線形代数６｜行列の正則性を判定できる行列式のイメージ

2020/6/25 書評

前回の記事までで，行列とベクトルの基本的な考え方について説明しました．

とくに前回の記事では，正方行列 $[\m{a}_1,\dots,\m{a}_n]$ が正則であることと， $\m{a}_1,\dots,\m{a}_n$ が線形独立であることを示しました．

これまでは線形独立性を確認するために $[\m{a}_1,\dots,\m{a}_n]$ を基本変形を施してランクを求めてきましたが，別のアプローチで線形独立性を確認する方法を考えましょう．

そこで便利なのが正方行列の行列式です．

正方行列 $[\m{a}_1,\dots,\m{a}_n]$ の行列式のイメージは $\m{a}_1,\dots,\m{a}_n$ が張る $n$ 次元立体の体積ですが，学ぶ段階の問題としていきなり $n$ 次元で考えるのは難しいでしょう．

そこで，この記事では

２次正方行列の行列式の定義とイメージ
一般の $n$ 次正方行列の行列式のイメージ

について説明します．

なお，この記事では実数 $\R$ を中心に説明しますが，複素数 $\C$ など一般の体に対しても同様です．

一連の記事はこちら

【線形代数の初学者のための道案内｜線形代数のイメージを知る】
【線形代数１｜行列の積の定義はどうしてこうなる？】
【線形代数２｜連立１次方程式の掃き出し法と行列の基本変形】
【線形代数３｜行列のランクと，行列が逆行列をもつための条件】
【線形代数４｜連立１次方程式が解をもつ条件と解の自由度】
【線形代数５｜線形独立のイメージと線形独立であるための条件】
【線形代数６｜正方行列の正則性を判定できる行列式のイメージ】←今の記事

線形代数５｜線形独立のイメージと線形独立性とランクの関係

2020/6/22 2020/6/25 線形代数学

行列に関して重要な量として，ランク(階数)がありました．

ランクを考えることで

正方行列が正則であるための条件
連立１次方程式が解を持つための条件

などが分かるのでした．

前回の記事まででは，このランク(階数)は基本変形によって考えてきましたが，ベクトルの線形独立という考え方をもとにしても考えることができます．

線形独立性はとても重要な概念で，線形代数学全体において頻繁に現れます．

この記事では

ベクトルの線形独立を定義し
線形独立性と行列のランクの関係

を説明します．

なお，この記事では実数 $\R$ を中心に説明しますが，複素数 $\C$ など一般の体に対しても同様です．

一連の記事はこちら

【線形代数の初学者のための道案内｜線形代数のイメージを知る】
【線形代数１｜行列の積の定義はどうしてこうなる？】
【線形代数２｜連立１次方程式の掃き出し法と行列の基本変形】
【線形代数３｜行列のランクと，行列が逆行列をもつための条件】
【線形代数４｜連立１次方程式が解をもつ条件と解の自由度】
【線形代数５｜線形独立のイメージと線形独立であるための条件】←今の記事
【線形代数６｜正方行列の正則性を判定できる行列式のイメージ】

最小二乗法から求めた回帰直線の性質と決定係数の意味

2020/5/30 2020/6/9 統計学

例えば「気温」と「アイスの売り上げ」のような２つのデータの関係を散布図に表し，その関係を「それっぽい直線や曲線」で表すことを回帰分析というのでした．

また，回帰分析における「それっぽい直線」のことを回帰直線といい，回帰分析を行う際には最小二乗法がよく使われます．

この最小二乗法を用いた回帰直線の求め方については以前の記事で説明しました．

この記事では，回帰直線が満たす性質を考え，回帰直線がどれくらい「それっぽいか」を表す決定係数について説明します．

なお，回帰直線の求め方については，以下の記事を参照してください．

【回帰分析の目的｜最小二乗法から回帰直線を求める方法】

最小二乗法による回帰直線の求め方を考え方から説明しています．計算が分からなくてもイメージを掴めるように，最初はできるだけ式を使わずに丁寧に説明しています．

シュレディンガー方程式のストリッカーツ評価の導出

2020/5/20 2020/6/29 微分方程式

前回の記事では，初期値 $u_0=u(0,x)$ に対する自由Schrödinger方程式

$\begin{align*} i\partial_t{u}(t,x)+\Delta u(t,x)=0 \end{align*}$

の解 $u=e^{it\Delta}u_0$ について成り立つ[ $L^pL^q$ 評価]を示しました．

この記事では，Schrödinger(シュレディンガー)方程式を考える際に重要な不等式である[Strichartz(ストリッカーツ)評価]を説明します．

[ $L^pL^q$ 評価]は端点の場合を示し，間の組 $(p,q)$ に対しては補間定理を用いることで示すことができるのでした．

なお，Schrödinger方程式の[Strichartz評価]は，歴史的にはより古い波動方程式に関する[Strichartz-Brenner評価]に対応します．

一連の記事はこちら

【自由シュレディンガー方程式の基本解とユニタリ群】
【シュレディンガー方程式の基本解の[LpLq評価]の導出】
【シュレディンガー方程式のストリッカーツ評価の導出】←今の記事

LaTeXコマンド集４｜括弧の種類と大きさを変える方法

2020/5/17 2020/5/19 コマンド

括弧かっこのLaTeXコマンドを紹介します．

数学においては様々な括弧が用いられますが，括弧の中身によって適切な大きさの括弧は変わりますね．

LaTeXには，中身に合わせて自動で適切な括弧の大きさに変化させることができるコマンドがあります．

なお，本稿では以下のように３つのパッケージ

amsmath.sty
amsfonts.sty
amssymb.sty

を用います．

\documentclass{jsarticle}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}

\begin{document}

\end{document}

\documentclass{jsarticle}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}

\begin{document}

\end{document}

一連の記事はこちら

【LaTeXコマンド集１｜ギリシャ文字の入力と並びと読み】
【LaTeXコマンド集２｜二項関係子と二項関係子を出力する】
【LaTeXコマンド集３｜数学で使う様々な矢印を出力する】
【LaTeXコマンド集４｜括弧の種類と大きさを変える方法】←今の記事

LaTeXコマンド集３｜数学で使う様々な矢印を出力する

2020/5/16 2020/5/17 コマンド

矢印のLaTeXコマンドを紹介します．

単純な上下左右の向きの矢印だけでなく，斜め向きや様々な形の矢印をLaTeXによって出力できます．

また，矢印の上下に文字を記述する矢印もあります．

なお，本稿では以下のように３つのパッケージ

amsmath.sty
amsfonts.sty
amssymb.sty

を用います．

\documentclass{jsarticle}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}

\begin{document}

\end{document}

\documentclass{jsarticle}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}

\begin{document}

\end{document}

一連の記事はこちら

【LaTeXコマンド集１｜ギリシャ文字の入力と並びと読み】
【LaTeXコマンド集２｜二項関係子と二項関係子を出力する】
【LaTeXコマンド集３｜数学で使う様々な矢印を出力する】←今の記事
【LaTeXコマンド集４｜括弧の種類と大きさを変える方法】

常微分方程式の解の存在と一意性｜逐次近似法のイメージ

2020/5/16 2020/6/9 微分方程式

例えば，初期条件 $x(0)=x_0$ を満たす常微分方程式

$\begin{align*} \od{x}{t}(t)=-tx(t) \end{align*}$

の解がただ一つ存在することは[Picard(ピカール)-Lindelöf(リンデレフ)の定理]により分かります．

この[Picard–Lindelöfの定理]は常微分方程式の解を帰納的に近似していく方法により証明されますが，この近似の方法を[Picardの逐次近似法]といいます．

[Picardの逐次近似法]のイメージを掴むだけであれば，具体例を考えるのが良いでしょう．

さらに，[Picardの逐次近似法]は「完備距離空間上の縮小写像は唯一つの不動点をもつ」という[Banachの不動点定理]を適用することで示すことができます．

この記事では

[Picardの逐次近似法]の具体例
[Picard-Lindelöfの定理]の内容と証明

の２つを説明します．

LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方５｜領域に色を塗る

2020/5/13 TikZ

一連の前回の記事までは，TikZによる

直線・円・楕円といった基本的な描線
点線や矢印や色など線のスタイル
$y=f(x)$ の基本的なグラフ，媒介変数表示された方程式，極方程式などの描き方
便利な座標の定義や，座標計算の方法

など「描線」について説明してきました．

この記事では「領域」の塗り方について説明します．

TikZで領域が塗れるようになると，図による表現の幅が大きく広がりますね．

なお，本稿では以下のように３つのライブラリintersections, calc, arrowsを用います．

\documentclass[dvipdfmx]{jsarticle}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{intersections,calc,arrows}

\begin{document}

\end{document}

\documentclass[dvipdfmx]{jsarticle}

\usepackage{tikz}

\usetikzlibrary{intersections,calc,arrows}

\begin{document}

\end{document}

なお，ライブラリについては最初の記事で説明しています．

一連の記事はこちら

【LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方１｜基本的な描線】
【LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方２｜線のスタイル】
【LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方３｜グラフの描き方】
【LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方４｜座標の定義と計算】
【LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方５｜領域に色を塗る】←今の記事

ベクトル解析の基本の微分公式のまとめ｜gradとdivとrot

2020/5/9 2020/5/12 ベクトル解析

ベクトル解析において，３つの微分作用素

勾配 $\operatorname{grad}$
発散 $\operatorname{div}$
回転 $\operatorname{rot}$ ( $\operatorname{curl}$ )

は基本的で，多くの場面で現れます．

とくに積に関する微分(例えば $\operatorname{div}{f\m{v}}$ , $\operatorname{grad}(fg)$ など)はよく現れ，これは公式として当たり前に使えるようになっておきたいところです．

この記事では，これら３つの基本の微分作用素の

和の微分公式
積の微分公式
内積/外積の微分公式

をまとめます．

なお，それぞれの微分作用素の定義とイメージについては以下の記事を参照してください．

【gradとdivとrotのイメージ｜ナブラ∇に関する３つの微分作用素】

この記事では， $\operatorname{grad}$ と $\operatorname{div}$ と $\operatorname{rot}$ の定義を述べ，それぞれの微分作用素が何を表すのかイメージから説明します．また，これら３つは(形式的に)ナブラ $\nabla$ を用いて表すこともできます．