山本 拓人

その他

数学用語の英単語と例文|【微分積分学編】

微分積分学で用いられる数学用語の英単語を「実数」「数列」「微分」「積分」「関数列」のセクションに分けて紹介しています.また,例文も掲載しています.
微分積分学の基本

微分積分学2|数列の極限(ε-N論法)をイメージから解説

高校数学では学ぶ数列の極限の定義は直感的で分かりやすいのですが,数学的には少々曖昧です.そこで,数列の極限を厳密に定義する方法として,この記事ではε-N論法をイメージから説明します.
微分積分学

ガウス関数のフーリエ変換2|微分方程式を用いて計算する

平均0のガウス関数にはフーリエ変換を施してもガウス関数に戻るという性質があります.この記事では,1階線形常微分方程式の解法を説明したのち,微分方程式を解くことでガウス関数のフーリエ変換を求めます.
微分方程式

ピカール-リンデレフの定理|常微分方程式の解の一意存在性

常微分方程式の初期値問題の解の存在と一意性に関する重要定理としてピカール-リンデレフの定理があります.この記事では,ピカール-リンデレフの定理がどのような定理かを説明し,この定理を証明します.
ルベーグ積分の基本

ルベーグ積分6|ルベーグ測度の本質的に重要な4つの性質

ルベーグ測度mの本質的に重要な4つの性質として「非負値性」「平行移動不変性」「完全加法性」「区間の外測度」があります.このうち,測度論的には「完全加法族」が本質的に重要な性質です.また,記事の最後に最後に測度空間にも触れます.
微分積分学

コーシーの関数方程式|$f(x+y)=f(x)+f(y)$を満たす連続関数$f$

f(x)=axの形の関数fは等式f(x+y)=f(x)+f(y)を満たします.実はf(x+y)=f(x)+f(y)を満たす連続関数fはf(x)=axの形のものしかないことが証明できます.
ルベーグ積分の基本

ルベーグ積分5|区間・開集合・閉集合の可測性とボレル集合族

ℝの区間・開集合・閉集合はルベーグ可測集合の重要な例で,この記事ではこれらの可測性を証明します.また,位相空間Ωの開集合について和集合,共通部分,補集合を可算回とってできる集合全部からなる集合族をボレル集合族といい,一般の測度空間では重要な測度空間です.
関数空間

ハーディの不等式|ソボレフ空間の重み付き空間への埋め込み

ハーディの不等式はソボレフ空間の埋め込みを示す不等式で,偏微分方程式論などで空間の重みが付いた積分を評価する際に用いられ,通常のソボレフの不等式と同様に重要な不等式となっています.この記事ではハーディの不等式の証明まで行っています.
ルベーグ積分の基本

ルベーグ積分4|可測集合の基本性質のまとめと完全加法族

ルベーグ外測度m*の定義域ルベーグ可測集合全部の族Lに制限してできる写像mをルベーグ測度というのでした.この記事では,Lが完全加法族であることの証明を目標に,基本性質をまとめます.
ルベーグ積分の基本

ルベーグ積分3|ルベーグ可測集合とルベーグ測度の定義

外測度m*はほぼ「集合の長さを測る写像」と言えますが実は少し不都合があり,「m*の定義域を少し狭めることで不都合を排除しよう」という方法を採用します.この定義域を狭めてできる写像mをルベーグ測度といいます.
タイトルとURLをコピーしました