測度論

ルベーグ積分

ルベーグ非可測集合の具体例|「ヴィタリ集合」の定義と存在

ルベーグ可測集合はルベーグ積分においてベースとなる集合たちで,多くのℝの部分集合はルベーグ可測集合ですが,選択公理を仮定することでルベーグ可測集合でない集合の存在を証明することができます.
ルベーグ積分の基本

ルベーグ積分はリーマン積分の拡張|証明と計算の例題を解説

有界閉区間上の有界関数fがリーマン積分可能なら,fはルベーグ積分可能であり,リーマン積分とルベーグ積分が等しいことが証明できます.また,有界閉区間上でない積分にも応用できることがあります.
ルベーグ積分の基本

ルベーグの収束定理を例題から理解する|証明・考え方を解説

ルベーグ積分は極限と相性が良く,その中でもひときわ便利な重要な定理に「ルベーグの収束定理」があります.ルベーグの収束定理はルベーグ積分における重要な項別積分定理です.
ルベーグ積分の基本

ファトゥの補題の使い方を例題から解説|ルベーグ積分と下極限

下極限とルベーグ積分の交換に関する定理として「ファトゥの補題」があります.ファトゥの補題は極限の発散の証明に便利であったり,ルベーグの収束定理を証明する際に鍵となる定理です.
ルベーグ積分の基本

ルベーグの単調収束定理の例題と証明|ルベーグ積分の重要定理

可測集合A上の広義単調増加する非負値可測単関数列{fₙ}が各点収束するとき,{fₙ}はA上で項別積分可能です.この記事では,この「単関数列の項別積分定理」の考え方・応用・証明を解説します.
ルベーグ積分の基本

単関数列の項別積分定理|直感的な考え方・応用・証明を解説

可測集合A上の広義単調増加する非負値可測単関数列{fₙ}が各点収束するとき,{fₙ}はA上で項別積分可能です.この記事では,この「単関数列の項別積分定理」の考え方・応用・証明を解説します.
ルベーグ積分の基本

ルベーグ積分の基本性質|非負値可測関数のルベーグ積分

非負値可測関数に対してルベーグ積分の性質から,一般の可測関数のルベーグ積分でも同様の性質が成り立つことが多いです.この記事では,非負値可測関数の性質を中心に,ルベーグ積分の基本性質を証明します.
測度論

測度の単調収束定理とその応用|集合の単調増大列・単調減少列の測度

測度論において可測集合の列{Aₙ}に対して,Aₙの測度の極限を考えることはよくあります.この記事では,測度の極限に関する「測度の単調収束定理」の証明と補足をします.
測度論

「ほとんど至る所」の定義・具体例・応用|測度空間の零集合

ルベーグ積分では零集合上でのみ例外であることを「ほとんど至る所で」と言います.この記事では「ほとんど至る所で」の定義と具体例を解説したのち,ほとんど至る所で等しい関数の同一視についても解説します.
測度論

可測空間と測度空間|直感的な考え方で定義・具体例を解説

測度論の基本的な空間として「可測空間」「測度空間」があります.この記事では,これらの直感的な考え方をたどりながら,定義と具体例を丁寧に解説していきます.
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