確率論

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積率母関数の微分可能性|$n$次モーメントが得られることの証明

実数値確率変数Xに対して,Xの積率母関数E[exp(tX)]のn階導関数に0を代入すると,Xのn次モーメントE[Xⁿ]が得られます.この記事では,この積率母関数とモーメントの関係をルベーグの収束定理を用いて証明します.
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中心極限定理を実感する|二項分布でシミュレートしてみた

中心極限定理は確率論や統計学で重要な定理で,「同じことを繰り返しているとトータルで見ると正規分布の振る舞いに近付く」という内容です.この記事では,二項分布をもとに中心極限定理がどういう定理かシミュレートします.
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一様可積分性の判定|十分条件と必要十分条件

例えば,極限と期待値の順序交換に関する[Vitaliの収束定理]は,一様可積分な確率変数列に対して成り立つ定理である.このように,確率変数列に関する一様可積分性は「良い性質」と言える.この記事では,一様可積分性の十分条件と必要十分条件を説明する.
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一様可積分とヴィタリの収束定理|ルベーグの収束定理の一般化

一様可積分性をもつ確率変数列は,積分と極限の順序交換に関する[Vitaliの収束定理]が成り立つ.[Vitaliの収束定理]は[Lebesgueの収束定理]とは違って優関数をとってこなくても適用できる点が大きなメリットである.
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確率変数の4つの収束|概収束,平均収束,確率収束,法則収束

確率変数列の収束には「概収束」「平均収束」「確率収束」「法則収束」の4つが基本的で,これらの間には強弱の差があります.この記事では,これら4つの収束について説明し,これらの収束の強弱を証明します.
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