山本 拓人

測度論

測度の単調収束定理|集合の単調増大列・単調減少列

測度論において可測集合の列{Aₙ}に対して,Aₙの測度の極限を考えることはよくあります.この記事では,測度の極限に関する「測度の単調収束定理」の証明と補足をします.
測度論

「ほとんど至る所」の定義と具体例|同値関係による同一視も解説

ルベーグ積分では零集合上でのみ例外であることを「ほとんど至る所で」と言います.この記事では「ほとんど至る所で」の定義と具体例を解説したのち,ほとんど至る所で等しい関数の同一視についても解説します.
微分積分学の基本

微分積分学7|コーシー列の便利さ!収束列との関係と完備性

数列{aₙ}について,m,nを十分大きくすればaₙとa_mの誤差をどこまでも小さくできるとき,{aₙ}をコーシー列といいます.実数列ならコーシー列⇔収束列であり,このことから収束を簡単に示せる実数列があります.
微分積分学の基本

微分積分学6|ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理

「有界実数列は収束する部分列をもつ」という[ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理]は「縁の下の力持ち」という言葉がよく似合う定理です.この記事では区間縮小法により,この定理を証明します.
測度論

可測空間と測度空間|直感的な考え方で定義・具体例を解説

測度論の基本的な空間として「可測空間」「測度空間」があります.この記事では,これらの直感的な考え方をたどりながら,定義と具体例を丁寧に解説していきます.
微分積分学の基本

微分積分学5|有理数の稠密性の証明は「アルキメデスの性質」から

有理数が実数(数直線)上に密に存在しているという性質を「有理数の集合の稠密性」といいます.この証明には「アルキメデスの性質」と呼ばれる実数の重要性質を用います.
微分積分学の基本

微分積分学4|単調有界実数列の収束定理で実数列の収束を証明する

一般に漸化式は解けるとは限らないので,漸化式を解かずに実数列{aₙ}の極限を求める方法があれば嬉しいですね.この記事では,単調収束定理を用いた実数列{aₙ}の極限の求め方を解説します.
その他

全称記号∀と存在記号∃|読み方・使い方の具体例・注意点

数学(数理論理学)では「任意の〜に対して」「ある〜が存在して」という言い回しをよく使います. これらの言い回しはとても重要でよく現れるので,これらを表す記号として ∀ ∃ があり,これらを用いることで数学の主張を...
微分積分学の基本

微分積分学3|実数列の3種類の発散の定義と証明の例題

実数列{aₙ}が収束しないとき{aₙ}は発散するといいますが,発散には「∞に発散」「-∞に発散」「振動」の3種類があります.この記事では,これらの定義を厳密に扱い,具体例から証明の考え方も説明します.
ルベーグ積分の基本

ルベーグ積分11|一般の可測関数にルベーグ積分を定義する

可測単関数にルベーグ積分は簡単に定義でき,非負可測関数fは非負可測単関数列{fₙ}でしたから近似できることを踏まえて,この記事では一般の可測関数にルベーグ積分を定義します.
タイトルとURLをコピーしました