線形空間の基本

線形空間の基本

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線形空間の基本

線形空間の基底の定義・基本性質|証明のテンプレートも紹介

一般に,線型空間Vのベクトルv₁,v₂,……,vₙが(1)Vを生成し(2)全て線形独立であるとき,組(v₁,v₂,……,vₙ)をVの基底といいます.この記事では,基底であることの定義・具体例を説明し,基底による線形結合の一意性も証明します.
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生成(span)される線形部分空間|具体例から考え方を解説

線形空間V上のいくつかのベクトルv₁,v₂,……,vₙの線形結合で表されるベクトル全部の集合は線形部分空間となり,この線形部分空間を「v₁,v₂,……,vₙにより生成される部分空間」などといい,span(v₁,v₂,……,vₙ)と表します.
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線形結合・線形独立性の定義と例題|ベクトルたちの線形関係

ベクトルv₁,v₂,……,vₙたちのスカラー倍と和で表されるベクトルを線形結合と言います.また,v₁,v₂,……,vₙの線形結合で零ベクトルを作るために係数を全て0にするしかないとき,v₁,v₂,……,vₙは線形独立であると言います.
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線形部分空間の定義|証明のテンプレートも例題に沿って紹介

線形空間Vの部分集合UがVの和とスカラー倍について閉じているとき,UをVの線形部分空間といいます.この記事では線形部分空間の定義と証明のテンプレートを紹介し,基本性質を証明します
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線形空間(ベクトル空間)の定義|多項式・数列の例も紹介

集合ℝ²上の和とスカラー倍は,交換法則や分配法則などの「よい性質」を満たします.ℝ²以外の集合上でも「よい性質」をもつ和とスカラー倍を備えた空間を「線形空間」といい,ℝ²と同様に扱うことができます.
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