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微分積分学一覧

ガウス積分はどうやって求める?|極座標変換による計算

不定積分$\dint e^{-x^2}\,dx$は多項式,三角関数,指数・対数といった初等関数で表せないことが知られていますが,広義積分

    \begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx \end{align*}

の値は計算することができます.

この広義積分はGauss(ガウス)積分Euler-Poisson(オイラー-ポアソン)積分などと呼ばれており,値が$\sqrt{\pi}$になることが知られています.

一般に$f(x)=Ae^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}$で定まる関数$f(x)$はGauss関数と呼ばれ,確率の分野では正規分布において本質的な関数です.

Gauss積分は$A=1$, $2\sigma^2=1$, $\mu=0$の場合のGauss関数の実数全体での積分というわけですね.

この記事では,Gauss積分の値が$\sqrt{\pi}$になることを極座標変換を用いて計算します.

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ガンマ関数は階乗の一般化|定義と基本的性質

$5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1$のように,正整数$n$に対して「階乗$n!$」は$n$以下の全ての正整数の積を表します.

そこで実数や複素数に「階乗」を拡張するにはどのように考えればよいでしょうか?

結論から言えば,「階乗の一般化」として「$\Gamma$(ガンマ)関数」とよばれる関数があります.

積分で表される$\Gamma$関数は実数だけでなく,複素数に対しても定義できる場合もあり,様々な場面で用いられます.

この記事では,$\Gamma$関数の基礎を説明します.

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ガウス関数のフーリエ変換を実際に計算する

Fourie(フーリエ)変換は「関数を波の和で表す」という発想に基づいた変換であり,理工系の様々な分野で重宝されています.

$G(x)=Ae^{-\eta x^2}$ ($x\in\R$)で定まる関数$G$を(1次元の)Gauss(ガウス)関数(Gaussian/ガウシアン)いい,Gauss関数はFourier変換を施してもGauss関数であるという性質をもちます.

また,Gauss関数$G(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$は確率・統計の分野では,平均$\mu$,分散$\sigma^2$の正規分布の確率密度関数としても有名ですね.

Fourier変換を数学的に定義するには,ある程度の条件(可積分性など)が必要で,具体的にはLebesgue可積分であるような関数にはFourier変換を定義することができます.

この記事ではGauss関数にFourier変換が定義できることを説明し,Gauss関数のFourier変換が再びGauss関数になることを計算により確かめます.

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ラグランジュの未定乗数法はどう使う?|直感的な理解と証明

例えば,

    \begin{align*} f(x,y)=x^2+3xy+y^2+1 \end{align*}

の最小値を求めたいとき,

    \begin{align*} \pd{f}{x}(a,b)=\pd{f}{y}(a,b)=0 \end{align*}

を満たす点$(a,b)$を求めることによって,$f(x,y)$が最小値をとる点の候補が得られます.

しかし,これが「$x+y=1$上での$f(x,y)=x^2+3xy+y^2+1$の最小値を求めたい」といったように,$x$と$y$に制約(この場合には$x+y=1$)がかかると単純に$f$の偏導関数から最小値を求めることができません.

そこで,曲線や直線上といった「制約条件下」での関数の極値を求めるために,[Lagrange(ラグランジュ)の未定乗数法]があります.

この記事では,[Lagrangeの未定乗数法]の直感的な考え方を説明し,具体例から使い方をみます.

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微分積分学の基本定理とその証明|微分と積分の関係を導出

求積の方法として「積分」を定義する方法はいくつかありますが,最もシンプルな積分の定義にRiemann(リーマン)積分でしょう.

Riemann積分は関数の定義域$I$を細かく分割して,長方形近似から(Riemann和を求めて)求積する方法です.

しかし,実際にRiemann積分を定義から計算しようとすると,Riemann和を求める必要があり計算は面倒です.

そこで,長方形近似を経由せずに簡単に積分を計算する方法が欲しいわけですが,[微分積分法の基本定理]を用いることでRiemann積分は簡単に計算することができます.

なお,高校数学においては「微分の逆演算」として積分を定めるため,この定義によれば[微分積分学の定理]は明らかです.

しかし,連続でない関数に対してこの定義はうまくなく,主に連続関数を扱う高校数学ならではの定義となっています.

この記事では,[微分積分学の基本定理]について説明します.

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