線形代数学一覧

線形代数13|「固有値」と「固有ベクトル」は対角化のカギ!

正方行列の対角化は非常に応用範囲が広く,対角化があることによって線形代数が広く応用される分野になっていると言っても言い過ぎではありません.

正方行列の対角化を行うために

  • 固有値
  • 固有ベクトル

の2つの概念が鍵となっています.

全ての正方行列が対角化できるわけではありませんが,「固有値」を考えれば直ちに対角化が可能であることが分かる場合もあります.

この記事では

  • 正方行列の対角化とは何か
  • 正方行列$A$のべき$A^k$の対角化を用いた計算
  • 固有値固有ベクトルとは何か
  • どのようなときに対角化できるか

を説明します.

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線形代数8|「行列式」は線形代数の要!定義と性質を解説

前々回の記事で正方行列$A$の行列式$|A|$の図形的なイメージについて説明し,前回の記事で行列式を定義するために必要となる置換について説明しました.

行列式$|A|$を考える大きな目的の1つに正方行列$A$の正則性を判定することが挙げられます.

結論から言えば,行列式$|A|$が0でないことと$A$が正則である($A$が逆行列$A^{-1}$をもつ)ことが同値となります.

また,行列式を用いることで逆行列を求めることもできます.

この記事では,前々回と前回の記事を踏まえて

  • 行列式の定義
  • 行列式の性質
  • 正方行列$A$が正則であることと$|A|\neq0$の同値性

を説明します.

また,$A$が正則なら連立方程式$A\m{x}=\m{c}$の解を$|A|$を用いて表すこともでき,これをクラメール(Cramer)の公式といいます.

なお,この記事では実数$\R$を中心に説明しますが,複素数$\C$など一般の体に対しても同様です.

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線形代数7|行列式を定義するための置換の性質を理解する

前回の記事では正方行列$A=[\m{a}_1,\dots,\m{a}_n]$の行列式$|A|$のイメージについて説明し

  • $\m{a}_1,\dots,\m{a}_n$が線形独立であること
  • $|A|\neq0$をみたすこと

は同値となりそうであることを説明しました(このことは次の記事で証明します).

また,以前の記事で既に説明したように

  • $\m{a}_1,\dots,\m{a}_n$が線形独立であること
  • $A$が正則であること

が同値でしたから,結局は行列式$|A|$が0であるか否かを考えることにより$A$の正則性を判定することができます.

さて,行列式のイメージが$n$次元の立体であるといっても,$n$次元を考えるのは難しいため実際に行列式$|A|$を定義するには置換を用いることがほとんどです.

この記事では,置換の考え方と性質を説明します.

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線形代数6|行列の正則性を判定できる行列式のイメージ

前回の記事までで,行列とベクトルの基本的な考え方について説明しました.

とくに前回の記事では

  • 正方行列$[\m{a}_1,\dots,\m{a}_n]$が正則
  • $\m{a}_1,\dots,\m{a}_n$が線形独立

が同値であることを示しました.

これまでは線形独立性を確認するために$[\m{a}_1,\dots,\m{a}_n]$を基本変形を施してランクを求めてきましたが,別のアプローチで線形独立性を確認する方法を考えましょう.

そこで便利なのが正方行列の行列式です.

正方行列$[\m{a}_1,\dots,\m{a}_n]$の行列式のイメージは$\m{a}_1,\dots,\m{a}_n$が張る$n$次元立体の体積ですが,学ぶ段階の問題としていきなり$n$次元で考えるのは難しいでしょう.

そこで,この記事では

  • 2次正方行列の行列式の定義とイメージ
  • 3次以上の正方行列の行列式のイメージ

について説明します.

なお,この記事では実数$\R$を中心に説明しますが,複素数$\C$など一般の体に対しても同様です.

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線形代数5|線形独立のイメージと線形独立性とランクの関係

行列に関して重要な量として,ランク(階数)がありました.

前々回の記事前回の記事では,ランクを考えることで

  • 正方行列が正則であるための条件
  • 連立1次方程式が解を持つための条件

などが分かることを説明しました.

前回の記事まではランク(階数)を基本変形によって考えてきましたが,ベクトルの線形独立という考え方をもとにしても考えることができます.

線形独立性はとても重要な概念で,線形代数学全体において頻繁に現れます.

この記事では

  • ベクトルの線形独立を定義し
  • 線形独立性と行列のランクの関係

を説明します.

なお,この記事では実数$\R$を中心に説明しますが,複素数$\C$など一般の体に対しても同様です.

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線形代数4|連立1次方程式が解をもつ条件と解の自由度

中学校以来よく扱ってきた$\m{x}$の連立1次方程式は,行列$A$とベクトル$\m{c}$を用いて$A\m{x}=\m{c}$と表すことができるのでした.

このことからも分かるように連立1次方程式は線形代数学と密接に関わっており,実際に線形代数学の基礎を理解する上で連立1次方程式を理解することは非常に重要です.

連立1次方程式$A\m{x}=\m{c}$は

  • 係数行列のランク$\rank{A}$
  • 拡大係数行列のランク$\rank{[A,\m{c}]}$

を比べることで,解をもつ条件を求めることができます.

この記事では,「係数行列」と「拡大係数行列」,行列の「ランク」について復習をしたのち,

  • 連立1次方程式が解をもつ条件
  • 解の自由度

を考えます.

なお,この記事では実数$\R$を中心に説明しますが,複素数$\C$など一般の体に対しても同様です.

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線形代数3|行列のランクと,行列が逆行列をもつための条件

0でない全ての実数は逆数を持ちますが,行列の場合は零行列でなくても正方行列が逆行列を持たないこともあります.

行列が逆行列を持つかどうかの判定する方法の1つに,行列のランクを求める方法があります.

行列のランクは前回の記事で考えた行列の基本変形に基づいて定義することができます.

この記事では行列の正則性(逆行列を持つかどうか)を調べることを目的としますが,ランクは行列を考える上で様々な場面に登場する大切な概念ですから,しっかり考え方を理解してください.

なお,この記事では実数$\R$を中心に説明しますが,複素数$\C$など一般の体に対しても同様です.

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線形代数2|連立1次方程式の掃き出し法と行列の基本変形

たとえば

    \begin{align*} \begin{cases}x+y+z=2\\x+2y+3z=4\end{cases} \end{align*}

のように,いくつかの1次方程式を同時に満たす複数の未知数に関する方程式を連立1次方程式といいます.

連立1次方程式の解法として加減法がありますが,加減法は行列を考えることによって本質的に全く同じことができ,この行列を用いた解法を掃き出し法といいます.

加減法は掃き出し法から自然に考えることのできる解法であるが,この掃き出し法を基にして線形代数の理論が組み立てられる重要な考え方です.

なお,この記事では実数$\R$を中心に説明しますが,複素数$\C$など一般の体に対しても同様です.

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線形代数1|行列の計算の基本!行列の積はなぜこうなる?

線形代数は行列ベクトルを用いて記述されます.

行列とベクトルは線形代数の最初にパッと定義されることが多く,「そういうもの」という程度の理解で曖昧なまま読み進めてしまうことも多いです.

行列は多変数の1次式を簡単に表すことができるというメリットがあります.

この記事では,このメリットを感じるために,最初に行列とベクトルのイメージを掴むところから説明します.

また,行列の積をどうしてそのように定義するのか理解に苦しむ人も多いのですが,これもイメージが掴めていると自然な発想に基づいている事が分かります.

なお,この記事では実数$\R$を中心に説明しますが,複素数$\C$など一般の体に対しても同様です.

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線形代数の初学者のための道案内|線形代数のイメージを知る

「線形代数学」は大学以降の数学の基盤になる基礎的な分野で,多くの理系大学生が1年生で習うことになります.

線形代数学は他のほとんどの数学の分野で使われると言ってもいいほど大切な分野なので,とくに理論系の学科の人はここでコケてしまうと2年生以降がかなり厳しくなってしまいます.

定義や定理を覚えることは大切ですが,理論の大枠のイメージを持っていれば丸覚えすることなく自然に理解して覚えることができます.

数学では定義や定理は抽象的に表されることが多いですが,その裏には「やりたいこと」があります.

この「やりたいこと」のイメージを理解しておかないと,一体何をやっているのか分らなくなってしまいます.数学は数式が先にあるのではなく,やりたいことが最初にありそれを表現するために数式を用いるだけです.

大学の学部の線形代数学は,理論系ならばJordan標準形あたりまでを学ぶことが多いです.

この記事では線形代数学の初学者のために,Jordan標準形あたりまでの線形代数学の全体像を見ていきます.

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