微分方程式

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ピカール-リンデレフの定理|常微分方程式の解の一意存在性

常微分方程式の初期値問題の解の存在と一意性に関する重要定理としてピカール-リンデレフの定理があります.この記事では,ピカール-リンデレフの定理がどのような定理かを説明し,この定理を証明します.
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シュレディンガー方程式の質量とエネルギー|保存則の証明

偏微分方程式の解が保存量を持つことはよくあり,それら保存量は偏微分方程式の解析で重要な手がかりとなります.この記事では,非線形シュレディンガー方程式の解uの質量MとエネルギーEが保存されることを説明します.
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解は存在するが一意でない|常微分方程式の具体例

数学では「微分方程式に解が存在するか,解が存在すれば一意か」を考えることはよくあります.解の存在定理として「ペアノの存在定理」「ピカール - リンデレフの定理」が重要で,この記事ではこれらの定理をふまえて解が一意ではない微分方程式の具体例を紹介します.
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LaX-Milgramの定理|偏微分方程式の弱解の存在と一意性のために

偏微分方程式の解の存在と一意性は微分方程式の分野では非常に重要な話題です.そこで,解を少し広く考えた弱解の存在と一意性を議論することがよくあり,この弱解の存在と一意性を示すために有用な定理としてLax-Milgramの定理があります.
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ストリッカーツ評価|シュレディンガー方程式の分散性を表す評価

シュレディンガー方程式を考える上では,基本解に関する積分作用素の有界性を与える[ストリッカーツ評価]は非常に重要です.[ストリッカーツ評価]は[LpLq評価]を用いることで導出することができます.
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ピカールの逐次近似法|常微分方程式の解を構成する方法

常微分方程式の解き方はさまざまなパターンで考えられていますが,常微分方程式がよく知られた形をしていない場合にも,ピカールの逐次近似法という手法を用いることで解が得られる場合があります.この記事では,具体例を用いてピカールの逐次近似法を説明します.
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バナッハの不動点定理(縮小写像の原理)|証明と応用例も紹介

バナッハの不動点定理(縮小写像の原理)とは「完備距離空間上の縮小写像は唯一つの不動点をもつ」という不動点定理の1つです.この記事では,距離空間,完備距離空間,縮小写像の定義を確認したのち,バナッハの不動点定理を証明します.
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シュレディンガー方程式の分散性|基本解のLpLq評価の導出

シュレディンガー方程式の基本解に関してLpLq評価という基本的な不等式があります.LpLq評価はシュレディンガー方程式を考える上で重要なストリッカーツ評価のベースとなります.
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線形シュレディンガー方程式の基本解とユニタリ群

非線形項が0のシュレディンガー方程式の初期値問題の解は,自由シュレディンガー発展作用素によって表される.この記事では,自由シュレディンガー発展作用素の基本性質として,LpLqノルムの評価式を導出する
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