数学ノート｜数学の備忘帳

2018.11.22

ガウス関数のフーリエ変換を具体的に計算する

Fourie変換は「関数を波の和で表す」という発想に基づいた変換であり，理工系の様々な分野で重宝される．

$G(x)=Ae^{-\eta x^2}$ ( $x\in\R$ )で定まる関数 $G$ を(1次元の)Gauss(ガウス)関数(Gaussian/ガウシアン)いい，Gauss関数は正規分布の確率密度関数として知られる．

Gauss関数はFourier変換を施してもGauss関数であるという性質をもつ．

Fourier変換を数学的に定義するには，ある程度の条件(可積分性など)が必要である．具体的には，Lebesgue可積分であるような関数には，Fourier変換を定義することができる．

本記事では，Gauss関数にFourier変換が定義できることを説明し，Gauss関数のFourier変換が再びGauss関数になることを計算により確かめる．

2018.06.20

バナッハ空間とヒルベルト空間の完備でない部分空間の例

完備なノルム空間をBanach(バナッハ)空間といい，完備な内積空間をHilbert(ヒルベルト)空間という．

Banach空間(Hilbert空間)はもとより線型空間なので，線型空間としての部分空間を考えることができる．この部分空間に元の空間と同じノルム(内積)を与えたものはノルム空間(内積空間)となるが，完備性を持つとは限らない．

すなわち，Banach空間の部分空間が同じノルムでBanach空間になるとは限らないし，Hilbert空間の部分空間が同じ内積でHilbert空間になるとは限らない．

本稿では，Hilbert空間の部分ノルム空間で完備でないものの例を考える．その際，以下の事実に注意する．

一般に，Banach空間，Hilbert空間の部分空間が同じノルムで完備であるためには，部分空間が閉であることが必要十分である．したがって，Banach空間，Hilbert空間の閉でない部分ノルム空間は完備でない．

2018.02.17

シュレディンガー方程式のストリッカーツ評価の導出

本稿では，Schrödinger(シュレディンガー)方程式に関する不等式評価であるStrichartz評価とその証明を解説する．

Strichartz(ストリッカーツ)評価は，波動方程式に関する不等式評価であるStrichartz-Brenner評価に対応し，歴史的にはStrichartz-Brenner評価の方が古い．

Strichartz評価の証明のためには，「自由Schrödinger発展作用素 $e^{it\Delta}$ の分散型評価(分散評価)」と「Hardy-Littlewood-Sobolervの不等式」を用いることになる．

なお，自由Schrödinger発展作用素 $e^{it\Delta}$ は，初期値 $u_0$ に対して自由Schrödinger方程式

$i\partial_t{u}+\Delta{u}=0$

の解 $e^{it\Delta}u_0$ を表す作用素 $e^{it\Delta}$ のことである．

【参考記事：自由シュレディンガー方程式の解の性質】

Strichartz評価はSchrödinger方程式の評価をする上で，非常に重要な役割を果たす．

2018.01.05

書評/詳解と演習大学院入試問題<数学>(数理工学社)

【書名】　詳解と演習大学院入試問題<数学> 大学数学の理解を深めよう

【著者】　海老原円・太田雅人

【出版】　数理工学社

理工系の大学院入試を題材とした問題集である．

重要な頻出問題を中心に構成されている．

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2017.10.16

ハメル基底とf(x+y)=f(x)+f(y)をみたす関数

「Hamel(ハメル)基底」は「体 $\Q$ 上のベクトル空間 $\R$ の基底」のことをいい，選択公理を認めると「Hamel基底の存在」を証明することができる．

【参考記事：ベクトル空間の基底とハメル基底の存在の証明】

さて，「Hamel基底が存在したら何が分かるのか」ということだが，Hamel基底を用いれば「任意の $x,y\in\R$ に対して， $f(x+y)=f(x)+f(y)$ をみたす関数 $f:\R\to\R$ は $f(x)=ax$ ( $a\in\R$ )に限られるか」という問題に対する反例を挙げることができる．

すなわち， $f(x)=ax$ なら $f(x+y)=f(x)+f(y)$ をみたすことは簡単に分かるが，Hamel基底の存在により $f(x)=ax$ の形をしていない $f(x+y)=f(x)+f(y)$ をみたす関数が存在することを示すことができるのである．

この記事では，Hamel基底を説明したあと，「 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ をみたす関数 $f:\R\to\R$ は $f(x)=ax$ ( $a\in\R$ )に限られるか」という問題に対する反例を考える．

2017.08.21

ベクトル空間の基底とハメル基底の存在の証明

Zorn(ツォルン)の補題は選択公理と同値な存在定理である．

選択公理を認めないとする立場もあるが，この記事では選択公理を認めてZornの補題を用いることで「基底」の存在を証明する．ここでの「基底」とは次の2つを指している．

ベクトル空間における基底
Hamel基底

これらの定義はのちに述べるが，ともかくこの両者の存在はZornの補題によって証明される．すなわち，選択公理を認めれば

$\{0\}$ でない任意のベクトル空間は基底を持つ
Hamel基底が存在する

を証明することができる．

なお，Hamal基底のイメージなどについては以下の記事で触れています．

【参考記事：ハメル基底とf(x+y)=f(x)+f(y)をみたす関数】

2017.08.04

群と環と体の定義とそれらの例

代数学は数学の構造を研究する分野であり，群(group)，環(ring)，体(field)上において理論が展開されることが非常に多い．

群，環，体といった代数構造を定義するためには，「集合」と「演算」が必要となる．

例えば，整数の集合 $\Z$ は通常の加法 $+$ によって「群」となり，実数の集合 $\R$ は通常の加法 $+$ と乗法 $\cdot$ によって「体」となる．また，実数係数の1変数多項式 $\R[x]$ の集合は通常の加法 $+$ と乗法 $\cdot$ によって「環」となる．

この記事では，最初に「2項演算」を説明し，そのあとに群，環，体の定義とそれらの例を挙げる．

2017.08.03

弱Lp有界性とマルチンキーヴィッツの実補間定理

関数空間の補間定理として，[Marcinkiewicz(マルチンキーヴィッツ)の実補間定理]がある．

定義はのちに述べるが，作用素の $L^p$ 有界性には，(普通の) $L^p$ 有界性と弱 $L^p$ 有界性がある．言葉からも分かるように，作用素 $T$ が $L^p$ 有界であれば，弱 $L^p$ 有界である．

[Marcinkiewiczの実補間定理]は，ある種の三角不等式を満たす作用素 $T$ が弱 $L^1$ 有界性と弱 $L^q$ 有界性( $1<q$ )をもつとき，任意の $p\in(1, q)$ に対して作用素 $T$ が $L^p$ 有界性をもつことを保証する定理である．

つまり，両端 $L^1$ と $L^q$ で弱有界であれば，その間で $L^p$ 有界となる．「両端は弱でよい」というのが[Marcinkiewiczの実補間定理]の優れた点である．

また，非線形作用素にも適用できる点も優れている．

なお，Marcinkiewiczは様々な発音で読まれるが，「マルチンキェーヴィツ」がMarcinkiewiczの正確な発音に近いようである．

【参考記事：リース-ソリンの複素補間定理】

2017.06.26

ラグランジュの未定乗数法の直感的な理解と証明

$N$ 次元ユークリッド空間 $R^N$ 上の有界閉集合(コンパクト集合) $D$ 上で定義された連続関数 $f$ は最大値，最小値を持つ(Heineの定理)ことはよく知られており，このときの $f$ が最大点，最小点は次のいずれかである．

$f$ の全ての偏微分係数が存在して， $\pd{f}{x_1}(a)=\dots=\pd{f}{x_N}(a)=0$ となる点 $a\in D^i$ ．
$f$ が微分可能でない点 $a\in D^i$
$\partial D$ 上の点

ただし， $D^i$ は $D$ の内部(interior)， $\partial D$ は $D$ の境界である．

$D^i$ が開集合であることから， $D^i$ での最大点，最小点の候補は $f$ の導関数を考えることで絞ることができる．これが1,2である．

残る3であるが， $\partial D$ は一般に有限集合ではないため， $\partial D$ からさらに有限個に候補を絞りたい．ここで，境界 $\partial D$ 上での関数 $f$ の極大点，極小点の候補を絞る[Lagrange(ラグランジュ)の未定乗数法]が非常に有効にはたらく．

2017.06.03

自由シュレディンガー方程式の解の性質

自由Schrödinger(シュレディンガー)方程式の初期値問題

$\begin{cases} i\partial_{t}u(t,x)+\Delta_x u(t,x)=0& (t,x)\in\R\times\R^{N}\\ u(0,x)=u_{0}(x)& x\in\R^{N} \end{cases}$

を考える．ここに， $i$ は虚数単位， $\partial_{t}=\frac{\partial}{\partial t}$ ， $\Delta_x=\sum_{i=1}^{N}\frac{\partial^2}{\partial x_{i}^2}$ である．

自由Schrödinger方程式の初期値問題の解 $u$ は，[Stoneの定理]を用いて $u(t,x)=e^{it\Delta}u_0(x)$ と表すことができ，この $e^{it\Delta}$ を自由Schrödinger発展作用素という．

この記事では，自由Schrödinger発展作用素 $e^{it\Delta}$ の基本性質について説明する．

ただし，本稿ではFourier変換 $\mathcal{F}$ ，逆Fourier変換 $\mathcal{F}^{-1}$ をそれぞれ次で定義する：

$\hat{u}(\xi)=\mathcal{F}_{x}[u](\xi)=\f{1}{(2\pi)^{N/2}}\dint_{\R^N}e^{-ix\cdot\xi}u(x)\,dx$
$\check{u}(x)=\mathcal{F}_{\xi}^{-1}[u](x)=\f{1}{(2\pi)^{N/2}}\dint_{\R^N}e^{ix\cdot\xi}u(\xi)\,d\xi$

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