積率母関数が微分できて
$n$次モーメントが得られることの証明
実数値確率変数$X$に対して，$X^n$($n\in\N$)の期待値$E$を$X$の$n$次モーメントといいます． １次モーメント$E...
「測度論」一覧
積率母関数が微分できて
ルベーグ積分はどのような積分か？
歴史と共に考え方を解説
私は今でこそ当たり前のように積分を扱っていますが，高校で初めて積分を学んだとき 「こんな曲がった境界をもつ図形の面積も求められるのか！...
ルベーグ積分の単調収束定理
ルベーグの収束定理の一歩前
関数列$\{f_n\}$に対して，極限$\lim$と積分$\int$の順序交換 \begin{align*} \lim_{n\t...
ルベーグの収束定理の練習
具体例から使い方を理解する
この記事では次の極限を考えます： \begin{align*} \lim_{n\to\infty}\int_{0}^{\inft...
中心極限定理を実感する
二項分布でシミュレートしてみた
確率論の重要な定理として中心極限定理があります． かなり大雑把に言えば，中心極限定理とは 「同じ分布に従う試行を何度も繰り返すと...
一様可積分性の判定
十分条件と必要十分条件
一様可積分性をもつ確率変数列は，積分と極限の順序交換に関するが成り立ちます． は一様可積分な確率変数列が０に概収束していれば期待値も０...
一様可積分とヴィタリの収束定理
ルベーグの収束定理の一般化
前回の記事で，確率変数列の基本の収束については 概収束と平均収束の間に関係はなく 確率収束しても平均収束しない のでし...
確率変数の4つの収束
概収束，平均収束，確率収束，法則収束
確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$の収束として， 概収束$X_n\to X\ \mathrm{a.s.}$ $p...
フビニの定理とトネリの定理のまとめ
重積分と逐次積分が等しい条件
ルベーグ積分において，関数$f$によっては 重積分$\dint_{\R^m\times\R^n}f(x,y)\,d(x,y)$ ...