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gradとdivとrotのイメージ|ナブラ∇に関する3つの微分作用素

線形代数学でベクトルを学び,微分積分学で偏微分を学びます.

数学や物理ではベクトルに関する偏微微分を考えることがよくあり,ベクトルの偏微分を扱う分野としてベクトル解析があります.

その中でよく扱う偏微分として

  • 勾配$\operatorname{grad}$
  • 発散$\operatorname{div}$
  • 回転$\operatorname{rot}$ ($\operatorname{curl}$)

があります.

この記事では,これらの定義とイメージを説明し,ナブラ$\nabla$による表し方を説明します.

また,これら3つの微分作用素の合成の関係式も紹介します.

なお,[和の微分公式],[積の微分公式],[内積・外積の微分公式]については以下の記事を参照してください.

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3つの微分作用素

3つの微分作用素$\operatorname{grad}$, $\operatorname{div}$, $\operatorname{rot}$をそれぞれ詳しくみていきましょう.

勾配grad

まずは勾配$\operatorname{grad}$を定義します.

定義とイメージ

変数は$\m{x}=\bmat{x_1\\\vdots\\x_n}\in\R^n$とします.

各$x_i$について偏微分可能な関数$f:\R^n\to\R$に対して,

\begin{align*} \operatorname{grad}f:=\bmat{\pd{f}{x_1}\\\vdots\\\pd{f}{x_n}} \end{align*}

で$\operatorname{grad}f:\R^n\to\R^n$を定め,これを$f$の勾配 (gradient)という.

つまり,各変数$x_i$での偏微分を並べて列ベクトルとするわけですね.

したがって,$\operatorname{grad}f(\m{x})$の第$i$成分は,点$\m{x}$での$x_i$軸方向の接線の傾きを表しているわけですね.

$f$が全微分可能であれば,$\operatorname{grad}f(\m{x})$の第$i$成分は,点$\m{x}$での接平面の各$x_i$軸方向の増加量を表していることにもなりますね.

具体例

$n=3$のとき$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+2xy-3yz$とすると,

\begin{align*} \operatorname{grad}f(x,y,z) =&\bmat{\pd{}{x}(x^2+y^2+z^2+2xy-3yz)\\\pd{}{y}(x^2+y^2+z^2+2xy-3yz)\\\pd{}{z}(x^2+y^2+z^2+2xy-3yz)} \\=&\bmat{2x+2y\\2y+2x-3z\\2z-3y} \end{align*}

となりますね.

発散div

次に発散$\operatorname{div}$を定義します.

定義とイメージ

変数は$\m{x}=\bmat{x_1\\\vdots\\x_n}\in\R^n$とします.

各成分$x_i$について偏微分可能なベクトル値関数$\m{v}=\bmat{v_1\\\vdots\\v_n}:\R^n\to\R^n$に対して,

\begin{align*} \operatorname{div}\m{v}:=\pd{v_1}{x_1}+\dots+\pd{v_n}{x_n} \end{align*}

で$\operatorname{div}\m{v}:\R^n\to\R$を定め,これを$\m{v}$の発散 (divergence)という.

つまり,ベクトル$\m{v}$の第$i$成分$v_i$を変数$x_i$で偏微分して足し合わせるわけですね.

さて,ベクトル値関数$\m{v}$は$\R^n$での(水や空気などの)「流れ」をイメージすると分かりやすいでしょう.

例えば,$n=2$のとき$\m{v}(x,y)=\bmat{v_1(x,y)\\v_2(x,y)}=\dfrac{1}{2}\bmat{x\\-y}$を考えると,例えば

  • 点$(1,1)$での流れは$\m{v}(1,1)=\dfrac{1}{2}\bmat{1\\-1}$
  • 点$(2,1)$での流れは$\m{v}(2,1)=\dfrac{1}{2}\bmat{2\\-1}$
  • 点$(1,2)$での流れは$\m{v}(2,2)=\dfrac{1}{2}\bmat{2\\-2}$
  • 点$(0,3)$での流れは$\m{v}(0,3)=\dfrac{1}{2}\bmat{0\\-3}$

ということになります.

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このように点$(x,y)$での「流れ」を表しているのがベクトル値関数$\m{v}(x,y)$というわけですね.

さて,$\R^n$上のベクトル値関数$\m{v}$の第1成分$v_1$について,点$\m{a}=(a_1,a_2,\dots,a_n)$から点$\m{a}_h=(a_1+h,a_2,\dots,a_n)$に移動したときの変化の割合は

\begin{align*} \frac{v_1(\m{a}_h)-v_1(\m{a})}{h} \end{align*}

ですね.

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ここで$h\to0$とすると点$\m{a}$での$x_1$軸方向の瞬間の増加が出てくるわけですが,これは

\begin{align*} \lim_{h\to0}\frac{v_1(\m{a}_h)-v_1(\m{a})}{h} =\pd{v_1}{x_1}(\m{a}) \end{align*}

となりますね.

このように,ベクトル値関数$\m{v}$の$x_i$軸方向の増加を見たければ,$\pd{v_i}{x_i}$を考えればよいというわけですね.

つまり,「流れ」が点$\m{a}$を通過すると

  • $x_1$方向に「流れ」が $\displaystyle\pd{v_1}{x_1}(\m{a})$増加
  • $x_2$方向に「流れ」が $\displaystyle\pd{v_2}{x_2}(\m{a})$増加
  • ……
  • $x_n$方向に「流れ」が $\displaystyle\pd{v_n}{x_n}(\m{a})$増加

するというわけですね.よって,これらの和

\begin{align*} \operatorname{div}\m{v}(\m{a})=\pd{v_1}{x_1}(\m{a})+\pd{v_2}{x_2}(\m{a})+\dots+\pd{v_n}{x_n}(\m{a}) \end{align*}

点$\m{a}$を通ったときに増加する「流れ」の量を表しているわけですね.

具体例

$n=3$のとき$\m{v}(x,y,z)=\bmat{xy\\yz\\zx}$とすると,

\begin{align*} \operatorname{div}\m{v}(x,y,z) =&\pd{}{x}(xy)+\pd{}{y}(yz)+\pd{}{z}(zx) \\=&y+z+x \end{align*}

となりますね.

回転rot

最後に回転$\operatorname{rot}$を定義します.

定義とイメージ

変数は$\m{x}=\bmat{x\\y\\z}\in\R^3$とします.

各成分$x$, $y$, $z$について偏微分可能なベクトル値関数$\m{v}=\bmat{u\\v\\w}:\R^3\to\R^3$に対して,

\begin{align*} \operatorname{rot}\m{v}:=\bmat{\pd{w}{y}-\pd{v}{z}\\\pd{u}{z}-\pd{w}{x}\\\pd{v}{x}-\pd{u}{y}} \end{align*}

で$\operatorname{rot}\m{v}:\R^3\to\R^3$を定め,これを$\m{v}$の回転 (rotation,curl)という.$\operatorname{rot}\m{v}$は$\operatorname{curl}\m{v}$と表すこともある.

結論から言えば,この$\operatorname{rot}\m{v}$はベクトル値関数$\m{v}$が表す「流れ」の回転を表します.

このことについて,$\operatorname{rot}\m{v}$の第1成分

\begin{align*} \pd{w}{y}-\pd{v}{z} \end{align*}

がどういう意味で「流れ」の回転を表すのかを考えてみましょう.

まずは点$\m{a}=\bmat{a\\b\\c}\in\R^3$を通る$x_1$軸に平行な回転軸の「上側」から$yz$平面を眺め,この回転軸の周りで$\m{v}$の「流れ」が正方向(反時計方向)にどれだけ回転しているかを考えます.

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2点

  • $\m{a}_{+h}=(a,b,z+h)$
  • $\m{a}_{-h}=(a,b,z-h)$

での$y$軸方向の「流れ」を比べると,$v(\m{a}_{-h})>v(\m{a}_{+h})$のときに正方向へ回転させるような「流れ」があると考えられますね.

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よって,点$\m{a}_{+h}$から点$\m{a}_{-h}$へ移動したときの$y$軸方向の「流れ」の差の変化率は

\begin{align*} \frac{v(\m{a}_{-h})-v(\m{a}_{+h})}{2h} \end{align*}

ですね.

ここで$\operatorname{div}$と同じく$h\to0$とすると$y$軸方向の「流れ」による点$\m{a}$での瞬間の回転が出てくるわけですが,これは

\begin{align*} &\lim_{h\to0}\frac{v(\m{a}_{-h})-v(\m{a}_{+h})}{2h} \\=&\lim_{h\to0}\brb{-\frac{1}{2}\bra{\frac{v(\m{a}_{+h})-v(\m{a})}{h}+\frac{v(\m{a}_{-h})-v(\m{a})}{-h}}} \\=&-\frac{1}{2}\bra{\pd{v}{z}(\m{a})+\pd{v}{z}(\m{a})} \\=&-\pd{v}{z}(\m{a}) \end{align*}

となりますね.

同様に,点$\m{a}_{-h}:=(a,b-h,c)$から点$\m{a}_{+h}:=(a,b+h,c)$への移動を考えて,$y$軸方向の「流れ」による点$\m{a}$での瞬間の回転は

\begin{align*} \lim_{h\to0}\frac{w(\m{a}_{+h})-w(\m{a}_{-h})}{2h} =\pd{w}{y}(\m{a}) \end{align*}

となりますね.

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つまり,

  • $y$軸方向の流れにより生じる回転$-\displaystyle\pd{v}{z}(\m{a})$
  • $z$軸方向の流れにより生じる回転$\displaystyle\pd{w}{y}(\m{a})$

の和で点$\m{a}$での$x$軸に平行な回転軸の回転を表しているわけですね.

同じことを

  • $y$軸に平行な回転軸
  • $z$軸に平行な回転軸

でも考えて,

\begin{align*} \operatorname{rot}\m{v}:=\bmat{\pd{w}{y}-\pd{v}{z}\\\pd{u}{z}-\pd{w}{x}\\\pd{v}{x}-\pd{u}{y}} \end{align*}

は回転を表すことが分かりますね.

具体例

$\m{v}(x,y,z)=\bmat{xy\\yz\\zx}$とすると,

\begin{align*} \operatorname{rot}\m{v}(x,y,z) =\bmat{\pd{}{y}(zx)-\pd{}{z}(yz)\\\pd{}{z}(xy)-\pd{}{x}(zx)\\\pd{}{x}(yz)-\pd{}{y}(xy)} =-\bmat{y\\z\\x} \end{align*}

となりますね.

ナブラ∇を用いた表し方

ナブラ(nabla)$\nabla$を使うと,いまみた3つの微分作用素$\operatorname{grad}$, $\operatorname{div}$, $\operatorname{rot}$をスッキリ表すことができます.

変数$\m{x}=(x_1,\dots,x_n)$に関して,

\begin{align*} \nabla:=\bmat{\pd{}{x_1}\\\vdots\\\pd{}{x_n}} \end{align*}

と(形式的に)定める.

つまり,微分作用素$\pd{}{x_i}$を第$i$成分とする列ベクトルを$\nabla$と表すわけですね.

このとき,$\operatorname{grad}$, $\operatorname{div}$, $\operatorname{rot}$は

  • $f:\R^n\to\R$に対して,

    \begin{align*} \operatorname{grad}f =\bmat{\pd{f}{x_1}\\\vdots\\\pd{f}{x_n}} =\bmat{\pd{}{x_1}\\\vdots\\\pd{}{x_n}}f =\nabla f. \end{align*}

  • $\m{v}:\R^n\to\R^n$に対して,

    \begin{align*} \operatorname{div}\m{v} =\pd{v_1}{x_1}+\dots+\pd{v_n}{x_n} =\bmat{\pd{}{x_1}\\\vdots\\\pd{}{x_n}}\cdot\bmat{v_1\\\vdots\\v_n} =\nabla\cdot\m{v}. \end{align*}

  • $\m{v}:\R^3\to\R^3$に対して,

    \begin{align*} \operatorname{rot}\m{v} =\bmat{\pd{w}{y}-\pd{v}{z}\\\pd{u}{z}-\pd{w}{x}\\\pd{v}{x}-\pd{u}{y}} =\bmat{\pd{}{x}\\\pd{}{y}\\\pd{}{z}}\times\bmat{u\\v\\w} =\nabla\times\m{v}. \end{align*}

となりますね.なお,

  • $\operatorname{div}$について$\nabla\cdot\m{v}$は内積
  • $\operatorname{rot}$について$\nabla\times\m{v}$は外積(ベクトル積,クロス積)

と考えているわけです.

まとめると

  • $\operatorname{grad}f=\nabla f$
  • $\operatorname{div}\m{v}=\nabla\cdot\m{v}$
  • $\operatorname{rot}\m{v}=\nabla\times\m{v}$

ですね.ただし,$\operatorname{div}$の内積$\nabla\cdot\m{v}$は可換ではなく,$\m{v}\cdot\nabla$と書くと違う意味になってしまうので注意してください.

3つの微分作用素の合成

次に,いまみた3つの微分作用素を合成することを考えます.

ラプラシアン

ベクトル解析でよく現れる微分作用素にラプラシアンがあります.

同じ変数について2回偏微分可能な関数$f:\R^n\to\R$に対して

\begin{align*} \Delta f :=\operatorname{div}\operatorname{grad}f \bra{=\ppd{f}{x_1}+\dots+\ppd{f}{x_n}} \end{align*}

と表し,この微分作用素$\Delta$をラプラシアン (Laplacian)という.

$\Delta f$は

\begin{align*} \Delta f=\nabla\cdot(\nabla f) \end{align*}

とも表せるので,$\Delta=\nabla^2$と表すこともよくあります.

$C^2$級関数$f:\R^n\to\R$が

\begin{align*} \Delta f=0 \end{align*}

を満たすとき,$f$を調和関数 (harmonic function)という.

調和関数は「性質の良い」関数として,解析学でよく現れます.

3つの微分作用素の恒等式

いまみた3つの微分作用素の合成

  • $\operatorname{rot}\operatorname{grad}$
  • $\operatorname{div}\operatorname{rot}$
  • $\operatorname{rot}\operatorname{rot}$
  • $\operatorname{grad}\operatorname{div}$

について,以下が成り立ちます.

任意の$C^2$級関数$f:\R^3\to\R$と$C^2$級ベクトル値関数$\m{v}=\bmat{u\\v\\w}:\R^3\to\R^3$に対して,以下が成り立つ.

  • $\operatorname{rot}\operatorname{grad}f=\m{0}$
  • $\operatorname{div}\operatorname{rot}\m{v}=0$
  • $\operatorname{rot}\operatorname{rot}\m{v}=\operatorname{grad}\operatorname{div}\m{v}-\operatorname{div}\operatorname{grad}\m{v}$

なお,これらは$\nabla$を使えば以下のようにも表せる.

  • $\nabla\times(\nabla f)=\m{0}$
  • $\nabla\cdot(\nabla\times\m{v})=0$
  • $\nabla\times(\nabla\times\m{v})=\nabla(\nabla\cdot\m{v})-\Delta\m{v}$

ただし,最後の等式において

\begin{align*} \operatorname{div}\operatorname{grad}\m{v} =\Delta\m{v} :=\bmat{\Delta u\\\Delta v\\\Delta w} \end{align*}

である.

$f$, $\m{v}$は$C^2$級だから2階までの偏微分は交換可能なので,

\begin{align*} \nabla\times(\nabla f) =&\nabla\times\bmat{\pd{f}{x}\\\pd{f}{y}\\\pd{f}{z}} =\bmat{\ppdd{f}{y}{z}-\ppdd{f}{z}{y}\\\ppdd{f}{z}{x}-\ppdd{f}{x}{z}\\\ppdd{f}{x}{y}-\ppdd{f}{y}{x}} =\m{0}, \\\nabla\cdot(\nabla\times\m{v}) =&\nabla\cdot\bmat{\pd{w}{y}-\pd{v}{z}\\\pd{u}{z}-\pd{w}{x}\\\pd{v}{x}-\pd{u}{y}} \\=&\bra{\ppdd{w}{x}{y}-\ppdd{v}{x}{z}}+\bra{\ppdd{u}{y}{z}-\ppdd{w}{y}{x}}+\bra{\ppdd{v}{z}{x}-\ppdd{u}{z}{y}} \\=&0, \\\nabla\times(\nabla\times\m{v}) =&\nabla\times\bmat{\pd{w}{y}-\pd{v}{z}\\\pd{u}{z}-\pd{w}{x}\\\pd{v}{x}-\pd{u}{y}} \\=&\bmat{\pd{}{y}\bra{\pd{v}{x}-\pd{u}{y}}-\pd{}{z}\bra{\pd{u}{z}-\pd{w}{x}}\\ \pd{}{z}\bra{\pd{w}{y}-\pd{v}{z}}-\pd{}{x}\bra{\pd{v}{x}-\pd{u}{y}}\\ \pd{}{w}\bra{\pd{u}{z}-\pd{w}{x}}-\pd{}{y}\bra{\pd{v}{x}-\pd{u}{y}}} \\=&\bmat{\pd{}{x}\bra{\pd{u}{x}+\pd{v}{y}+\pd{w}{z}}\\ \pd{}{y}\bra{\pd{u}{x}+\pd{v}{y}+\pd{w}{z}}\\ \pd{}{z}\bra{\pd{u}{x}+\pd{v}{y}+\pd{w}{z}}} -\bmat{\ppd{u}{x}+\ppd{u}{y}+\ppd{u}{z}\\\ppd{v}{x}+\ppd{v}{y}+\ppd{v}{z}\\\ppd{w}{x}+\ppd{w}{y}+\ppd{w}{z}} \\=&\nabla\bra{\pd{u}{x}+\pd{v}{y}+\pd{w}{z}}-\bmat{\Delta u\\\Delta v\\\Delta w} \\=&\nabla(\nabla\cdot\m{v})-\Delta\m{v} \end{align*}

が従う.

この記事で説明した3つの微分作用素$\operatorname{grad}$, $\operatorname{div}$, $\operatorname{rot}$について

  • 和の微分公式
  • 積の微分公式
  • 内積・外積の微分公式

があります.これらについては以下の記事を参照してください.

最後までありがとうございました!

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