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微分積分学一覧

ガウス積分はどうやって求める?|極座標変換による計算

不定積分\dint e^{-x^2}\,dxは多項式,三角関数,指数・対数といった初等関数で表せないことが知られていますが,広義積分

    \begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx \end{align*}

の値は計算することができます.

この広義積分はGauss(ガウス)積分Euler-Poisson(オイラー-ポアソン)積分などと呼ばれており,値が\sqrt{\pi}になることが知られています.

一般にf(x)=Ae^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}で定まる関数f(x)Gauss関数と呼ばれ,確率の分野では正規分布において本質的な関数です.

Gauss積分はA=1, 2\sigma^2=1, \mu=0の場合のGauss関数の実数全体での積分というわけですね.

この記事では,Gauss積分の値が\sqrt{\pi}になることを極座標変換を用いて計算します.

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ガンマ関数は階乗の一般化|定義と基本的性質

5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1のように,正整数nに対して「階乗n!」はn以下の全ての正整数の積を表します.

そこで実数や複素数に「階乗」を拡張するにはどのように考えればよいでしょうか?

結論から言えば,「階乗の一般化」として「\Gamma(ガンマ)関数」とよばれる関数があります.

積分で表される\Gamma関数は実数だけでなく,複素数に対しても定義できる場合もあり,様々な場面で用いられます.

この記事では,\Gamma関数の基礎を説明します.

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ガウス関数のフーリエ変換を実際に計算する

Fourie(フーリエ)変換は「関数を波の和で表す」という発想に基づいた変換であり,理工系の様々な分野で重宝されています.

G(x)=Ae^{-\eta x^2} (x\in\R)で定まる関数Gを(1次元の)Gauss(ガウス)関数(Gaussian/ガウシアン)いい,Gauss関数はFourier変換を施してもGauss関数であるという性質をもちます.

また,Gauss関数G(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}は確率・統計の分野では,平均\mu,分散\sigma^2の正規分布の確率密度関数としても有名ですね.

Fourier変換を数学的に定義するには,ある程度の条件(可積分性など)が必要で,具体的にはLebesgue可積分であるような関数にはFourier変換を定義することができます.

この記事ではGauss関数にFourier変換が定義できることを説明し,Gauss関数のFourier変換が再びGauss関数になることを計算により確かめます.

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ラグランジュの未定乗数法はどう使う?|直感的な理解と証明

例えば,

    \begin{align*} f(x,y)=x^2+3xy+y^2+1 \end{align*}

の最小値を求めたいとき,

    \begin{align*} \pd{f}{x}(a,b)=\pd{f}{y}(a,b)=0 \end{align*}

を満たす点(a,b)を求めることによって,f(x,y)が最小値をとる点の候補が得られます.

しかし,これが「x+y=1上でのf(x,y)=x^2+3xy+y^2+1の最小値を求めたい」といったように,xyに制約(この場合にはx+y=1)がかかると単純にfの偏導関数から最小値を求めることができません.

そこで,曲線や直線上といった「制約条件下」での関数の極値を求めるために,[Lagrange(ラグランジュ)の未定乗数法]があります.

この記事では,[Lagrangeの未定乗数法]の直感的な考え方を説明し,具体例から使い方をみます.

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微分積分学の基本定理とその証明|微分と積分の関係を導出

求積の方法として「積分」を定義する方法はいくつかあるが,最もシンプルな積分の定義に[Riemann(リーマン)積分]がある.

[Riemann積分]は関数の定義域Iを細かく分割して,長方形近似から(Riemann和を求めて)求積する方法である.

[Riemann積分]をこの定義から計算しようとすると,長方形近似から計算をしなければならず計算は面倒になる.

そこで,長方形近似を経由せずに積分を計算するための定理として[微分積分法の基本定理]がある.

なお,高校数学においては「微分の逆演算」として積分を定めるが,この定義によれば「微分積分学の定理」は明らかである.

しかし,連続でない関数に対してこの定義はうまくいかないので,主に連続関数を扱う高校数学ならではの定義となっている.

この記事の「積分」は,全て[Riemann積分]を指すものとする.

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