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測度論一覧

一様可積分性の判定条件|十分条件と必要十分条件

一様可積分性をもつ確率変数列は,積分と極限の順序交換に関する[Vitaliの収束定理]が成り立ちます.

[Vitaliの収束定理]は一様可積分な確率変数列が0に概収束していれば期待値も0に収束することが言えるため,[Lebesgueの収束定理]とは違って優関数をとってこなくても適用できる点が大きなメリットです.

この[Vitaliの収束定理]については前回の記事で説明したので参照してください.

したがって,[Vitaliの収束定理]を適用するには,確率変数列が一様可積分であることを判定する必要があリマス.

今回の記事では一様可積分性が成り立つための

  • 十分条件
  • 必要十分条件

を説明します.

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一様可積分とヴィタリの収束定理|ルベーグの収束定理の一般化

前回の記事で,確率変数列の基本の収束については

  • 概収束平均収束の間に関係はなく
  • 確率収束しても平均収束しない

のでした.しかし,一様可積分性のもとで確率変数列の収束を考えると

  • 概収束すれば1次平均収束する
  • 1次平均収束と確率収束は同値である

ということが示されます.

とくに前者は[Vitali(ヴィタリ)の収束定理]と呼ばれ,[Lebesgue(ルベーグ)の収束定理]の一般化となっています.

この記事で[Vitali(ヴィタリ)の収束定理]の証明をし,一様可積分性のもとで1次収束平均と確率収束が同値であることは次の記事で証明する.

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確率変数の4つの収束|概収束,平均収束,確率収束,法則収束

確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$の収束として,

  • 概収束
  • 確率収束
  • 平均収束
  • 法則収束

の4種類が基本的である.

これらの間には,たとえば確率収束する確率変数は法則収束するように,これらの収束の間に強弱の関係がある.

この記事では,これらの収束の定義を述べたあと,これらの収束の条件の強さを比較する.

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フビニの定理,トネリの定理,フビニ・トネリの定理のまとめ

測度空間$X$, $Y$に対して,

  • $\dint_{X\times Y}f(x,y)\,d(x,y)$
  • $\dint_{Y}\bra{\dint_{X}f(x,y)\,dx}\,dy$

は一致するとは限らない.

[Fubini(フビニ)の定理][Tonnelli(トネリ)の定理]は二重積分と累次積分が一致するための十分条件を述べたものであり,非常に重要な解析学の定理である.

また,[Fubiniの定理]と[Tonelliの定理]を組み合わせた[Fubini-Tonelliの定理]と呼ばれる定理も存在する.

[Fubiniの定理],[Tonelliの定理],[Fubini-Tonelliの定理]を総称して「Fubiniの定理」と呼ぶ場合もある.

この記事では,[Fubiniの定理],[Tonelliの定理],[Fubini-Tonelliの定理]を概説する.

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