「関数解析」一覧

バナッハ空間とヒルベルト空間の完備でない部分空間の例

2018/6/20 2019/12/16 関数解析

完備なノルム空間をBanach(バナッハ)空間といい，完備な内積空間をHilbert(ヒルベルト)空間という．

Banach空間(Hilbert空間)はもとより線型空間なので，線型空間としての部分空間を考えることができる．この部分空間に元の空間と同じノルム(内積)を与えたものはノルム空間(内積空間)となるが，完備性を持つとは限らない．

すなわち，Banach空間の部分空間が同じノルムでBanach空間になるとは限らないし，Hilbert空間の部分空間が同じ内積でHilbert空間になるとは限らない．

本稿では，Hilbert空間の部分ノルム空間で完備でないものの例を考える．その際，以下の事実に注意する．

一般に，Banach空間，Hilbert空間の部分空間が同じノルムで完備であるためには，部分空間が閉であることが必要十分である．したがって，Banach空間，Hilbert空間の閉でない部分ノルム空間は完備でない．

弱Lp有界性とマルチンキーヴィッツの実補間定理

2017/8/3 2019/12/16 関数解析

関数空間の補間定理として，[Marcinkiewicz(マルチンキーヴィッツ)の実補間定理]がある．

定義はのちに述べるが，作用素の $L^p$ 有界性には，(普通の) $L^p$ 有界性と弱 $L^p$ 有界性がある．言葉からも分かるように，作用素 $T$ が $L^p$ 有界であれば，弱 $L^p$ 有界である．

[Marcinkiewiczの実補間定理]は，ある種の三角不等式を満たす作用素 $T$ が弱 $L^1$ 有界性と弱 $L^q$ 有界性( $1<q$ )をもつとき，任意の $p\in(1,q)$ に対して作用素 $T$ が $L^p$ 有界性をもつことを保証する定理である．

つまり，両端 $L^1$ と $L^q$ で弱有界であれば，その間で $L^p$ 有界となる．「両端は弱でよい」というのが[Marcinkiewiczの実補間定理]の優れた点である．

また，非線形作用素にも適用できる点も優れている．

なお，日本ではMarcinkiewiczは様々な発音で読まれるが，「マルチンキェーヴィツ」がMarcinkiewiczの正確な発音に近いようである．

【リース-ソリンの複素補間定理とその証明】

$L^{p_1}(X)\to L^{q_1}(Y)$ で有界かつ， $L^{p_2}(X)\to L^{q_2}(Y)$ で有界な作用素 $T$ を考える．このとき，2点 $(p_1,q_1)$ , $(p_2,q_2)$ を結ぶ線分上の点 $(a,b)$ に対して， $T$ は $L^{a}(X)\to L^{b}(Y)$ の有界作用素となるという補間定理を[Riesz-Thorinの複素補間定理]という．

双対性議論(duality argument)について

2016/12/30 2019/12/16 関数解析

$p\in[1,\infty)$ に対して， $p'=\bra{1-\frac{1}{p}}^{-1}$ で $p'\in(1,\infty]$ を定める(すなわち， $p$ と $p'$ はHölder共役)．

このとき， $L^{p}$ の共役空間(双対空間) $(L^{p})^{*}$ が $L^{p'}$ と同型であることはよく知られているが，この事実を示すことは簡単ではない．

しかし，この双対的な議論をするとき， $(L^{p})^{*}\cong L^{p'}$ まで用いる必要はなく，任意の $v\in L^{p'}(\Omega)$ に対して，

$\begin{align*} \|v\|_{L^{p'}(\Omega)} =\sup_{\|u\|_{L^{p}(\Omega)}=1}\abs{\int_{\Omega}u(x)v(x)\,dx} \end{align*}$

が成り立つことを用いれば十分なことも多い．

この記事では，この等式に関する証明を行う．

なお， $\Omega\subset\R^N$ に対して， $I_{\Omega}$ を $\Omega\subset\R^N$ 上の定義関数とする．

リース・ソリンの複素補間定理とその証明

2016/11/9 2019/12/19 関数解析

作用素の中でも，有界作用素は様々な良い性質をもつ．

作用素の有界性を保証する定理の一つとして，[Riesz(リース)-Thorin(ソリン)の複素補間定理]がある．

[Riesz-Thorinの複素補間定理]は以下のように述べられる．

作用素 $T$ が $L^{p_0}$ から $L^{q_0}$ への有界作用素，かつ $L^{p_1}$ から $L^{q_1}$ への有界作用素でもあるとき， $T$ は $L^{p_{\theta}}$ から $L^{q_{\theta}}$ への有界作用素となる．

ここに， $p_{\theta}$ , $q_{\theta}$ は次の通りである．

$\begin{align*} p_{\theta}:=\bra{\frac{1-\theta}{p_0}+\frac{\theta}{p_1}}^{-1},\quad q_{\theta}:=\bra{\frac{1-\theta}{q_0}+\frac{\theta}{q_1}}^{-1} \end{align*}$