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線形代数学
線形代数学の基本
行列と数ベクトル
- 1. 線形代数の「行列」とは何か?中学の比例から考え方を解説
- 2. 行列・ベクトルの計算の基本|積はどうしてこの形になるのか?
- 3. 連立1次方程式の掃き出し法|行列の行基本変形の考え方
- 4. 正則行列の定義・具体例|逆行列を使った連立1次方程式の解法
- 5. クラメールの公式|連立1次方程式の解を求める便利な定理
- 6. 行列のランク|逆行列をもつための条件・逆行列の求め方を解説
- 7. 連立1次方程式とランクの関係|解をもつ条件・解の自由度
- 8. 線形独立性の考え方を例題から解説|ランクとの関係も解説
行列式
- 9. 行列式の図形的イメージ|正則性が判定できる行列式の考え方
- 10. 行列式のために置換を定義する|代数学でも重要な置換の基礎
- 11. 行列式の定義と具体例|置換の符号(偶置換・奇置換)から解説
- 12. 行列式の基本性質を総まとめ!計算の具体例も紹介します
- 13. 余因子展開|行列式による正則条件を具体例とともに解説
$\R^n$の部分空間
- 14. 数ベクトル空間の部分空間の定義|証明のテンプレも例題から解説
- 15. 数ベクトル空間の基底|定義・考え方を具体例から丁寧に解説
- 16. ℝⁿの部分空間の次元|基底を求める方法を具体例から解説
- 17. ℝⁿ上のspanされる(生成される)部分空間の基底・次元の求め方
- 18. 行列Aの像Im(A)の定義・考え方|求め方を例題から理解する
- 19. 行列Aの核Ker(A)の定義・考え方|求め方を例題から理解する
- 20. ℝⁿの部分空間の共通部分|基底・次元の求め方を例題から解説
- 21. ℝⁿの部分空間の和空間|基底と次元の求め方を例題から解説
- 22. ℝⁿの部分空間の直和の定義と例題|和空間の次元の公式も紹介
対角化と固有値・固有ベクトル
- 23. 正方行列の対角化と応用例|固有値・固有ベクトルの定義も解説
- 24. 固有値・固有ベクトルの求め方|固有方程式から2ステップで!
- 25. 対角化の基本定理|正方行列の固有値の個数と対角化可能性
- 26. 固有空間と正方行列の対角化|対角化可能性の必要十分条件
線形空間の基本
- 1. 線形空間(ベクトル空間)の定義|多項式・数列の例も紹介
- 2. 線形部分空間の定義|証明のテンプレートも例題に沿って紹介
- 3. 線形結合・線形独立性の定義と例題|ベクトルたちの線形関係
- 4. 生成(span)される線形部分空間|具体例から考え方を解説
その他の線形代数の記事
微分積分学
微分積分学の基本
- 1. 上限supと下限inf|最大値max・最小値minより便利なヤツら
- 2. 数列の収束の定義(ε-N論法)|例題から考え方を理解しよう
- 3. 収束しない実数列|実数列の3種類の発散と証明の例題
- 4. 単調有界実数列の収束定理|漸化式を解かずに極限を求める方法
- 5. 有理数の稠密性|実数の「アルキメデスの性質」から証明する
- 6. ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理|区間縮小法による証明
- 7. コーシー列の便利さ|収束列との関係と実数の集合ℝの完備性
数列
- 上極限と下極限のイメージ|具体例から定義と性質を理解する
- チェザロ平均(a₁+a₂+…+aₙ)/nの極限|ε-N論法の応用例
- チェザロ総和|普通の意味では収束しない級数を収束させたい
- 交項級数の定義と性質|正負の項が交互に並ぶ級数の収束性
微分法と積分法
- 偏微分の順序交換可能な条件と具体例|不可能な具体例も紹介
- ラグランジュの未定乗数法|直感的に当たり前になる考え方
- ガウス関数のフーリエ変換1|コーシーの積分定理から計算する
- ガウス関数のフーリエ変換2|微分方程式を用いて計算する
- ガウス積分はどうやって求める?|極座標変換による計算
- 微分積分学の基本定理とその証明|微分と積分の関係を導出
- 階乗の一般化のガンマ関数(Γ関数)を解説|定義と基本性質
- 1/xᵖの2種類の広義積分|収束・発散するためのpの条件
複素解析
複素解析の基本
- 1. 複素関数とは何か?グラフを複素平面上に図示する方法も解説
- 2. 複素関数の微分の考え方|正則関数の定義・重要定理も紹介
- 3. 複素積分の定義と例題|複素平面上での積分の考え方と計算方法
- 4. コーシーの積分定理を例題から解説|積分経路の変形への応用も
- 5. コーシーの積分公式の直感的な考え方|コーシーの積分定理から
- 6. 正則関数のテイラー展開|コーシーの積分公式の重要な応用
- 7. ローラン展開はテイラー展開の進化形!留数定理の一歩前
- 8. 留数定理による広義積分の計算|例題から使い方・考え方を解説
ベクトル解析
測度論
ルベーグ積分
ルベーグ積分の基本
ルベーグ測度
- 1. 外測度はルベーグ積分の第1歩!「集合の長さ」を測る方法
- 2. ルベーグ外測度の5性質|証明とルベーグ測度との違いも紹介
- 3. ルベーグ可測集合の定義と具体例|ルベーグ測度の定義のために
- 4. ルベーグ可測集合は完全加法族|和集合・共通部分の可測性
- 5. 区間・開集合・閉集合のルベーグ可測性とボレル集合族の定義
- 6. ルベーグ測度の本質的に重要な4性質|完全加法性などを証明
ルベーグ積分の定義
- 7. ルベーグ可測関数の定義と具体例|必要十分条件も2つ紹介
- 8. 線形結合・絶対値・連続関数などのルベーグ可測性を証明
- 9. 単関数のルベーグ積分|具体例を通して考え方を理解しよう
- 10. 単関数近似定理|ルベーグ可測関数fを単関数列{fₙ}で近似する
- 11. ルベーグ積分の定義|単関数による近似を踏まえて定義する
ルベーグ積分の性質
- 12. 非負値関数のルベーグ積分|基礎となる基本性質を証明する
- 13. 単関数列の項別積分定理|直感的な考え方・応用・証明を解説
- 14. ルベーグの単調収束定理の例題と証明|ルベーグ積分の重要定理
- 15. ファトゥの補題の使い方を例題から解説|ルベーグ積分と下極限
- 16. ルベーグの収束定理を例題から理解する|証明・考え方を解説
- 17. ルベーグ積分はリーマン積分の拡張|証明と計算の例題を解説
確率論
- 積率母関数が微分できて$n$次モーメントが得られることの証明
- 確率変数の4つの収束|概収束,平均収束,確率収束,法則収束
- 一様可積分とヴィタリの収束定理|ルベーグの収束定理の一般化
- 確率変数列の一様可積分性の判定|十分条件と必要十分条件
- 中心極限定理を実感する|二項分布でシミュレートしてみた
関数解析
- ストーンの定理|強連続ユニタリ群になるための必要十分条件
- リース-トーリンの複素補間定理|線形作用素$L^p\to L^q$の有界性を示す
- 双対性議論(duality argument)について
- 弱$L^p$有界性とマルチンキーヴィッツの実補間定理
- バナッハ空間とヒルベルト空間の完備でない部分空間の例
関数空間
ルベーグ空間
- 1. 本質的有界な可測関数|本質的上限(ess sup)・下限(ess inf)
- 2. 本質的有界な関数のルベーグ空間$L^\infty$|ノルム空間として定義
- 3. ヘルダーの不等式の証明・応用|ルベーグ積分の基本不等式
- 4. ミンコフスキーの不等式と証明|便利な積分形も併せて紹介
- 5. ルベーグ空間($L^p$空間)|ルベーグ積分に関するノルム・内積
微分方程式
常微分方程式
- バナッハの不動点定理(縮小写像の原理)|証明と応用例も紹介
- ピカールの逐次近似法|常微分方程式の解を構成する方法
- ピカール-リンデレフの定理常微分方程式の解の一意存在性
- 解は存在するが一意でない常微分方程式の具体例を考える
偏微分方程式
シュレディンガー方程式
- 線形シュレディンガー方程式|基本解と解作用素のユニタリ群
- シュレディンガー方程式の分散性|基本解の$L^pL^q$評価の導出
- ストリッカーツ評価|シュレディンガー方程式の分散性評価
- シュレディンガー方程式の質量保存,エネルギー保存の証明
代数学
群論の基礎
集合論・位相空間論
集合論
- 関数の表し方|“$f$”と“$f(x)$”で意味はどう違う?
- ベクトル空間の基底とハメル基底の存在の証明
- ハメル基底と$f(x+y)=f(x)+f(y)$をみたす関数
- 無理数は有理数よりも多い?|対角線論法による濃度差の証明
- well-definedを理解する|三角比の定義を具体例に考える
位相空間論
連結性
統計学
データの記述
- 統計学の基礎|データの「真ん中」を表す平均値・中央値
- データの分散・標準偏差|統計学で「ばらつき」を表す方法
- 共分散から相関の正負が分かる!考え方から定義を理解する
- 相関係数ρは相関の強さを表す統計量!定義と考え方を解説
重要な確率分布
離散型
- 一様分布(離散型)の期待値・分散・確率母関数を計算する
- ベルヌーイ分布の定義・具体例|期待値・分散・確率母関数も計算
- 二項分布と反復試行の確率|平均・分散・確率母関数も計算
- 幾何分布の期待値・分散・確率母関数|初成功までの失敗回数
- 「負の二項分布」の期待値・分散を計算する|名前の由来も解説
- ポアソン分布(準備中)
- 超幾何分布(準備中)
連続型
- 連続型一様分布(準備中)
- 正規分布(準備中)
- カイ二乗分布(準備中)
- 指数分布(準備中)
- ガンマ分布(準備中)
- ベータ分布(準備中)
- $t$分布(準備中)
- $F$分布(準備中)
確率変数の性質
回帰直線
推定
LaTeX
TikZ
- LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方1|基本的な描線
- LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方2|線のスタイル
- LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方3|グラフの描き方
- LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方4|座標の定義と計算
- LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方5|領域に色を塗る