関数解析

完備なノルム空間，完備な内積空間をそれぞれBanach空間，Hilbert空間といいます．Banach空間の部分空間，Hilbert空間の部分空間はそれぞれノルム空間，内積空間となりますが，完備になるとは限りません．この記事では，そのような完備でない部分空間の例を挙げます．

Marcinkiewiczの実補間定理は，作用素Tが弱Lp有界かつ弱Lq有界(p<q)であるとき，任意のr∈(p,q)に対してTが強Lr有界になるという定理です．この記事ではMarcinkiewiczの実補間定理を証明しています．

pとqがヘルダー共役であれば，Lp空間の共役空間(双対空間)とLq空間は同型である．この記事では，Lqの元を用いてLpノルムを表せることを説明する．

[三線定理]を用いて証明される[Riesz-Thorinの複素補間定理]はLpからLqへの作用素が有界であるための十分条件を述べた定理である．この定理の応用としては，Schrödinger方程式の解のLpLqノルムの評価がある．

ヒルベルト空間における有界線形作用素の族がユニタリ群であるための必要十分条件を与える[Stoneの定理]を説明します．[Hille(ヒレ)-Yosida(吉田)の定理]の特別な場合として，シュレディンガー方程式にも応用されます．