幾何分布Geo(p)の期待値・分散・母関数｜初成功までの失敗回数

確率母関数$G_X(s)$の定義より

\begin{align*}G_X(s)&=E[s^X]=\sum_{k=0}^{\infty}s^k\cdot p_X(k)
\\&=\sum_{k=0}^{\infty}s^k\cdot(1-p)^{k}p=p\sum_{k=0}^{\infty}(s-sp)^{k}\end{align*}

である．これは初項$p$，公比$s-sp$の等比級数である．

一般に初項$a\neq0$, 公比$r$の等比級数が収束するための必要十分条件は$|r|<1$であり，このとき$\frac{a}{1-r}$に収束することに注意すると，

\begin{align*}|s-sp|<1\iff |s|<\frac{1}{1-p}\end{align*}

をみたす$s$に対してのみ確率母関数$G_X(s)$が定義され，

\begin{align*}G_X(s)=\frac{p}{1-(s-sp)}=\frac{p}{1-s+sp}\end{align*}

である．

$0<p<1$より$|1|<\frac{1}{1-p}$なので，$|s|<\frac{1}{1-p}$は$s=1$を含む．よって，確率母関数

\begin{align*}G_X(s)=\frac{p}{1-s+sp}\quad\bra{|s|<\frac{1}{1-p}}\end{align*}

は$s=1$でも定義されている．

一般に$G’_X(1)=E[X]$であり，$G_X(s)$の$s=1$での微分係数は

\begin{align*}G’_X(1)&=\left.\frac{d}{ds}(p(1-s+sp)^{-1})\right|_{s=1}
\\&=\left.p(-1)(-1+p)(1-s+sp)^{-2}\right|_{s=1}
\\&=\left.\frac{p(1-p)}{(1-s+sp)^{2}}\right|_{s=1}=\frac{p(1-p)}{p^2}=\frac{1-p}{p}\end{align*}

なので，$E[X]=\frac{1-p}{p}$を得る．

$X$の分散は

\begin{align*}V[X]&=E[X^2]-E[X]^2
\\&=E[X(X-1)]+E[X]-E[X]^2\end{align*}

で求まる．$E[X]=\frac{1-p}{p}$は上で求めたから，あとは$E[X(X-1)]$を求めればよい．

$E[X]=\frac{1-p}{p}$の証明で説明したように，確率母関数$G_X(s)$は$s=1$で定義されている．

一般に$G^{\prime\prime}_X(1)=E[X(X-1)]$であり，$G_X(s)$の$s=1$での２階微分係数は

\begin{align*}G^{\prime\prime}_X(1)&=\left.\frac{d}{ds}(p(1-p)(1-s+sp)^{-2})\right|_{s=1}
\\&=\left.p(1-p)(-2)(-1+p)(1-s+sp)^{-3}\right|_{s=1}
\\&=\left.2p(1-p)^2(1-s+sp)^{-3}\right|_{s=1}
\\&=\frac{2p(1-p)^2}{p^3}=\frac{2(1-p)^2}{p^2}\end{align*}

なので，$E[X(X-1)]=\frac{2(1-p)^2}{p^2}$を得る．以上より，

\begin{align*}V[X]&=\frac{2(1-p)^2}{p^2}+\frac{1-p}{p}-\bra{\frac{1-p}{p}}^2
\\&=\frac{2(1-p)^2+p(1-p)-(1-p)^2}{p^2}
\\&=\frac{\{(1-p)+p\}(1-p)}{p^2}=\frac{1-p}{p^2}\end{align*}

を得る．

$k=0$のとき$k\times p_X(k)=0$であることに注意すると，確率変数$X$の期待値$E[X]$の定義より

\begin{align*}E[X]&=\sum_{k=0}^{\infty}k\times p_X(k)=\sum_{k=1}^{\infty}k\times p_X(k)
\\&=\sum_{k=1}^{\infty}k\times(1-p)^{k}p=\lim_{n\to\infty}p\sum_{k=1}^{n}k(1-p)^{k}\end{align*}

である．ここで，$q=1-p$とおき，

\begin{align*}S_n=\sum_{k=1}^{n}k(1-p)^{k}=\sum_{k=1}^{n}kq^{k}\end{align*}

とおくと，$S_n-qS_n$を計算すると

\begin{align*}\begin{matrix}
&S_n&=&1q&+&2q^2&+\dots+&nq^{n}&&\\
-)&qS_n&=&&&1q^2&+\dots+&(n-1)q^{n}&+nq^{n+1}\\ \hline
&(1-q)S_n&=&q&+&q^2&+\dots+&q^{n}&-nq^{n+1}
\end{matrix}\end{align*}

となる．$1-q=p$より左辺は$pS_n$であり，右辺は第$n$項まで等比数列の和なので

\begin{align*}pS_n&=q+q^2+\dots+q^{n}-nq^{n+1}
\\&=\frac{q(1-q^n)}{1-q}-nq^{n+1}=\frac{q(1-q^n)}{p}-nq^{n+1}\end{align*}

となる．よって，期待値は

\begin{align*}E[X]&=\lim_{n\to\infty}pS_n=\lim_{n\to\infty}\bra{\frac{q(1-q^n)}{p}-nq^{n+1}}
\\&=\lim_{n\to\infty}\bra{\frac{q(1-0)}{p}-0}=\frac{q}{p}=\frac{1-p}{p}\end{align*}

を得る．

$X$の分散は$V[X]=E[X^2]-E[X]^2$で求まる．$E[X]=\frac{1-p}{p}$は上で求めたから，あとは$E[X^2]$を求めればよい．

$k=0$のとき$k^2\times p_X(k)=0$であることに注意すると，確率変数$X^2$の分散$E[X^2]$の定義より

\begin{align*}E[X^2]&=\sum_{k=0}^{\infty}k^2\times p_X(k)=\sum_{k=1}^{\infty}k^2\times p_X(k)
\\&=\sum_{k=1}^{\infty}k^2\times(1-p)^{k}p=\lim_{n\to\infty}p\sum_{k=1}^{n}k^2(1-p)^{k}\end{align*}

である．ここで，$q=1-p$とおき，

\begin{align*}S_n=\sum_{k=1}^{n}k^2(1-p)^{k}=\sum_{k=1}^{n}k^2q^{k}\end{align*}

とおくと，$S_n-qS_n$は

\begin{align*}\begin{matrix}
&S_n&=&1^2q&+&2^2q^2&+\dots+&n^2q^{n}&&\\
-)&qS_n&=&&&1^2q^2&+\dots+&(n-1)^2q^{n}&+n^2q^{n+1}\\ \hline
&(1-q)S_n&=&q&+&3q^2&+\dots+&(2n-1)q^{n}&-n^2q^{n+1}
\end{matrix}\end{align*}

である．$1-q=p$より左辺は$pS_n$であり，右辺の初項から第$n$項までの和を

\begin{align*}T_n=q+3q^2+\dots+(2n-1)q^{n}\end{align*}

とおくと，$pS_n=T_n-n^2q^{n+1}$が成り立つ．次に$T_n-qT_n$は

\begin{align*}\begin{matrix}
&T_n&=&q&+&3q^2&+\dots+&(2n-1)q^{n}&&\\
-)&qT_n&=&&&q^2&+\dots+&(2n-3)q^{n}&+(2n-1)q^{n+1}\\ \hline
&(1-q)T_n&=&q&+&2q^2&+\dots+&2q^{n}&-(2n-1)q^{n+1}
\end{matrix}\end{align*}

である．左辺は$pT_n$であり，右辺は第２項から第$n$項までが等比数列の和なので

\begin{align*}pT_n&=q+(2q^2+\dots+2q^n)-(2n-1)q^{n+1}
\\&=q+\frac{2q^2(1-q^{n-1})}{1-q}-(2n-1)q^{n+1}
\\&=q+\frac{2q^2(1-q^{n-1})}{p}-(2n-1)q^{n+1}\end{align*}

である．よって，

\begin{align*}E[X^2]&=\lim_{n\to\infty}pS_n=\lim_{n\to\infty}\bra{T_n-n^2q^{n+1}}
\\&=\lim_{n\to\infty}\brb{\frac{1}{p}\bra{q+\frac{2q^2(1-q^{n-1}}{p}-(2n-1)q^{n+1}}-n^2q^{n+1}}
\\&=\frac{1}{p}\bra{q+\frac{2q^2(1-0)}{p}-0}-0=\frac{pq+2q^2}{p^2}
\\&=\frac{p(1-p)+2(1-p)^2}{p^2}=\frac{2-3p+p^2}{p^2}\end{align*}

となる．

以上より，

\begin{align*}V[X]&=E[X^2]-E[X]^2=\frac{2-3p+p^2}{p^2}-\bra{\frac{1-p}{p}}^2
\\&=\frac{(2-3p+p^2)-(1-2p+p^2)}{p^2}=\frac{1-p}{p^2}\end{align*}

を得る．