微分積分学

微分積分学の基本

微分積分学7|コーシー列の便利さ!収束列との関係と完備性

数列{aₙ}について,m,nを十分大きくすればaₙとa_mの誤差をどこまでも小さくできるとき,{aₙ}をコーシー列といいます.実数列ならコーシー列⇔収束列であり,このことから収束を簡単に示せる実数列があります.
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微分積分学6|ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理

「有界実数列は収束する部分列をもつ」という[ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理]は「縁の下の力持ち」という言葉がよく似合う定理です.この記事では区間縮小法により,この定理を証明します.
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微分積分学5|有理数の稠密性の証明は「アルキメデスの性質」から

有理数が実数(数直線)上に密に存在しているという性質を「有理数の集合の稠密性」といいます.この証明には「アルキメデスの性質」と呼ばれる実数の重要性質を用います.
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微分積分学4|単調有界実数列の収束定理で実数列の収束を証明する

一般に漸化式は解けるとは限らないので,漸化式を解かずに実数列{aₙ}の極限を求める方法があれば嬉しいですね.この記事では,単調収束定理を用いた実数列{aₙ}の極限の求め方を解説します.
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微分積分学3|実数列の3種類の発散の定義と証明の例題

実数列{aₙ}が収束しないとき{aₙ}は発散するといいますが,発散には「∞に発散」「-∞に発散」「振動」の3種類があります.この記事では,これらの定義を厳密に扱い,具体例から証明の考え方も説明します.
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拡大実数とは何か?|∞と-∞も実数の仲間と考えたい!

実数全体の集合ℝに∞と-∞を加えてできる集合ℝ∪{∞,-∞}を拡大実数といいます.この記事では,「拡大実数における演算」「拡大実数における順序」「拡大実数の応用例(上限性質)」を順に説明します.
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チェザロ平均(a₁+a₂+…+aₙ)/nの極限|ε-N論法の応用例

実数列{aₙ}がαに収束するとき,{aₙ}の初項から第n項までの平均(a₁+a₂+……+aₙ)/nの極限もαに収束します.この記事では,このことを数列の厳密な定義であるε-N論法を用いて証明します.
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微分積分学2|数列の収束の定義(ε-N論法)を例題から解説

高校数学では学ぶ数列の極限の定義は直感的で分かりやすいのですが,数学的には少々曖昧です.そこで,数列の極限を厳密に定義する方法として,この記事ではε-N論法をイメージから説明します.
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ガウス関数のフーリエ変換2|微分方程式を用いて計算する

平均0のガウス関数にはフーリエ変換を施してもガウス関数に戻るという性質があります.この記事では,1階線形常微分方程式の解法を説明したのち,微分方程式を解くことでガウス関数のフーリエ変換を求めます.
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コーシーの関数方程式|$f(x+y)=f(x)+f(y)$を満たす連続関数$f$

f(x)=axの形の関数fは等式f(x+y)=f(x)+f(y)を満たします.実はf(x+y)=f(x)+f(y)を満たす連続関数fはf(x)=axの形のものしかないことが証明できます.
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