微分積分学

微分積分学の基本

微分積分学2|数列の極限(ε-N論法)をイメージから解説

高校数学では学ぶ数列の極限の定義は直感的で分かりやすいのですが,数学的には少々曖昧です.そこで,数列の極限を厳密に定義する方法として,この記事ではε-N論法をイメージから説明します.
微分積分学

ガウス関数のフーリエ変換2|微分方程式を用いて計算する

平均0のガウス関数にはフーリエ変換を施してもガウス関数に戻るという性質があります.この記事では,1階線形常微分方程式の解法を説明したのち,微分方程式を解くことでガウス関数のフーリエ変換を求めます.
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コーシーの関数方程式|$f(x+y)=f(x)+f(y)$を満たす連続関数$f$

f(x)=axの形の関数fは等式f(x+y)=f(x)+f(y)を満たします.実はf(x+y)=f(x)+f(y)を満たす連続関数fはf(x)=axの形のものしかないことが証明できます.
微分積分学の基本

微分積分学1|最大・最小より便利な上限・下限

例えば,「5未満の実数全部の集合」には最大値は存在しませんが,「5は最大っぽい値」という気持ちはありますね,そこで,「最大値もしくは最大っぽい値」を併せて上限といい,数学では頻繁に用いられます.同様に下限も定義されます.この記事では,上限とか下限の定義と基本性質を説明しています.
微分積分学

実数はどう定義される?|実数の連続性公理から理解する

実数を定義するには[実数の連続性公理]と呼ばれる性質がカギとなります.[実数の連続性公理]はいくつかの同値な表し方があり,この記事ではその中でもメジャーな[上限性質]を説明し,実数の正確な定義を説明します.
微分積分学

チェザロ総和|普通の意味では収束しない級数を収束させたい

1と-1を交互に足し続ける級数1-1+1-1+1-1+……は部分和が1と0を繰り返すので、普通の意味では収束しない級数です.しかし,チェザロ総和という考え方のもとでは1/2に総和可能であるということができます.この記事では,チェザロ総和の考え方とチェザロ総和可能な数列を考えます.
微分積分学

単調有界実数列の収束定理|具体例から使い方をみる

「上に有界な広義単調増加する数列は収束する」という[単調有界数列の収束定理]は微分積分学の基本的な定理です.数列の極限を調べるとき収束するか発散するかを考えることは大切で,[単調有界数列の収束定理]は収束を示す基本的な定理です.
微分積分学

上極限と下極限のイメージ|具体例から定義と性質を理解する

数列の極限は存在しないことがありますが,極限の一歩手前のものとして「上極限」と「下極限」があり,これらはいつでも存在します.数列において「上極限と下極限が一致すること」と「極限が存在すること」が同値であることはとても大切です.
微分積分学

ガウス積分はどう求める?|極座標変換のヤコビアンが嬉しい計算

[ガウス積分]は数学や物理においてよく現れます.[ガウス積分]は不定積分なら計算が難しいところですが,定積分がゆえに計算することができます.この記事では,ガウス積分を極座標変換を用いて求めます.
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ガンマ関数は階乗の一般化|定義と基本的性質を解説!

「Γ(ガンマ)関数」はΓ(n+1)=n!を満たすことから「階乗の一般化」と言われます.しかし,今ではガンマ関数は階乗から離れて数学の様々な場面に登場する重要な関数です.この記事では,ガンマ関数の定義と基本的性質を説明します.
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