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シュレディンガー方程式のストリッカーツ評価の導出

2018/2/17 2019/12/16 微分方程式

この記事ではSchrödinger(シュレディンガー)方程式に関して，非常に重要な役割を果たすStrichartz評価とその証明を解説する．

Strichartz(ストリッカーツ)評価は，波動方程式に関する不等式評価であるStrichartz-Brenner評価に対応し，歴史的にはStrichartz-Brenner評価の方が古い．

Strichartz評価の証明のためには，「自由Schrödinger発展作用素 $e^{it\Delta}$ の分散型評価(分散評価)」と「Hardy-Littlewood-Sobolervの不等式」を用いることになる．

なお，自由Schrödinger発展作用素 $e^{it\Delta}$ は，初期値 $u_0$ に対して自由Schrödinger方程式

$\begin{align*} i\partial_t{u}+\Delta{u}=0 \end{align*}$

の解 $e^{it\Delta}u_0$ を表す作用素 $e^{it\Delta}$ のことである．

【自由シュレディンガー方程式の解の性質】

非線形項が0の線形Schrödinger方程式を自由Schrödinger方程式という．適切な初期値 $u_0$ (たとえば $u_0\in\mathcal{S}(\R^N)$ )のもとで，自由Schrödinger方程式の解をもち，これを $e^{it\Delta}u_0$ と表す．

自由シュレディンガー方程式の解の性質

2017/6/3 2019/12/15 微分方程式

自由Schrödinger(シュレディンガー)方程式の初期値問題

$\begin{align*} \begin{cases} i\partial_{t}u(t,x)+\Delta_x u(t,x)=0& (t,x)\in\R\times\R^N\\ u(0,x)=u_0(x)& x\in\R^N \end{cases} \end{align*}$

を考える．ここに， $i$ は虚数単位， $\partial_{t}=\frac{\partial}{\partial t}$ , $\Delta_x=\sum_{i=1}^N\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}$ である．

自由Schrödinger方程式の初期値問題の解 $u$ は，[Stoneの定理]を用いて $u(t,x)=e^{it\Delta}u_0(x)$ と表すことができ，この $e^{it\Delta}$ を自由Schrödinger発展作用素という．

この記事では，自由Schrödinger発展作用素 $e^{it\Delta}$ の基本性質について説明する．

ただし，本稿ではFourier変換 $\mathcal{F}$ ，逆Fourier変換 $\mathcal{F}^{-1}$ をそれぞれ次で定義する：

$\begin{align*} &\hat{u}(\xi)=\mathcal{F}_{x}[u](\xi)=\frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\dint_{\R^N}e^{-ix\cdot\xi}u(x)\,dx, \\&\check{u}(x)=\mathcal{F}_{\xi}^{-1}[u](x)=\frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\dint_{\R^N}e^{ix\cdot\xi}u(\xi)\,d\xi \end{align*}$