数学ノート｜数学の備忘帳

2019.03.21

LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方３｜グラフの描き方

本記事は

の続きである．

準備TikZの基本の設定などは1つめの記事を参照されたい．

TikZでは， $y=f(x)$ のような陽関数のグラフはもちろん，媒介変数で表された点 $(x(t),y(t))$ のグラフも描くことができる．

さらに，TikZは極座標表示を用いることもできるので，極方程式のグラフを描くこともできる．

なお，本稿では以下のように2つのライブラリ”intersections”，”calc”を用いる．

\documentclass[dvipdfmx]{jsarticle}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{intersections, calc}

\begin{document}

\end{document}

\documentclass[dvipdfmx]{jsarticle}

\usepackage{tikz}

\usetikzlibrary{intersections, calc}

\begin{document}

\end{document}

2019.03.19

LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方２｜線のスタイル

本記事は【LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方１｜基本的な描線】の続きである．

前の記事では，TikZを使うための環境について説明し，基本的な線分や曲線の描き方を説明した．

TikZでは線を点線にしたり，矢印にしたりと線のスタイルを変更することができ，これにより図の表現の幅が飛躍的に広がる．

本稿では，描線のスタイルについて説明する．

ただし，本稿では以下のように2つのライブラリ”intersections”，”calc”を用いる．

\documentclass[dvipdfmx]{jsarticle}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{intersections, calc}

\begin{document}

\end{document}

\documentclass[dvipdfmx]{jsarticle}

\usepackage{tikz}

\usetikzlibrary{intersections, calc}

\begin{document}

\end{document}

2019.03.17

LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方１｜基本的な描線

LaTeXで図を扱いたいとき，もともと画像ファイルを作っておいて，それを挿入表示させる方法がある．

しかし，図とLaTeXの文字のバランスの調整が難しかったり，図の挿入が綺麗に挿入できないことも少なくない．

そこで，本稿ではTeXファイルに直接記述することで図を描くことができるパッケージのTikzのLaTeXでの使い方を紹介する．

TikZを使えば，直線，曲線，グラフも直接描くことができ，非常に便利である．

2018.11.22

ガウス関数のフーリエ変換を具体的に計算する

Fourie変換は「関数を波の和で表す」という発想に基づいた変換であり，理工系の様々な分野で重宝される．

$G(x)=Ae^{-\eta x^2}$ ( $x\in\R$ )で定まる関数 $G$ を(1次元の)Gauss(ガウス)関数(Gaussian/ガウシアン)いい，Gauss関数は正規分布の確率密度関数として知られる．

Gauss関数はFourier変換を施してもGauss関数であるという性質をもつ．

Fourier変換を数学的に定義するには，ある程度の条件(可積分性など)が必要である．具体的には，Lebesgue可積分であるような関数には，Fourier変換を定義することができる．

本記事では，Gauss関数にFourier変換が定義できることを説明し，Gauss関数のFourier変換が再びGauss関数になることを計算により確かめる．

2018.06.20

バナッハ空間とヒルベルト空間の完備でない部分空間の例

完備なノルム空間をBanach(バナッハ)空間といい，完備な内積空間をHilbert(ヒルベルト)空間という．

Banach空間(Hilbert空間)はもとより線型空間なので，線型空間としての部分空間を考えることができる．この部分空間に元の空間と同じノルム(内積)を与えたものはノルム空間(内積空間)となるが，完備性を持つとは限らない．

すなわち，Banach空間の部分空間が同じノルムでBanach空間になるとは限らないし，Hilbert空間の部分空間が同じ内積でHilbert空間になるとは限らない．

本稿では，Hilbert空間の部分ノルム空間で完備でないものの例を考える．その際，以下の事実に注意する．

一般に，Banach空間，Hilbert空間の部分空間が同じノルムで完備であるためには，部分空間が閉であることが必要十分である．したがって，Banach空間，Hilbert空間の閉でない部分ノルム空間は完備でない．

2018.02.17

シュレディンガー方程式のストリッカーツ評価の導出

本稿では，Schrödinger(シュレディンガー)方程式に関する不等式評価であるStrichartz評価とその証明を解説する．

Strichartz(ストリッカーツ)評価は，波動方程式に関する不等式評価であるStrichartz-Brenner評価に対応し，歴史的にはStrichartz-Brenner評価の方が古い．

Strichartz評価の証明のためには，「自由Schrödinger発展作用素 $e^{it\Delta}$ の分散型評価(分散評価)」と「Hardy-Littlewood-Sobolervの不等式」を用いることになる．

なお，自由Schrödinger発展作用素 $e^{it\Delta}$ は，初期値 $u_0$ に対して自由Schrödinger方程式

$i\partial_t{u}+\Delta{u}=0$

の解 $e^{it\Delta}u_0$ を表す作用素 $e^{it\Delta}$ のことである．

【参考記事：自由シュレディンガー方程式の解の性質】

Strichartz評価はSchrödinger方程式の評価をする上で，非常に重要な役割を果たす．

2018.01.05

書評/詳解と演習大学院入試問題<数学>(数理工学社)

【書名】　詳解と演習大学院入試問題<数学> 大学数学の理解を深めよう

【著者】　海老原円・太田雅人

【出版】　数理工学社

理工系の大学院入試を題材とした問題集である．

重要な頻出問題を中心に構成されている．

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2017.10.16

ハメル基底とf(x+y)=f(x)+f(y)をみたす関数

「Hamel(ハメル)基底」は「体 $\Q$ 上のベクトル空間 $\R$ の基底」のことをいい，選択公理を認めると「Hamel基底の存在」を証明することができる．

【参考記事：ベクトル空間の基底とハメル基底の存在の証明】

さて，「Hamel基底が存在したら何が分かるのか」ということだが，Hamel基底を用いれば「任意の $x,y\in\R$ に対して， $f(x+y)=f(x)+f(y)$ をみたす関数 $f:\R\to\R$ は $f(x)=ax$ ( $a\in\R$ )に限られるか」という問題に対する反例を挙げることができる．