「代数」一覧

線形代数１｜行列の積の定義はどうしてこうなる？

2020/1/10 2020/1/11 線形代数

線形代数は行列とベクトルを用いて記述される．

行列とベクトルは線形代数の最初期に定義されることになるが，そもそも行列がどのような考え方で導入されたのか良く分からず，「そういうもの」という程度の理解で曖昧なまま読み進めてしまうことも多い．

後に分かってくることではあるが，行列とベクトルを使うことにより，多変数の1次式を簡単に表すことができるというメリットがある．

また，行列の積の定義を最初に見たとき，どうしてそのように定義するのか理解に苦しむ人も多いが，行列の積の定義は自然な発想に基づくものであることもこの記事で解説する．

【線形代数の初学者のための道案内｜線形代数のイメージを知る】

線形代数は大学以降の数学のいたる場面で必要となる．そのため，線形代数でつまずいてしまうと，大学以降の数学では苦しい戦いを強いられることになる．線形代数がどのようなことを考える分野なのかを，イメージから解説する．

線形代数の初学者のための道案内｜線形代数のイメージを知る

2019/12/24 線形代数

「線形代数学」は大学以降の数学の基盤になる基礎的な分野で，多くの理系大学生が1年生で習うことになります．

線形代数学は他のほとんどの数学の分野で使われると言ってもいいほど大切な分野なので，とくに理論系の学科の人はここでコケてしまうと2年生以降がかなり厳しくなってしまいます．

定義や定理を覚えることは大切ですが，以上で説明した大枠のイメージを持っていれば，丸覚えすることなく自然に理解し覚えることができます．

数学では定義や定理は抽象的に表されることが多いですが，その裏には「やりたいこと」があります．

この「やりたいこと」のイメージを理解しておかないと，一体何をやっているのか分らなくなってしまいます．数学は数式が先にあるのではなく，やりたいことが最初にありそれを表現するために数式を用いるだけです．

さて，どこかに道案内をしてもらう時には，どの建物に行くのか分かった状態で付いて行くのと，目的地がわからないまま付いて行くのでは安心感が違います．

これは何かを学ぶときでも同じで，最初にどういうことをするのか分かった状態で学ぶ方が，効率的に身に付きます．

大学の学部で学ぶ線形代数学はJordan標準形あたりまでで終了することが多いので，この記事では線形代数学の初学者に線形代数のイメージと目指す方向を知ってもらうために，Jordan標準形あたりまでの線形代数学の全体像を見ていきます．

well-definedとは何か？｜剰余群の定義を理解しよう

2019/4/23 2020/1/22 代数

代数学で群論を学ぶと，そのうち剰余群を学ぶことになりますが，剰余群の定義で戸惑ってしまう人は多いように思います．

この戸惑う根底にあるのは，“well-defined性”の概念でしょう．

剰余群の定義においてだけではなく，数学において“well-defined性”は非常に重要ですが，高校ではともかく大学でもその意味を教えてもらったことがない人も多いように思います．

少なくとも私は教わった記憶がありません．

剰余群を定義する際に，この“well-defined性”を理解していないと「どうしてこんな議論が必要なのか」と思ってしまうことが多いようです．

本記事では，剰余群の定義を通して“well-defined性”を理解することを目標とします．

群と環と体の定義とそれらの例

2017/8/4 2020/1/24 代数

代数学は数学の構造を研究する分野であり，群(group)，環(ring)，体(field)上において理論が展開されることが非常に多い．

群，環，体といった代数構造を定義するためには，「集合」と「演算」が必要となる．

例えば，

整数の集合 $\Z$ は通常の加法 $+$ によって「群」となる
実数係数の1変数多項式 $\R[x]$ の集合は通常の加法 $+$ と乗法 $\cdot$ によって「環」となる
実数の集合 $\R$ は通常の加法 $+$ と乗法 $\cdot$ によって「体」となる

この記事では，最初に「2項演算」を説明し，そのあとに群，環，体の定義とそれらの例を挙げる．

ペロン-フロベニウスの定理｜成分が正の行列の最大固有値

2017/3/15 2019/12/16 線形代数

[Perron-Frobenius(ペロン-フロベニウス)の定理]とは，全ての成分が正または非負である正方行列の最大固有値に関する定理である．

歴史的には，全ての成分が正の行列に対する定理をOskar Perronが示し，後にFerdinand Georg Frobeniusが全ての成分が非負の行列に対する同様の定理を示した．

また，この[Perron-Frobeniusの定理]の応用範囲は工学から経済学まで非常に広い．

なお，多項式に行列を代入したときの固有値に対するFrobeniusの定理は以下を参照されたい．

【参考記事：フロベニウスの定理】

フロベニウスの定理｜行列と多項式と固有値

2016/5/16 2019/12/16 線形代数

多項式 $f(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0$ と行列 $A$ に対して，

$\begin{align*} f(A):=a_nA^n+\dots+a_1A+a_0I \end{align*}$

とするとき， $f(A)$ は $f$ に $A$ を代入した行列という．ただし， $I$ は単位行列である．

Frobenius(フロベニウス)の定理は，行列 $A$ の固有値と，多項式 $f(x)$ に行列 $A$ を代入した行列 $f(A)$ の関係を述べた定理で， $f(A)$ の固有値を求めるのに非常に有用である．

なお，この記事で扱う[Frobeniusの定理]は[Perron-Frobenius(ペロン-フロベニウス)の定理]とは別の定理で，[Perron-Frobeniusの定理]は以下を参照されたい．

【参考記事：ペロン-フロベニウスの定理】

[Perron-Frobeniusの定理]は「正値正方行列には最大実固有値が唯一存在し，この固有値に属する固有ベクトルは正値ベクトルである」という内容の定理で，応用範囲は非常に広く工学系や経済系の分野で用いられる．

【書評】代数学1 群論入門(雪江明彦著，日本評論社)

2016/5/12 2019/12/13 代数, 書評

本記事では，

「代数学1 群論入門」 (雪江明彦著，日本評論社)

の紹介をする．

本書は群論の入門書であり，続巻として2巻，3巻がある．

具体例が豊富な上に，それぞれが非常に丁寧に解説されており，非常に理解しやすい．

群論の導入書として，強くオススメできる好著である．

【代数学1 群論入門】
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【代数学2 環と体とガロア理論】
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【代数学3 代数学の広がり】
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