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線形代数学
線形代数学の基本
行列と数ベクトル
- 線形代数1|行列とは何か?中学校で学ぶ「比例」から入門しよう
- 線形代数2|行列・ベクトルの計算の基本!積はなぜこの形?
- 線形代数3|連立1次方程式の掃き出し法と行列の基本変形
- 線形代数4|正則行列とは何か?逆行列があると嬉しい理由
- 線形代数5|正則の条件を簡単に!基本変形と行列の積の話
- 線形代数6|行列のランクと,行列が逆行列をもつための条件
- 線形代数7|連立1次方程式が解をもつ条件と解の自由度
- 線形代数8|線形独立のイメージと線形独立性とランクの関係
行列式
- 線形代数9|行列の正則性を判定できる行列式のイメージ
- 線形代数10|行列式を定義するための置換の性質を理解する
- 線形代数11|行列式は線形代数の要!定義と性質を解説
- 線形代数12|行列式の基本性質まとめ!計算の具体例も紹介
- 線形代数13|余因子展開と行列式による正則条件を解説
$\R^n$の部分空間
- 線形代数14|数ベクトル空間の部分空間の定義と具体例
- 線形代数15|基底の考え方を具体例から丁寧に解説!
- 線形代数16|次元の定義と基底を求める方法を具体例から解説
- 線形代数17|spanされる(生成される)空間の基底・次元の求め方
- 線形代数18|行列の像Imの定義・求め方を例題とともに解説
- 線形代数19|行列の核kerの定義・求め方を例題とともに解説
- 線形代数20|ℝⁿの部分空間の共通部分の基底・次元の求め方
- 線形代数21|ℝⁿの部分空間の和空間・直和を具体例から解説
対角化と固有値・固有ベクトル
- 線形代数22|対角化を固有値・固有ベクトルと併せて解説
- 線形代数23|固有値・固有ベクトルの求め方は2ステップ
- 線形代数24|正方行列が対角化できる基本定理を理解する
- 線形代数25|固有空間はなぜ大切か?対角化の必要十分条件
その他の線形代数の記事
微分積分学
微分積分学の基本
- 微分積分学1|最大・最小になれなくても上限・下限にはなれる!
- 微分積分学2|数列の収束の定義(ε-N論法)を例題から解説
- 微分積分学3|実数列の3種類の発散の定義と証明の例題
- 微分積分学4|単調有界実数列の収束定理で実数列の収束を証明する
- 微分積分学5|有理数の稠密性の証明は「アルキメデスの性質」から
- 微分積分学6|ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理
- 微分積分学7|コーシー列の便利さ!収束列との関係と完備性
数列
微分
積分
微分と積分
複素解析
複素解析の基本
- 複素解析1|複素関数とは何か?図示の仕方も説明
- 複素解析2|正則関数は超重要!複素関数の微分の考え方
- 複素解析3|複素平面で積分しよう!複素積分の具体例も紹介
- 複素解析4|超強力な[コーシーの積分定理]とその使い方
- 複素解析5|縁の下の力持ち[コーシーの積分公式]を解説
- 複素解析6|1回でも微分できれば[テイラー展開]できる!
- 複素解析7|[ローラン展開]はテイラー展開の進化形!
- 複素解析8|[留数定理]を使って広義積分を計算する方法
ベクトル解析
関数解析
- ストーンの定理|強連続ユニタリ群になるための必要十分条件
- Riesz-Thorinの複素補間定理とその証明
- 双対性議論(duality argument)について
- 弱$L^p$有界性とマルチンキーヴィッツの実補間定理
- バナッハ空間とヒルベルト空間の完備でない部分空間の例
関数空間
測度論
- 可測空間と測度空間|直感的な考え方で定義・具体例を解説
- 「ほとんど至る所」の定義と具体例|同値関係による同一視も解説
- 測度の単調収束定理|集合の単調増大列・単調減少列
- フビニの定理,トネリの定理,フビニ・トネリの定理のまとめ
ルベーグ積分の基本
ルベーグ測度
- ルベーグ積分1|外測度とは何か?集合の「長さ」の測り方
- ルベーグ積分2|外測度の本質的に重要な5つの性質
- ルベーグ積分3|ルベーグ可測集合とルベーグ測度の定義
- ルベーグ積分4|可測集合の基本性質のまとめと完全加法族
- ルベーグ積分5|区間・開集合・閉集合の可測性とボレル集合族
- ルベーグ積分6|ルベーグ測度の本質的に重要な4つの性質
ルベーグ積分の定義
- ルベーグ積分7|可測関数の定義・具体例・必要十分条件
- ルベーグ積分8|可測関数からなる種々の関数の可測性を証明
- ルベーグ積分9|ルベーグ可測単関数のルベーグ積分を定義する
- ルベーグ積分10|ルベーグ可測関数を単関数列で近似する
- ルベーグ積分11|一般の可測関数にルベーグ積分を定義する
ルベーグ積分の性質
- ルベーグ積分12|非負値関数の積分に関する基本性質を証明
- ルベーグ積分13|単関数列の項別積分の考え方と応用と証明
- ルベーグ積分14|ルベーグの単調収束定理の具体例と証明
- ルベーグ積分15|ファトゥの補題の使い方を例題から理解する
ルベーグ積分
確率論
- 積率母関数が微分できて$n$次モーメントが得られることの証明
- 確率変数の4つの収束|概収束,平均収束,確率収束,法則収束
- 一様可積分とヴィタリの収束定理|ルベーグの収束定理の一般化
- 一様可積分性の判定条件|十分条件と必要十分条件
- 中心極限定理を実感する|二項分布でシミュレートしてみた
微分方程式
常微分方程式
- バナッハの不動点定理(縮小写像の原理)|証明と応用例も紹介
- ピカールの逐次近似法|常微分方程式の解を構成する方法
- ピカール-リンデレフの定理常微分方程式の解の一意存在性
- 解は存在するが一意でない常微分方程式の具体例を考える
偏微分方程式
シュレディンガー方程式
- 自由シュレディンガー方程式の解とユニタリ群
- シュレディンガー方程式の基本解の[$L^pL^q$評価]の導出
- シュレディンガー方程式のストリッカーツ評価の導出
- シュレディンガー方程式の質量保存,エネルギー保存の証明
代数学
集合論・位相空間論
集合論
- 関数の表し方|“$f$”と“$f(x)$”で意味はどう違う?
- ベクトル空間の基底とハメル基底の存在の証明
- ハメル基底と$f(x+y)=f(x)+f(y)$をみたす関数
- 無理数は有理数よりも多い?|対角線論法による濃度差の証明
- well-definedを理解する|三角比の定義を具体例に考える
位相空間論
連結性
統計学
統計学の基礎
- 統計学の基礎1|データを要約する代表値(平均値・中央値)
- 統計学の基礎2|データのばらつきを表す「分散」のイメージ
- 統計学の基礎3|「共分散」は「相関」の正負を表す統計量
- 統計学の基礎4|「相関係数」は相関の強さを表す統計量
回帰直線
推定
LaTeX
TikZ
- LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方1|基本的な描線
- LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方2|線のスタイル
- LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方3|グラフの描き方
- LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方4|座標の定義と計算
- LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方5|領域に色を塗る