【SPONSORED LINK】

ガウス関数のフーリエ変換を実際に計算する

Fourie(フーリエ)変換は「関数を波の和で表す」という発想に基づいた変換であり,理工系の様々な分野で重宝されています.

G(x)=Ae^{-\eta x^2} (x\in\R)で定まる関数Gを(1次元の)Gauss(ガウス)関数(Gaussian/ガウシアン)いい,Gauss関数はFourier変換を施してもGauss関数であるという性質をもちます.

また,Gauss関数G(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}は確率・統計の分野では,平均\mu,分散\sigma^2の正規分布の確率密度関数としても有名ですね.

Fourier変換を数学的に定義するには,ある程度の条件(可積分性など)が必要で,具体的にはLebesgue可積分であるような関数にはFourier変換を定義することができます.

この記事ではGauss関数にFourier変換が定義できることを説明し,Gauss関数のFourier変換が再びGauss関数になることを計算により確かめます.

【SPONSORED LINK】

フーリエ変換とガウス関数

まずはこの記事の主役であるフーリエ変換とガウス関数の基本を確認しておきましょう.

フーリエ変換

Lebesgue可積分可能な関数の空間(正確には,同値類の空間)をL^1(\R)と表します

\begin{align*} L_1(\R):=\set{f:\R\to\R}{\int_{\R}|f(x)|\,dx\bra{=\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|\,dx}<\infty}. \end{align*}

任意のf\in L^1(\R), \xi\in\Rに対して,g(x):=e^{-ix\xi}f(x)g:\R\to\Rを定めると

\begin{align*} \int_{\R}|g(x)|\,dx =&\int_{\R}|e^{-ix\xi}f(x)|\,dx \\=&\int_{\R}|f(x)|\,dx<\infty \end{align*}

なので,g\in L^1(\R)であることが分かります.

これにより,L^1(\R)に属する関数に対してFourier変換を定義できることが分かります.

[Fourier変換(1変数)] L^1(\R)上のFourier変換\mathcal{F}を以下で定義する:

\begin{align*} \mathcal{F}_{x}[f](\xi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R}e^{-ix\xi}f(x)\,dx. \end{align*}

Fourier変換\mathcal{F}_{x}[f]\hat{f}(\xi)と表記することも多い.

ガウス関数

一般のGauss関数はAe^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}の形で与えられますが,

  • 積分において定数係数は関係ないこと
  • 平行移動の変数変換

により,この記事で扱うガウス関数G

\begin{align*} G(x):=e^{-\eta x^2}\quad \bra{\eta:=\frac{1}{2\sigma^2}} \end{align*}

としましょう.さて,このG(x):=e^{-\eta x^2}\R上の積分をGauss積分といいますが,Gauss積分は

\begin{align*} \int_{\R}e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi} \end{align*}

と計算されることがよく知られています.

Gauss積分の値が\sqrt{\pi}であることを計算するのは以下の記事を参照してください.

ガウス関数とフーリエ変換

先ほど述べたGauss積分より

\begin{align*} \int_{\R}G(x)\,dx =&\int_{\R}e^{-\eta x^2}\,dx \\=&\int_{\R}e^{-y^2}\bra{\sqrt{\frac{1}{\eta}}\,dy}\quad(y:=\sqrt{\eta}x) \\=&\sqrt{\frac{\pi}{\eta}} \end{align*}

となってG\in L^1(\R)が分かるので,Gauss関数GのFourier変換は問題なく定義できますね.

ただ,Gauss積分の値が\sqrt{\pi}であることを求めなくても,G\in L^1(\R)であることを示すだけであれば難しくありません.

G:\R\to\R;x\mapsto e^{-\eta x^2}L^1(\R)に属する.

x\to\pm\inftyで負冪の指数関数は多項式の逆数よりも早く減衰するから,あるR>0が存在して,|x|\ge Rなら

\begin{align*} x^2G(x)<1 \iff G(x)<\frac{1}{x^2} \end{align*}

が成り立つ.

また,任意のx\in\Rに対して(したがってx\in[0,R]に対して),e^{-\eta x^2}\le1だから

\begin{align*} \int_{\R}|G(x)|\,dx =&2\int_{0}^{\infty}|G(x)|\,dx \\=&2\int_{0}^{R}|G(x)|\,dx+2\int_{R}^{\infty}|G(x)|\,dx \\=&2\int_{0}^{R}\,dx+\int_{R}^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx \\=&\frac{2}{R}+2R <\infty \end{align*}

となるから,G\in L^1(\R)が成り立つ.

これによりG\in\ L^1(\R)であり,GのFourier変換\mathcal{F}[G]が定義できますね.

Gauss関数のFourier変換

1変数のGauss関数と多変数のGauss関数の両方について,Fourier変換を計算しましょう.

1変数の場合

上で定義したGauss関数GのFourier変換\mathcal{F}[G]を求めます.

\begin{align*} \mathcal{F}[G](\xi) =&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R}e^{-ix\xi}G(x)\,dx \\=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R}\exp(-\eta x^2-ix\xi)\,dx \\=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R}\exp\bra{-\eta\bra{x+\frac{\xi}{2\eta}i}^2-\frac{\xi^2}{4\eta}}\,dx \\=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\bra{-\frac{\xi^2}{4\eta}}\int_{\R}e^{-\eta(x+i\lambda)^2}\,dx \quad\bra{\lambda:=\frac{\xi}{2\eta}} \end{align*}

なので,\dint_{\R}e^{-\eta(x+i\lambda)^2}\,dxを計算すればよいですね.

複素関数ff(z)=e^{-\eta z^2}として,R>0に対して4つの経路L, L', L_{R}, L_{-R}

\begin{align*} &L:=\set{z\in\C}{z=x,x\in[-R,R]}, \\&L':=\set{z\in\C}{z=x+i\lambda,x\in[-R,R]}, \\&L_{R}:=\set{z\in\C}{z=R+iy,y\in[0,\lambda]}, \\&L_{-R}:=\set{z\in\C}{z=-R+i(\lambda-y),y\in[0,\lambda]} \end{align*}

で定めます.これらの経路を図示すると,\xi>0のときは\lambda>0だから

Rendered by QuickLaTeX.com

であり,\xi<0のときは\lambda<0だから

Rendered by QuickLaTeX.com

となりますね.このとき,Cauchyの積分定理より

\begin{align*} \dint_{L'\cup L_{R}\cup L\cup L_{R}}f(z)\,dz=0 \end{align*}

が成り立ちます.よって,

\begin{align*} \int_{\R}e^{-\eta(x+i\lambda)^2}\,dx =&\lim_{R\to\infty}\int_{L'}f(z)\,dz \\=&\lim_{R\to\infty}\int_{L_{R}\cup L\cup L_{R}}f(z)\,dz \end{align*}

となります.一般に\abs{\dint_{C}f(z)\,dz}\le\dint_{C}|f(z)|\,dzより

\begin{align*} \abs{\int_{L_{R}}f(z)\,dz} \le&\int_{L_{R}}|f(z)|\,dz \\=&\int_0^{\lambda}\abs{e^{-\eta(R+iy)^2}}\,dy \\=&\int_0^{\lambda}\abs{e^{-\eta(R^2+2iRy-y^2)}}\,dy \\=&\int_0^{\lambda}e^{-\eta(R^2-y^2)}\,dy \\\le&\int_0^{\lambda}e^{-\eta R^2}\,dy \\=&\lambda e^{-\eta R^2} \to0\quad (R\to\infty) \end{align*}

だから\lim\limits_{R\to\infty}\dint_{L_{R}}f(z)\,dz=0が成り立ち,

\begin{align*} \abs{\int_{L_{-R}}f(z)\,dz} \le&\int_{L_{-R}}|f(z)|\,dz \\=&\int_0^{\lambda}\abs{e^{-\eta(-R+i(\lambda-y))^2}}\,dy \\=&\int_0^{\lambda}\abs{e^{-\eta(R^2+2i(\lambda-y)-(\lambda-y)^2)}}\,dy \\=&\int_0^{\lambda}e^{-\eta(R^2-(\lambda-y)^2)}\,dy \\\le&\int_0^{\lambda}e^{-\eta R^2}\,dy \\=&\lambda e^{-\eta R^2}\to0\quad (R\to\infty) \end{align*}

だから\lim\limits_{R\to\infty}\dint_{L_{-R}}G(z)\,dz=0が成り立ちます.

よって,変数変換x=\dfrac{y}{\sqrt{\eta}}を用いると,先に述べたGauss積分により

\begin{align*} \int_{\R}e^{-\eta(x+i\lambda)^2}\,dx =&\lim_{R\to\infty}\int_{L'}f(z)\,dz \\=&\lim_{R\to\infty}\int_{L_{R}\cup L\cup L_{R}}f(z)\,dz \\=&\lim_{R\to\infty}\int_{L}f(z)\,dz \\=&\int_{\R}e^{-\eta x^2}\,dx =\sqrt{\frac{\pi}{\eta}} \end{align*}

となります.以上より,

\begin{align*} \mathcal{F}[G](\xi) =&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\dint_{\R}e^{-ix\xi}\exp\bra{-\eta x^2}\,dx \\=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\exp\bra{-\frac{\xi^2}{4\eta}}\sqrt{\frac{\pi}{\eta}} \\=&\frac{1}{\sqrt{2\eta}}\exp\bra{-\frac{\xi^2}{4\eta}} \end{align*}

となって,確かにGauss関数のFourier変換がGauss関数であることが分かりました.

このことから,とくに\eta=\dfrac{1}{2}のときは\mathcal{F}[G]=GとGauss関数の形までも不変ですね.

多変数の場合

多変数の場合のFourier変換は以下の通りです.

[Fourier変換(多変数)] L^1(\R^N)上のFourier変換\mathcal{F}を以下で定義する.

\begin{align*} \mathcal{F}_{x}[f](\xi)=\frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\int_{\R^N}e^{-ix\cdot\xi}f(x)\,dx \end{align*}

x\cdot\xix\in\R^N\xi\in\R^Nの標準内積である. Fourier変換\mathcal{F}_{x}[f]\hat{f}(\xi)と表記することも多い.

ここで,L^1(\R)と同様に,L^1(\R^N)\R^N上可積分な関数の空間で,多変数のGauss関数G

\begin{align*} G(x)=e^{-\eta|x|^2} (\eta>0) \end{align*}

としましょう.ただし,x=[x_1,\dots,x_N]\in\R^Nであり,|x|^2={x_1}^2+\dots+{x_N}^2です.

このとき,Gauss関数GのFourier変換\mathcal{F}[G]は,1変数の場合の結果を用いて

\begin{align*} \mathcal{F}[G](\xi) =&\frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\int_{\R^N}e^{-ix\cdot\xi}\exp\bra{-\eta|x|^2}\,dx \\=&\frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\int_{\R^N}\prod_{n=1}^Ne^{-ix_n\xi_n}\exp\bra{-\eta{x_n}^2}\,dx \\=&\frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\prod_{n=1}^N\dint_{\R}e^{-ix_n\xi_n}\exp\bra{-\eta{x_n}^2}\,dx_n \\=&\frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\prod_{n=1}^N\bra{\exp\bra{-\frac{{\xi_n}^2}{4\eta}}\sqrt{\frac{\pi}{\eta}}} \\=&\frac{1}{(2\eta)^{N/2}}\exp\bra{-\frac{|\xi|^2}{4\eta}} \end{align*}

となって,確かにGauss関数のFourier変換がGauss関数であることが分かりました.

この多変数の場合も,\eta=\dfrac{1}{2}であれば\mathcal{F}[G]=Gとなりますね.

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする

最後までありがとうございました!

以下の関連記事もいかがですか?

SPONSORED LINK
関連記事

記事一覧はこちらからどうぞ!

記事一覧は

こちら

Twitterを

フォロー

大学院入試

解答例

大学受験

解説ブログ