「測度論」一覧

一様可積分性の判定条件｜十分条件と必要十分条件

2020/1/29 2020/3/2 測度論

一様可積分性をもつ確率変数列は，積分と極限の順序交換に関する[Vitaliの収束定理]が成り立つ．

[Vitaliの収束定理]は一様可積分な確率変数列が0に概収束していれば，期待値も0に収束することが言えるため，[Lebesgueの収束定理]とは違って優関数をとってこなくても適用できる点が大きなメリットである．

この[Vitaliの収束定理]については前回の記事で説明したので参照されたい．

したがって，[Vitaliの収束定理]を適用するには，確率変数列が一様可積分であることを判定する必要がある．

今回の記事では一様可積分性が成り立つための

を説明する．

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2020/1/28 2020/3/2 測度論

前回の記事で，確率変数列の基本の収束については

のであった．しかし，一様可積分性のもとで確率変数列の収束を考えると，

ということが示される．

とくに前者は[Vitali(ヴィタリ)の収束定理]と呼ばれ，[Lebesgue(ルベーグ)の収束定理]の一般化となっている．

この記事で[Vitali(ヴィタリ)の収束定理]の証明をし，一様可積分性のもとで1次収束平均と確率収束が同値であることは次の記事で証明する．

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2020/1/22 2020/3/2 測度論

確率変数列 $\{X_n\}_{n\in\N}$ の収束として，

の4種類が基本的である．

これらの間には，たとえば確率収束する確率変数は法則収束するように，これらの収束の間に強弱の関係がある．

この記事では，これらの収束の定義を述べたあと，これらの収束の条件の強さを比較する．

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2016/12/16 2019/12/16 測度論

測度空間 $X$ , $Y$ に対して，

は一致するとは限らない．

[Fubini(フビニ)の定理]，[Tonnelli(トネリ)の定理]は二重積分と累次積分が一致するための十分条件を述べたものであり，非常に重要な解析学の定理である．

また，[Fubiniの定理]と[Tonelliの定理]を組み合わせた[Fubini-Tonelliの定理]と呼ばれる定理も存在する．

[Fubiniの定理]，[Tonelliの定理]，[Fubini-Tonelliの定理]を総称して「Fubiniの定理」と呼ぶ場合もある．

この記事では，[Fubiniの定理]，[Tonelliの定理]，[Fubini-Tonelliの定理]を概説する．