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線形代数学
線形代数学の基本
行列と数ベクトル
- 1. 線形代数の「行列」とは何か？中学の比例から考え方を解説
- 2. 行列・ベクトルの計算の基本｜積はどうしてこの形になるのか？
- 3. 連立１次方程式の掃き出し法｜行列の行基本変形の考え方
- 4. 正則行列の定義・具体例｜逆行列を使った連立１次方程式の解法
- 5. 行列の正則条件を簡単に！AB=IまたはBA=Iであれば正則
- 6. 行列のランク｜逆行列をもつための条件・逆行列の求め方を解説
- 7. 連立１次方程式とランクの関係｜解をもつ条件・解の自由度
- 8. 線形独立性の考え方を例題から解説｜ランクとの関係も解説
行列式
- 9. 行列式の図形的イメージ｜正則性が判定できる行列式の考え方
- 10. 行列式のために置換を定義する｜代数学でも重要な置換の基礎
- 11. 行列式の定義と具体例｜置換の符号（偶置換・奇置換）から解説
- 12. 行列式の基本性質を総まとめ！計算の具体例も紹介します
- 13. 余因子展開｜行列式による正則条件を具体例とともに解説
$\R^n$の部分空間
- 14. 数ベクトル空間の部分空間の定義｜証明のテンプレも例題から解説
- 15. 数ベクトル空間の基底｜定義・考え方を具体例から丁寧に解説
- 16. ℝⁿの部分空間の次元｜基底を求める方法を具体例から解説
- 17. ℝⁿ上のspanされる（生成される）部分空間の基底・次元の求め方
- 18. 行列Aの像Im(A)の定義・考え方｜求め方を例題から理解する
- 19. 行列Aの核Ker(A)の定義・考え方｜求め方を例題から理解する
- 20. ℝⁿの部分空間の共通部分｜基底・次元の求め方を例題から解説
- 21. ℝⁿの部分空間の和空間｜基底と次元の求め方を例題から解説
- 22. ℝⁿの部分空間の直和の定義と例題｜和空間の次元の公式も紹介
対角化と固有値・固有ベクトル
- 23. 正方行列の対角化と応用例｜固有値・固有ベクトルの定義も解説
- 24. 固有値・固有ベクトルの求め方｜固有方程式から２ステップで！
- 25. 対角化の基本定理｜正方行列の固有値の個数と対角化可能性
- 26. 固有空間と正方行列の対角化｜対角化可能性の必要十分条件
線形空間の基本
- 1. 線形空間（ベクトル空間）の定義｜多項式・数列の例も紹介
- 2. 線形部分空間の定義｜証明のテンプレートも例題に沿って紹介
- 3. 線形結合・線形独立性の定義と例題｜ベクトルたちの線形関係
- 4. 生成（span）される線形部分空間｜具体例から考え方を解説
- 5. 線形空間の基底の定義・基本性質｜証明のテンプレートも紹介
その他の線形代数の記事
- クラメールの公式｜連立１次方程式の解を求める便利な定理
- フロベニウスの定理を例題から解説｜正方行列と多項式と固有値
- ペロン・フロベニウスの定理｜成分が正の行列の最大固有値の性質
- 特異値分解（SVD）による低ランク近似｜画像圧縮への応用
微分積分学
微分積分学の基本
- 1. 上限supと下限inf｜最大値max・最小値minより便利なヤツら
- 2. 数列の収束の定義（ε-N論法）｜例題から考え方を理解しよう
- 3. 収束しない実数列｜実数列の３種類の発散と証明の例題
- 4. 単調有界実数列の収束定理｜漸化式を解かずに極限を求める方法
- 5. 有理数の稠密性｜実数の「アルキメデスの性質」から証明する
- 6. ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理｜区間縮小法による証明
- 7. コーシー列の便利さ｜収束列との関係と実数の集合ℝの完備性
数列
- 上極限と下極限のイメージ｜具体例から定義と性質を理解する
- チェザロ平均(a₁+a₂+…+aₙ)/nの極限｜ε-N論法の応用例
- チェザロ総和｜普通の意味では収束しない級数を収束させたい
- 交項級数の定義と性質｜正負の項が交互に並ぶ級数の収束性
微分法と積分法
- 偏微分の順序交換可能な条件と具体例｜不可能な具体例も紹介
- ラグランジュの未定乗数法｜直感的に当たり前になる考え方
- ガウス関数のフーリエ変換１｜コーシーの積分定理から計算する
- ガウス関数のフーリエ変換２｜微分方程式を用いて計算する
- ガウス積分はどうやって求める？｜極座標変換による計算
- 微分積分学の基本定理とその証明｜微分と積分の関係を導出
- 階乗の一般化のガンマ関数（Γ関数）を解説｜定義と基本性質
- 1/xᵖの２種類の広義積分｜収束・発散するためのpの条件
複素解析
複素解析の基本
- 1. 複素関数とは何か？グラフを複素平面上に図示する方法も解説
- 2. 複素関数の微分の考え方｜正則関数の定義・重要定理も紹介
- 3. 複素積分の定義と例題｜複素平面上での積分の考え方と計算方法
- 4. コーシーの積分定理を例題から解説｜積分経路の変形への応用も
- 5. コーシーの積分公式の直感的な考え方｜コーシーの積分定理から
- 6. 正則関数のテイラー展開｜コーシーの積分公式の重要な応用
- 7. ローラン展開はテイラー展開の進化形！留数定理の一歩前
- 8. 留数定理による広義積分の計算｜例題から使い方・考え方を解説
ベクトル解析
測度論
- 可測空間と測度空間｜直感的な考え方で定義・具体例を解説
- 「ほとんど至る所」の定義・具体例・応用｜測度空間の零集合
- 測度の単調収束定理｜単調増大列・単調減少列の集合の測度
- フビニの定理，トネリの定理，フビニ・トネリの定理のまとめ
- ルベーグ非可測集合の具体例｜「ヴィタリ集合」の定義と存在
ルベーグ積分の基本
ルベーグ測度
- 1. 外測度はルベーグ積分の第１歩！「集合の長さ」を測る方法
- 2. ルベーグ外測度の５性質｜証明とルベーグ測度との違いも紹介
- 3. ルベーグ可測集合の定義と具体例｜ルベーグ測度の定義のために
- 4. ルベーグ可測集合は完全加法族｜和集合・共通部分の可測性
- 5. 区間・開集合・閉集合のルベーグ可測性とボレル集合族の定義
- 6. ルベーグ測度の本質的に重要な４性質｜完全加法性などを証明
ルベーグ積分の定義
- 7. ルベーグ可測関数の定義と具体例｜必要十分条件も２つ紹介
- 8. 線形結合・絶対値・連続関数などのルベーグ可測性を証明
- 9. 単関数のルベーグ積分｜具体例を通して考え方を理解しよう
- 10. 単関数近似定理｜ルベーグ可測関数fを単関数列{fₙ}で近似する
- 11. ルベーグ積分の定義｜単関数による近似を踏まえて定義する
ルベーグ積分の性質
- 12. 非負値関数のルベーグ積分｜基礎となる基本性質を証明する
- 13. 単関数列の項別積分定理｜直感的な考え方・応用・証明を解説
- 14. ルベーグの単調収束定理の例題と証明｜ルベーグ積分の重要定理
- 15. ファトゥの補題の使い方を例題から解説｜ルベーグ積分と下極限
- 16. ルベーグの収束定理を例題から理解する｜証明・考え方を解説
- 17. ルベーグ積分はリーマン積分の拡張｜証明と計算の例題を解説
確率論
- 積率母関数が微分できて$n$次モーメントが得られることの証明
- 確率変数の４つの収束｜概収束，平均収束，確率収束，法則収束
- 一様可積分とヴィタリの収束定理｜ルベーグの収束定理の一般化
- 確率変数列の一様可積分性の判定｜十分条件と必要十分条件
- 中心極限定理を実感する｜二項分布でシミュレートしてみた
関数解析
- ストーンの定理｜強連続ユニタリ群になるための必要十分条件
- リース-トーリンの複素補間定理｜線形作用素$L^p\to L^q$の有界性を示す
- 双対性議論(duality argument)について
- 弱$L^p$有界性とマルチンキーヴィッツの実補間定理
- バナッハ空間とヒルベルト空間の完備でない部分空間の例
関数空間
ルベーグ空間
- 1. 本質的有界な可測関数｜本質的上限(ess sup)・下限(ess inf)
- 2. 本質的有界な関数のルベーグ空間$L^\infty$｜ノルム空間として定義
- 3. ヘルダーの不等式の証明・応用｜ルベーグ積分の基本不等式
- 4. ミンコフスキーの不等式と証明｜便利な積分形も併せて紹介
- 5. ルベーグ空間（$L^p$空間）｜ルベーグ積分に関するノルム・内積
微分方程式
常微分方程式
- バナッハの不動点定理（縮小写像の原理）｜証明と応用例も紹介
- ピカールの逐次近似法｜常微分方程式の解を構成する方法
- ピカール-リンデレフの定理常微分方程式の解の一意存在性
- 解は存在するが一意でない常微分方程式の具体例を考える
偏微分方程式
シュレディンガー方程式
- 線形シュレディンガー方程式｜基本解と解作用素のユニタリ群
- シュレディンガー方程式の分散性｜基本解の$L^pL^q$評価の導出
- ストリッカーツ評価｜シュレディンガー方程式の分散性評価
- シュレディンガー方程式の質量保存，エネルギー保存の証明
代数学
群論の基礎
集合論・位相空間論
集合論
- 関数の表し方｜“$f$”と“$f(x)$”で意味はどう違う？
- ベクトル空間の基底とハメル基底の存在の証明
- ハメル基底と$f(x+y)=f(x)+f(y)$をみたす関数
- 無理数は有理数よりも多い？｜対角線論法による濃度差の証明
- well-definedを理解する｜三角比の定義を具体例に考える
位相空間論
連結性
統計学
データの記述
- 統計学の基礎｜データの「真ん中」を表す平均値・中央値
- データの分散・標準偏差｜統計学で「ばらつき」を表す方法
- 共分散から相関の正負が分かる！考え方から定義を理解する
- 相関係数ρは相関の強さを表す統計量！定義と考え方を解説
重要な確率分布
離散型
- 一様分布$\mrm{Uni}(\{1,2,\dots,n\})$の期待値・分散・確率母関数を計算する
- ベルヌーイ分布$\mrm{Ber}(p)$の定義・具体例｜期待値・分散・確率母関数も計算
- 二項分布$\mrm{Bin}(n,p)$と反復試行の確率｜平均・分散・確率母関数も計算
- 幾何分布$\mrm{Geo}(p)$の期待値・分散・確率母関数｜初成功までの失敗回数
- 負の二項分布$\mrm{NB}(r,p)$の期待値・分散を計算する｜名前の由来も解説
- ポアソン分布$\mrm{Po}(\lambda)$の期待値・分散・母関数を定義から計算する
連続型
- 連続型一様分布（準備中）
- 正規分布（準備中）
- カイ二乗分布（準備中）
- $t$分布（準備中）
- $F$分布（準備中）
- 指数分布（準備中）
- ガンマ分布（準備中）
- ベータ分布（準備中）
確率変数の性質
回帰直線
推定
LaTeX
TikZ
- LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方１｜基本的な描線
- LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方２｜線のスタイル
- LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方３｜グラフの描き方
- LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方４｜座標の定義と計算
- LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方５｜領域に色を塗る