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代数学一覧

well-definedとは何か?|剰余群の定義を理解しよう

代数学で群論を学ぶと,そのうち剰余群を学ぶことになりますが,剰余群の定義で戸惑ってしまう人は多いように思います.

この戸惑う根底にあるのは,“well-defined性”の概念でしょう.

剰余群の定義においてだけではなく,数学において“well-defined性”は非常に重要ですが,高校ではともかく大学でもその意味を教えてもらったことがない人も多いように思います.

少なくとも私は教わった記憶がありません.

剰余群を定義する際に,この“well-defined性”を理解していないと「どうしてこんな議論が必要なのか」と思ってしまうことが多いようです.

本記事では,剰余群の定義を通して“well-defined性”を理解することを目標とします.

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群と環と体の定義とそれらの例

代数学は数学の構造を研究する分野であり,群(group),環(ring),体(field)上において理論が展開されることが非常に多い.

群,環,体といった代数構造を定義するためには,「集合」と「演算」が必要となる.

例えば,

  • 整数の集合\Zは通常の加法+によって「群」となる
  • 実数係数の1変数多項式\R[x]の集合は通常の加法+と乗法\cdotによって「環」となる
  • 実数の集合\Rは通常の加法+と乗法\cdotによって「体」となる

この記事では,最初に「2項演算」を説明し,そのあとに群,環,体の定義とそれらの例を挙げる.

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