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線形代数学
線形代数学の概観
行列と数ベクトル
- 線形代数1|線形代数は「多変数バージョンの比例」という話
- 線形代数2|行列の計算の基本!行列の積はなぜこうなる?
- 線形代数3|逆行列を考えると何が嬉しいのか?
- 線形代数4|連立1次方程式の加減法と行列の基本変形
- 線形代数5|正則の条件を簡単に!基本変形と行列の積の話
- 線形代数6|行列のランクと,行列が逆行列をもつための条件
- 線形代数7|連立1次方程式が解をもつ条件と解の自由度
- 線形代数8|線形独立のイメージと線形独立性とランクの関係
行列式
- 線形代数9|行列の正則性を判定できる行列式のイメージ [解説動画あり]
- 線形代数10|行列式を定義するための置換の性質を理解する
- 線形代数11|「行列式」は線形代数の要!定義と性質を解説
- 線形代数12|[余因子展開]と[行列式による正則条件]を解説
部分空間と基底
- 線形代数13|数ベクトル空間の部分空間の定義と具体例
- 線形代数14|基底の考え方を具体例から丁寧に解説!
- 線形代数15|部分空間の同型と部分空間の次元(準備中)
- 線形代数16|線形写像の像と核と次元定理(準備中)
- 線形代数17|部分空間の和空間と共通部分の空間(準備中)
対角化と固有値・固有ベクトル
- 線形代数18|「固有値」「固有ベクトル」「対角化」とは?
- 線形代数19|固有値と固有ベクトルは2ステップで求める!
- 線形代数20|固有値・固有ベクトルの基本性質のまとめ
- 線形代数21|固有空間はなぜ大切か?対角化の必要十分条件
線形代数の定理
微分積分学
実数
- 実数はどう定義される?|実数の連続性公理から理解する [解説動画あり]
- 上限と下限|最大・最小になれなかった値にも名前を付けたい [解説動画あり]
数列
- 有界単調数列の収束定理|具体例から使い方をみる [解説動画あり]
- 上極限と下極限のイメージ|具体例から定義と性質を理解する [解説動画あり]
- チェザロ総和|普通の意味では収束しない級数を収束させたい [解説動画あり]
微分
- ラグランジュの未定乗数法の直感的な理解と証明 [解説動画あり]
積分
微分と積分
- 微分積分学の基本定理とその証明|微分と積分の関係を導出 [解説動画あり]
複素解析
- 複素解析1|複素関数とは何か?図示の仕方も説明 [解説動画あり]
- 複素解析2|正則関数は超重要!複素関数の微分の考え方 [解説動画あり]
- 複素解析3|複素平面で積分しよう!複素積分の具体例も紹介 [解説動画あり]
- 複素解析4|超強力な[コーシーの積分定理]とその使い方 [解説動画あり]
- 複素解析5|縁の下の力持ち[コーシーの積分公式]を解説 [解説動画あり]
- 複素解析6|1回でも微分できれば[テイラー展開]できる! [解説動画あり]
- 複素解析7|[ローラン展開]はテイラー展開の進化形! [解説動画あり]
- 複素解析8|[留数定理]を使って広義積分を計算する方法 [解説動画あり]
ベクトル解析
- フルネ・セレの公式の導出|曲線に関するベクトルの関係式
- gradとdivとrotのイメージ|ナブラ∇に関する3つの微分作用素 [解説動画あり]
- ベクトル解析の基本の微分公式のまとめ|gradとdivとrot
関数解析
- ストーンの定理|強連続ユニタリ群になるための必要十分条件
- Riesz-Thorinの複素補間定理とその証明
- 双対性議論(duality argument)について
- 弱Lp有界性とマルチンキーヴィッツの実補間定理
- バナッハ空間とヒルベルト空間の完備でない部分空間の例
関数空間
測度論
ルベーグ積分
- ルベーグ積分はどのような積分か?|歴史と共に考え方を解説 [解説動画あり]
- ルベーグ積分の単調収束定理|ルベーグの収束定理の一歩前
- ルベーグの収束定理の練習|具体例から使い方を理解する [解説動画あり]
確率論
- 積率母関数が微分できてn次モーメントが得られることの証明
- 確率変数の4つの収束|概収束,平均収束,確率収束,法則収束
- 一様可積分とヴィタリの収束定理|ルベーグの収束定理の一般化
- 一様可積分性の判定条件|十分条件と必要十分条件
微分方程式
常微分方程式
- 常微分方程式の解の存在と一意性|ピカールの逐次近似法 [解説動画あり]
- 解は存在するが一意でない常微分方程式の具体例を考える [解説動画あり]
偏微分方程式
シュレディンガー方程式
- 自由シュレディンガー方程式の解とユニタリ群
- シュレディンガー方程式の基本解の[LpLq評価]の導出
- シュレディンガー方程式のストリッカーツ評価の導出
- シュレディンガー方程式の質量保存,エネルギー保存の証明
代数学
- 代数学の基本|群・環・体の定義と具体例をゼロから解説 [解説動画あり]
- 剰余群の考え方|well-definedの確認はなぜ必要か? [解説動画あり]
- 3次方程式の解の公式|「カルダノの公式」の導出と歴史 [解説動画あり]
集合論・位相空間論
集合論
- 関数の表し方|“$f$”と“$f(x)$”で意味はどう違う? [解説動画あり]
- ベクトル空間の基底とハメル基底の存在の証明
- ハメル基底とf(x+y)=f(x)+f(y)をみたす関数
- 無理数は有理数よりも多い?|対角線論法による濃度差の証明 [解説動画あり]
- well-definedを理解する|三角比の定義を具体例に考える [解説動画あり]
位相空間論
- 位相空間上の連続写像を矛盾なく定義する方法
- バナッハの不動点定理|完備距離空間の縮小写像
- 距離空間の定義のイメージと具体例|ノルム空間との関係 [解説動画あり]
- フレシェ空間とは?|セミノルムから距離空間を定義する方法
連結性
- 連結性1|集合が「弧状連結」であることの定義と具体例 [解説動画あり]
- 連結性2|集合が「連結」であることの定義と具体例 [解説動画あり]
- 連結性3|連結であっても弧状連結でない集合の具体例 [解説動画あり]
統計学
統計学の基礎
- 統計学の基礎1|データを要約する代表値(平均値・中央値)
- 統計学の基礎2|データのばらつきを表す「分散」のイメージ
- 統計学の基礎3|「共分散」は「相関」の正負を表す統計量
- 統計学の基礎4|「相関係数」は相関の強さを表す統計量
回帰直線
推定
シミュレーション
LaTeX
TikZ
- LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方1|基本的な描線
- LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方2|線のスタイル
- LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方3|グラフの描き方
- LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方4|座標の定義と計算
- LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方5|領域に色を塗る
コマンド
- LaTeXコマンド集1|ギリシャ文字の入力と並びと読み
- LaTeXコマンド集2|二項関係子と二項関係子を出力する
- LaTeXコマンド集3|数学で使う様々な矢印を出力する
- LaTeXコマンド集4|括弧の種類と大きさを変える方法