微分積分学

以下は微分積分学に関する記事です.

微分積分学の基本

数列

微分法と積分法

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微分積分学

偏微分の順序交換可能な条件と具体例|不可能な具体例も紹介

2実変数x,yの実数値関数fの偏導関数のうち,∂²f/∂x∂yと∂²f/∂y∂xは多くの場合で等しくなります.この記事では,これらの偏導関数が等しくなる条件と,∂²f/∂x∂y(a,b)≠∂²f/∂y∂x(a,b)となる具体例を紹介します.
微分積分学の基本

微分積分学7|コーシー列の便利さ!収束列との関係と完備性

数列{aₙ}について,m,nを十分大きくすればaₙとa_mの誤差をどこまでも小さくできるとき,{aₙ}をコーシー列といいます.実数列ならコーシー列⇔収束列であり,このことから収束を簡単に示せる実数列があります.
微分積分学の基本

ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理|区間縮小法による証明

「有界実数列は収束する部分列をもつ」というボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理は「縁の下の力持ち」という言葉がよく似合う定理です.この記事では区間縮小法により,この定理を証明します.
微分積分学の基本

有理数の稠密性|実数の「アルキメデスの性質」から証明する

有理数が実数(数直線)上に密に存在しているという性質を「有理数の集合の稠密性」といいます.この証明には「アルキメデスの性質」と呼ばれる実数の重要性質を用います.
微分積分学の基本

単調有界実数列の収束定理|漸化式を解かずに極限を求める方法

一般に漸化式は解けるとは限らないので,漸化式を解かずに実数列{aₙ}の極限を求める方法があれば嬉しいですね.この記事では,単調収束定理を用いた実数列{aₙ}の極限の求め方を解説します.
微分積分学の基本

収束しない実数列|実数列の3種類の発散と証明の例題

実数列{aₙ}が収束しないとき{aₙ}は発散するといいますが,発散には「∞に発散」「-∞に発散」「振動」の3種類があります.この記事では,これらの定義を厳密に扱い,具体例から証明の考え方も説明します.
微分積分学

拡大実数とは何か?|∞と-∞も実数の仲間と考えたい話

実数全体の集合ℝに∞と-∞を加えてできる集合ℝ∪{∞,-∞}を拡大実数といいます.この記事では,「拡大実数における演算」「拡大実数における順序」「拡大実数の応用例(上限性質)」を順に説明します.
微分積分学

チェザロ平均(a₁+a₂+…+aₙ)/nの極限|ε-N論法の応用例

実数列{aₙ}がαに収束するとき,{aₙ}の初項から第n項までの平均(a₁+a₂+……+aₙ)/nの極限もαに収束します.この記事では,このことを数列の厳密な定義であるε-N論法を用いて証明します.
微分積分学の基本

数列の収束の定義(ε-N論法)|例題から考え方を理解しよう

高校数学では学ぶ数列の極限の定義は直感的で分かりやすいのですが,数学的には少々曖昧です.そこで,数列の極限を厳密に定義する方法として,この記事ではε-N論法をイメージから説明します.
微分積分学

ガウス関数のフーリエ変換2|微分方程式を用いて計算する

平均0のガウス関数にはフーリエ変換を施してもガウス関数に戻るという性質があります.この記事では,1階線形常微分方程式の解法を説明したのち,微分方程式を解くことでガウス関数のフーリエ変換を求めます.
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