関数解析

2018.06.20

バナッハ空間とヒルベルト空間の完備でない部分空間の例

完備なノルム空間をBanach(バナッハ)空間といい，完備な内積空間をHilbert(ヒルベルト)空間という．

Banach空間(Hilbert空間)はもとより線型空間なので，線型空間としての部分空間を考えることができる．この部分空間に元の空間と同じノルム(内積)を与えたものはノルム空間(内積空間)となるが，完備性を持つとは限らない．

すなわち，Banach空間の部分空間が同じノルムでBanach空間になるとは限らないし，Hilbert空間の部分空間が同じ内積でHilbert空間になるとは限らない．

本稿では，Hilbert空間の部分ノルム空間で完備でないものの例を考える．その際，以下の事実に注意する．

一般に，Banach空間，Hilbert空間の部分空間が同じノルムで完備であるためには，部分空間が閉であることが必要十分である．したがって，Banach空間，Hilbert空間の閉でない部分ノルム空間は完備でない．

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2017.08.03

弱Lp有界性とマルチンキーヴィッツの実補間定理

関数空間の補間定理として，[Marcinkiewicz(マルチンキーヴィッツ)の実補間定理]がある．

定義はのちに述べるが，作用素の $L^p$ 有界性には，(普通の) $L^p$ 有界性と弱 $L^p$ 有界性がある．言葉からも分かるように，作用素 $T$ が $L^p$ 有界であれば，弱 $L^p$ 有界である．

[Marcinkiewiczの実補間定理]は，ある種の三角不等式を満たす作用素 $T$ が弱 $L^1$ 有界性と弱 $L^q$ 有界性( $1<q$ )をもつとき，任意の $p\in(1, q)$ に対して作用素 $T$ が $L^p$ 有界性をもつことを保証する定理である．

つまり，両端 $L^1$ と $L^q$ で弱有界であれば，その間で $L^p$ 有界となる．「両端は弱でよい」というのが[Marcinkiewiczの実補間定理]の優れた点である．

また，非線形作用素にも適用できる点も優れている．

なお，Marcinkiewiczは様々な発音で読まれるが，「マルチンキェーヴィツ」がMarcinkiewiczの正確な発音に近いようである．

【参考記事：リース-ソリンの複素補間定理】

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2016.12.30

双対性議論(duality argument)について

$p\in[1,\infty)$ に対して， $p'=\bra{1-\f{1}{p}}^{-1}$ で $p'\in(1,\infty]$ を定める(すなわち， $p$ と $p'$ はHölder共役)．このとき， $L^{p}$ の共役空間(双対空間) $(L^{p})^{*}$ が $L^{p'}$ と同型であることはよく知られているが，この事実を示すことは簡単ではない．

しかし，この双対的な議論をするとき， $(L^{p})^{*}\cong L^{p'}$ まで用いる必要はなく，次の事実だけで十分なことも多い：

任意の $v\in L^{p'}(\Omega)$ に対して，

$\|v\|_{L^{p'}(\Omega)} =\sup\limits_{\|u\|_{L^{p}(\Omega)}=1}\abs{\dint_{\Omega}u(x)v(x)\,dx}$

が成り立つ．

この事実は比較的容易に証明することができる．

なお，この記事では， $\Omega\subset\R^{N}$ に対して， $I_{\Omega}$ を $\Omega\subset\R^{N}$ 上の定義関数とする．

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2016.11.09

リース-ソリンの複素補間定理とその証明

作用素の中でも，有界作用素は様々な良い性質をもつ．

作用素の有界性を保証する定理の一つとして，[Riesz(リース)-Thorin(ソリン)の複素補間定理]がある．

[Riesz-Thorinの複素補間定理]は以下のように述べられる．

作用素 $T$ が $L^{p_{0}}$ から $L^{q_{0}}$ への有界作用素，かつ $L^{p_{1}}$ から $L^{q_{1}}$ への有界作用素でもあるとき， $T$ は $L^{p_{\theta}}$ から $L^{q_{\theta}}$ への有界作用素となる．

ここに， $p_{\theta},q_{\theta}$ は次の通りである．

$p_{\theta}:=\left(\dfrac{1-\theta}{p_{0}}+\dfrac{\theta}{p_{1}}\right)^{-1}$ ， $q_{\theta}:=\left(\dfrac{1-\theta}{q_{0}}+\dfrac{\theta}{q_{1}}\right)^{-1}$