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前回の記事では正方行列$A=[\m{a}_1,\dots,\m{a}_n]$の行列式$|A|$のイメージについて説明し
は同値となりそうであることを説明しました(このことは次の記事で証明します)．
また，以前の記事で既に説明したように
が同値でしたから，結局は行列式$|A|$が０であるか否かを考えることにより$A$の正則性を判定することができます．
さて，行列式のイメージが$n$次元の立体であるといっても，$n$次元を考えるのは難しいため実際に行列式$|A|$を定義するには置換を用いることがほとんどです．
この記事では，置換の考え方と性質を説明します．
前回の記事までで，行列とベクトルの基本的な考え方について説明しました．
とくに前回の記事では，正方行列$[\m{a}_1,\dots,\m{a}_n]$が正則であることと，$\m{a}_1,\dots,\m{a}_n$が線形独立であることを示しました．
これまでは線形独立性を確認するために$[\m{a}_1,\dots,\m{a}_n]$を基本変形を施してランクを求めてきましたが，別のアプローチで線形独立性を確認する方法を考えましょう．
そこで便利なのが正方行列の行列式です．
正方行列$[\m{a}_1,\dots,\m{a}_n]$の行列式のイメージは$\m{a}_1,\dots,\m{a}_n$が張る$n$次元立体の体積ですが，学ぶ段階の問題としていきなり$n$次元で考えるのは難しいでしょう．
そこで，この記事では
について説明します．
なお，この記事では実数$\R$を中心に説明しますが，複素数$\C$など一般の体に対しても同様です．
行列に関して重要な量として，ランク(階数)がありました．
ランクを考えることで
などが分かるのでした．
前回の記事まででは，このランク(階数)は基本変形によって考えてきましたが，ベクトルの線形独立という考え方をもとにしても考えることができます．
線形独立性はとても重要な概念で，線形代数学全体において頻繁に現れます．
この記事では
を説明します．
なお，この記事では実数$\R$を中心に説明しますが，複素数$\C$など一般の体に対しても同様です．
例えば「気温」と「アイスの売り上げ」のような２つのデータの関係を散布図に表し，その関係を「それっぽい直線や曲線」で表すことを回帰分析というのでした．
また，回帰分析における「それっぽい直線」のことを回帰直線といい，回帰分析を行う際には最小二乗法がよく使われます．
この最小二乗法を用いた回帰直線の求め方については以前の記事で説明しました．
この記事では，回帰直線が満たす性質を考え，回帰直線がどれくらい「それっぽいか」を表す決定係数について説明します．
なお，回帰直線の求め方については，以下の記事を参照してください．
最小二乗法による回帰直線の求め方を考え方から説明しています．計算が分からなくてもイメージを掴めるように，最初はできるだけ式を使わずに丁寧に説明しています．
前回の記事では，初期値$u_0=u(0,x)$に対する自由Schrödinger方程式
の解$u=e^{it\Delta}u_0$について成り立つ[$L^pL^q$評価]を示しました．
この記事では，Schrödinger(シュレディンガー)方程式を考える際に重要な不等式である[Strichartz(ストリッカーツ)評価]を説明します．
[$L^pL^q$評価]は端点の場合を示し，間の組$(p,q)$に対しては補間定理を用いることで示すことができるのでした．
なお，Schrödinger方程式の[Strichartz評価]は，歴史的にはより古い波動方程式に関する[Strichartz-Brenner評価]に対応します．
一連の記事はこちら
【自由シュレディンガー方程式の基本解とユニタリ群】
【シュレディンガー方程式の基本解の[LpLq評価]の導出】
【シュレディンガー方程式のストリッカーツ評価の導出】←今の記事
括弧のLaTeXコマンドを紹介します．
数学においては様々な括弧が用いられますが，括弧の中身によって適切な大きさの括弧は変わりますね．
LaTeXには，中身に合わせて自動で適切な括弧の大きさに変化させることができるコマンドがあります．
なお，本稿では以下のように３つのパッケージ
を用います．
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\documentclass{jsarticle} \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb} \begin{document} \end{document} |
矢印のLaTeXコマンドを紹介します．
単純な上下左右の向きの矢印だけでなく，斜め向きや様々な形の矢印をLaTeXによって出力できます．
また，矢印の上下に文字を記述する矢印もあります．
なお，本稿では以下のように３つのパッケージ
を用います．
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1 2 3 4 5 6 |
\documentclass{jsarticle} \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb} \begin{document} \end{document} |
例えば，初期条件$x(0)=x_0$を満たす常微分方程式
は適切な定義域において解をただ一つもちます．
このことは[Picard(ピカール)-Lindelöf(リンデレフ)の定理]により示されます．
この[Picard–Lindelöfの定理]は常微分方程式の解を帰納的に近似していく方法により証明されますが，この近似の方法を[Picardの逐次近似法]といいます．
この記事では
の２つを説明します．
一連の前回の記事までは，TikZによる
など「描線」について説明してきました．
この記事では「領域」の塗り方について説明します．
TikZで領域が塗れるようになると，図による表現の幅が大きく広がりますね．
なお，本稿では以下のように３つのライブラリintersections, calc, arrowsを用います．
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\documentclass[dvipdfmx]{jsarticle} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{intersections,calc,arrows} \begin{document} \end{document} |
なお，ライブラリについては最初の記事で説明しています．
ベクトル解析において，３つの微分作用素
は基本的で，多くの場面で現れます．
とくに積に関する微分(例えば$\operatorname{div}{f\m{v}}$, $\operatorname{grad}(fg)$など)はよく現れ，これは公式として当たり前に使えるようになっておきたいところです．
この記事では，これら３つの基本の微分作用素の
をまとめます．
なお，それぞれの微分作用素の定義とイメージについては以下の記事を参照してください．
【gradとdivとrotのイメージ｜ナブラ∇に関する３つの微分作用素】
この記事では，$\operatorname{grad}$と$\operatorname{div}$と$\operatorname{rot}$の定義を述べ，それぞれの微分作用素が何を表すのかイメージから説明します．また，これら３つは(形式的に)ナブラ$\nabla$を用いて表すこともできます．