関数解析

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バナッハ空間とヒルベルト空間の完備でない部分空間の例

完備なノルム空間をBanach(バナッハ)空間といい,完備な内積空間をHilbert(ヒルベルト)空間という.

Banach空間(Hilbert空間)はもとより線型空間なので,線型空間としての部分空間を考えることができる.この部分空間に元の空間と同じノルム(内積)を与えたものはノルム空間(内積空間)となるが,完備性を持つとは限らない.

すなわち,Banach空間の部分空間が同じノルムでBanach空間になるとは限らないし,Hilbert空間の部分空間が同じ内積でHilbert空間になるとは限らない.

本稿では,Hilbert空間の部分ノルム空間で完備でないものの例を考える.その際,以下の事実に注意する.

一般に,Banach空間,Hilbert空間の部分空間が同じノルムで完備であるためには,部分空間が閉であることが必要十分である.したがって,Banach空間,Hilbert空間の閉でない部分ノルム空間は完備でない.

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弱Lp有界性とマルチンキーヴィッツの実補間定理

関数空間の補間定理として,[Marcinkiewicz(マルチンキーヴィッツ)の実補間定理]がある.

定義はのちに述べるが,作用素のL^p有界性には,(普通の)L^p有界性と弱L^p有界性がある.言葉からも分かるように,作用素TL^p有界であれば,弱L^p有界である.

[Marcinkiewiczの実補間定理]は,ある種の三角不等式を満たす作用素Tが弱L^1有界性と弱L^q有界性(1<q)をもつとき,任意のp\in(1, q)に対して作用素TがL^p有界性をもつことを保証する定理である.

つまり,両端L^1L^qで弱有界であれば,その間でL^p有界となる.「両端は弱でよい」というのが[Marcinkiewiczの実補間定理]の優れた点である.

また,非線形作用素にも適用できる点も優れている.

なお,Marcinkiewiczは様々な発音で読まれるが,「マルチンキェーヴィツ」がMarcinkiewiczの正確な発音に近いようである.

【参考記事:リース-ソリンの複素補間定理

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双対性議論(duality argument)について

p\in[1,\infty)に対して,p'=\bra{1-\f{1}{p}}^{-1}p'\in(1,\infty]を定める(すなわち,pp'はHölder共役).このとき,L^{p}の共役空間(双対空間)(L^{p})^{*}L^{p'}と同型であることはよく知られているが,この事実を示すことは簡単ではない.

しかし,この双対的な議論をするとき,(L^{p})^{*}\cong L^{p'}まで用いる必要はなく,次の事実だけで十分なことも多い:

任意のv\in L^{p'}(\Omega)に対して,

\|v\|_{L^{p'}(\Omega)} =\sup\limits_{\|u\|_{L^{p}(\Omega)}=1}\abs{\dint_{\Omega}u(x)v(x)\,dx}

が成り立つ.

この事実は比較的容易に証明することができる.

なお,この記事では,\Omega\subset\R^{N}に対して,I_{\Omega}\Omega\subset\R^{N}上の定義関数とする.

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リース-ソリンの複素補間定理とその証明

作用素の中でも,有界作用素は様々な良い性質をもつ.

作用素の有界性を保証する定理の一つとして,[Riesz(リース)-Thorin(ソリン)の複素補間定理]がある.

[Riesz-Thorinの複素補間定理]は以下のように述べられる.

作用素TL^{p_{0}}からL^{q_{0}}への有界作用素,かつL^{p_{1}}からL^{q_{1}}への有界作用素でもあるとき,TL^{p_{\theta}}からL^{q_{\theta}}への有界作用素となる.

ここに,p_{\theta},q_{\theta}は次の通りである.

p_{\theta}:=\left(\dfrac{1-\theta}{p_{0}}+\dfrac{\theta}{p_{1}}\right)^{-1}q_{\theta}:=\left(\dfrac{1-\theta}{q_{0}}+\dfrac{\theta}{q_{1}}\right)^{-1}

[Riesz-Thorinの複素補間定理]の証明には,[Hadamard-Phragmén-Lindelöfの三線定理]を用いる.

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1パラメータユニタリ群に関するストーンの定理

この記事では,「1パラメータユニタリ群に関するMarshall Harvey Stone(ストーン)の定理(以下,Stoneの定理)」を説明する.

Stoneの定理はHilbert空間上の作用素の族\{T_t\}_{t\in\R}がユニタリ群であるための必要十分条件を述べる定理である.

また,類似の定理としてはHille-Yosidaの定理があり,こちらはBanach空間上の線形作用素Aが半群\{T_t\}_{t\in\R}の生成作用素となる必要十分条件を述べる定理である.

Stoneの定理はHille-Yosidaの定理により証明できるが,歴史的にはStoneの定理の方が古い.

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