対して

  • 「進む向き」を表す接ベクトル$v_1(t)$
  • 「曲がる向き」を表す法線ベクトル$v_2(t)$
  • 「ねじれる向き」を表す従法線ベクトル$v_3(t)$

を考えることができます.

このときの$[v_1(t),v_2(t),v_3(t)]$と$[{v_1}'(t),{v_2}'(t),{v_3}'(t)]$との関係を[Frenet(フルネ)-Serret(セレ)の公式]といいます.

[Frenet-Serretの公式]は

  • 1847年にジャン・フレデリック・フルネ(Jean Frédéric Frenet)によって
  • 1851年にジョセフ・アルフレッド・セレ(Joseph Alfred Serret)によって

それぞれ独立に発見されました.

この記事では,[Frenet-Serretの公式]を導出します.

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