測度論

ルベーグ測度mの本質的に重要な４つの性質として「非負値性」「平行移動不変性」「完全加法性」「区間の外測度」があります．このうち，測度論的には「完全加法族」が本質的に重要な性質です．また，記事の最後に最後に測度空間にも触れます．

ℝの区間・開集合・閉集合はルベーグ可測集合の重要な例で，この記事ではこれらの可測性を証明します．また，位相空間Ωの開集合について和集合，共通部分，補集合を可算回とってできる集合全部からなる集合族をボレル集合族といい，一般の測度空間では重要な測度空間です．

ルベーグ外測度m*の定義域ルベーグ可測集合全部の族Lに制限してできる写像mをルベーグ測度というのでした．この記事では，Lが完全加法族であることの証明を目標に，基本性質をまとめます．

外測度m*はほぼ「集合の長さを測る写像」と言えますが実は少し不都合があり，「m*の定義域を少し狭めることで不都合を排除しよう」という方法を採用します．この定義域を狭めてできる写像mをルベーグ測度といいます．

ルベーグ外測度の「非負値性」「単調性」「劣加法性」「平行移動不変性」「区間の外測度」は本質的に重要な性質であり，ルベーグ測度の定義の土台となります．この記事では，これらの性質が重要な理由と，それぞれの性質の説明と証明をしています．

ルベーグ積分を考えるには「集合の長さ」が鍵となり，この「集合の長さ」を測るために重要なものとして外測度があります．外測度を用いれば有理数の集合ℚのようなまばらな集合にも「長さ」を考えることができます．

高校数学で初めて「積分」に出会い，大学の微分積分学の授業ではより厳密な「リーマン積分」を学びます．しかし，専門的に積分を扱おうとすると数学的には少々扱いづらいという欠点があります．そこで，リーマン積分の欠点を大幅に改善したルベーグ積分があります．この記事では，積分の歴史とともにルベーグ積分を説明します．