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微分方程式一覧

シュレディンガー方程式のストリッカーツ評価の導出

前回の記事では,初期値$u_0=u(0,x)$に対する自由Schrödinger方程式

    \begin{align*} i\partial_t{u}(t,x)+\Delta u(t,x)=0 \end{align*}

の解$u=e^{it\Delta}u_0$について成り立つ[$L^pL^q$評価]を示しました.

この記事では,Schrödinger(シュレディンガー)方程式を考える際に重要な不等式である[Strichartz(ストリッカーツ)評価]を説明します.

[$L^pL^q$評価]は端点の場合を示し,間の組$(p,q)$に対しては補間定理を用いることで示すことができるのでした.

なお,Schrödinger方程式の[Strichartz評価]は,歴史的にはより古い波動方程式に関する[Strichartz-Brenner評価]に対応します.

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常微分方程式の解の存在と一意性|逐次近似法のイメージ

例えば,初期条件$x(0)=x_0$を満たす常微分方程式

    \begin{align*} \od{x}{t}(t)=-tx(t) \end{align*}

は適切な定義域において解をただ1つもちます.

このことは[Picard(ピカール)-Lindelöf(リンデレフ)の定理]により示されます.

この[Picard–Lindelöfの定理]は常微分方程式の解を帰納的に近似していく方法により証明されますが,この近似の方法を[Picardの逐次近似法]といいます.

この記事では

  • [Picardの逐次近似法]の具体例
  • [Picard-Lindelöfの定理]の内容と証明

の2つを説明します.

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シュレディンガー方程式の基本解の[LpLq評価]の導出

この記事では,Schrödinger(シュレディンガー)方程式の基本解に関して基本的な評価式である[$L^pL^q$評価]を説明します.

Schrödinger方程式の基本解とは,大雑把には初期値$u_0=u(0,x)$に対する自由Schrödinger方程式

    \begin{align*} i\partial_t{u}(t,x)+\Delta u(t,x)=0 \end{align*}

の解$u$のことで,$u,u_0\in\mathcal{S}(\R^d)$のとき解は$u=e^{it\Delta}u_0$と表すことができます.

Schrödinger方程式の[$L^pL^q$評価]は$\|e^{it\Delta}u_0\|_{L^{p}(\R^{d})}$を$\|u_0\|_{L^{q}(\R^{d})}$で上から評価する不等式です.

Schrödinger方程式に関する重要な評価式である[Strichartz(ストリッカーツ)評価]のベースとなります.

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自由シュレディンガー方程式の基本解とユニタリ群

自由Schrödinger(シュレディンガー)方程式とは,線形の偏微分方程式

    \begin{align*} i\partial_{t}u(t,x)+\Delta u(t,x)=0 \end{align*}

のことで,非線形Schrödinger方程式を考える際にも基本となる方程式です.

ここに

  • $i$は虚数単位
  • $\partial_{t}=\frac{\partial}{\partial t}$
  • $\Delta=\sum_{i=1}^N\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}$

です.

自由Schrödinger方程式の初期値問題の解$u$は,[Stoneの定理]を用いて$u(t,x)=e^{it\Delta}u_0(x)$と表すことができ,この$e^{it\Delta}$を自由Schrödinger発展作用素といいます.

[Stoneの定理]を用いるためには,自由Schrödinger発展作用素$e^{it\Delta}$が強連続ユニタリ群であることを述べる必要があり,そのためにこの記事では自由Schrödinger(シュレディンガー)方程式の解を考えます.

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