代数

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群と環と体の定義とそれらの例

代数学は数学の構造を研究する分野であり,群(group),環(ring),体(field)上において理論が展開されることが非常に多い.

群,環,体といった代数構造を定義するためには,「集合」と「演算」が必要となる.

例えば,整数の集合\Zは通常の加法+によって「群」となり,実数の集合\Rは通常の加法+と乗法\cdotによって「体」となる.また,実数係数の1変数多項式\R[x]の集合は通常の加法+と乗法\cdotによって「環」となる.

この記事では,最初に「2項演算」を説明し,そのあとに群,環,体の定義とそれらの例を挙げる.

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ペロン-フロベニウスの定理

[Perron-Frobenius(ペロン-フロベニウス)の定理]とは,全ての成分が正または非負である正方行列の最大固有値に関する定理である.

歴史的には,全ての成分が正の行列に対する定理をOskar Perronが示し,後にFerdinand Georg Frobeniusが全ての成分が非負の行列に対する同様の定理を示した.

また,この[Perron-Frobeniusの定理]の応用範囲は非常に広い.

なお,多項式に行列を代入したときの固有値に対するFrobeniusの定理は以下を参照されたい.

【参考記事:フロベニウスの定理

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フロベニウスの定理|行列と多項式と固有値

多項式f(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0と行列Aに対して,

f(A):=a_nA^n+\dots+a_1A+a_0I

とし,f(A)fAを代入した行列という.ただし,Iは単位行列である.

Frobenius(フロベニウス)の定理は,行列Aの固有値と,多項式f(x)に行列Aを代入した行列f(A)の関係を述べた定理で,f(A)の固有値を求めるのに非常に有用である.

なお,「正値正方行列には最大実固有値が唯一存在し,この固有値に属する固有ベクトルは正値ベクトルである」というPerron-Frobeniusの定理は以下を参照されたい.

【参考記事:ペロン-フロベニウスの定理

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書評/代数学1 群論入門(雪江明彦著,日本評論社)

代数学1 群論入門

【書名】 代数学1 群論入門

【著者】 雪江明彦

【出版】 日本評論社

群論の入門書.続巻として2巻,3巻がある.

2巻:代数学2 環と体とガロア理論 (雪江明彦 著,日本評論社)

3巻:代数学3 代数学の広がり (雪江明彦 著,日本評論社)

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書評/線型代数入門(齋藤正彦著,東京大学出版会)

線型代数学入門

【書名】 線型代数入門

【著者】 齋藤正彦

【出版】 東京大学出版会

線型代数の入門書.

対応した演習書「線型代数演習」(齋藤正彦 著,東京大学出版会)も発刊されている.

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