ガウス関数のフーリエ変換｜コーシーの積分定理から計算する

フーリエ(Fourier)変換は「関数を波の和で表す」という発想に基づいた変換であり，理工系の様々な分野で重宝されています．また，

$\begin{align*}G(x)=Ae^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\end{align*}$

で定まる関数$G:\R\to\R$を１次元のガウス(Gauss)関数といいます．

このガウス関数$G$は確率・統計の分野では，$A=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}$のとき平均$\mu$，分散$\sigma^2$の正規分布の確率密度関数としても有名ですね．

ガウス関数はフーリエ変換を施すことができ，$\mu=0$のフーリエ変換を施しても$\mu=0$のガウス関数であるという性質をもちます．

数学的にきちんとフーリエ変換を定義するには，ある程度の条件が必要です．

具体的にはルベーグ可積分であるような関数にはフーリエ変換を定義することができ，ガウス関数はルベーグ可積分なので問題なくフーリエ変換を定義することができます．

この記事では

ガウス関数にフーリエ変換が定義できること
ガウス関数のフーリエ変換が再びガウス関数になること

を順に説明します．

なお，微分方程式を解くことでガウス関数のフーリエ変換を計算する方法もあり，この方法については以下の記事を参照してください．

ガウス関数のフーリエ変換２｜微分方程式を用いて計算する

平均0のガウス関数にはフーリエ変換を施してもガウス関数に戻るという性質があります．この記事では，１階線形常微分方程式の解法を説明したのち，微分方程式を解くことでガウス関数のフーリエ変換を求めます．

フーリエ変換とガウス関数
ガウス関数のフーリエ変換
1. １変数の場合
微分方程式による求め方

フーリエ変換とガウス関数

まずはこの記事の主役であるフーリエ変換とガウス関数の基本を確認しておきましょう．

フーリエ変換

形式的に，関数$f$のフーリエ変換は

$\begin{align*}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R}f(x)e^{-ix\xi}\,dx\end{align*}$

で定義されます．

数学的にはあまり性質の良くない関数$f$に対してはフーリエ変換が定義できないこともありますが，簡単な目安として$f\in L^1(\R)$であれば$f$のフーリエ変換が定義できます．

ここで，$L^1(\R)$は$\R$上可積分な関数の空間です．

正確には$L^1(\R)$はルベーグ可積分可能な可測関数の空間(正確には，同値類の空間)で

$\begin{align*}L^1(\R):=\set{f:\R\to\R:\mrm{measurable}}{\int_{\R}|f(x)|\,dx<\infty}.\end{align*}$

ですが，ルベーグ積分を知らない方はリーマン積分と思っていても，この記事の本題に大きな影響はありません．

さて，任意の$f\in L^1(\R)$, $\xi\in\R$に対して

$\begin{align*}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R}|f(x)e^{-ix\xi}|\,dx =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R}|f(x)|\,dx <\infty\end{align*}$

なので，$f\in L^1(\R)$なら$\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\dint_{\R}|f(x)e^{-ix\xi}|\,dx$が有限の値として存在します．

よって，$f\in L^1(\R)$に対してフーリエ変換

$\begin{align*}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R}f(x)e^{-ix\xi}\,dx\end{align*}$

が問題なく定義できる(有限の値となる)ことが分かりましたね．

[フーリエ変換(１変数)]　$L^1(\R)$上のフーリエ変換$\mathcal{F}$を以下で定義する：

$\begin{align*}\mathcal{F}_{x}[f](\xi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R}e^{-ix\xi}f(x)\,dx.\end{align*}$

フーリエ変換$\mathcal{F}_{x}[f]$を$\hat{f}(\xi)$と表記することも多い．

ガウス関数とガウス積分

冒頭でも説明したように，一般のガウス関数$G:\R\to\R$は

$\begin{align*}G(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\end{align*}$

で定まりますが，この記事で扱う関数$G$は平均を０($\mu=0$)とし係数を落として

$\begin{align*}G(x):=e^{-\eta x^2}\quad \bra{\eta:=\frac{1}{2\sigma^2}}\end{align*}$

とします．さらに$\eta=1$の場合は$G(x):=e^{-x^2}$となりますが，このときの$G$の$\R$上の積分をガウス積分といいますね．

ガウス積分は

$\begin{align*}\int_{\R}e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}\end{align*}$

と計算されることがよく知られています．

ガウス積分の値が$\sqrt{\pi}$であることの証明は以下の記事を参照してください．

ガウス積分はどう求める？｜極座標変換のヤコビアンが嬉しい計算

[ガウス積分]は数学や物理においてよく現れます．[ガウス積分]は不定積分なら計算が難しいところですが，定積分がゆえに計算することができます．この記事では，ガウス積分を極座標変換を用いて求めます．

ガウス関数とフーリエ変換

いま説明したガウス積分と，変数変換$y=\sqrt{\eta}x$より

$\begin{align*}\int_{\R}G(x)\,dx =&\int_{\R}e^{-\eta x^2}\,dx \\=&\frac{1}{\sqrt{\eta}}\int_{\R}e^{-y^2}\,dy =\sqrt{\frac{\pi}{\eta}}\end{align*}$

となって$G\in L^1(\R)$が分かるので，ガウス関数$G$のフーリエ変換は問題なく定義できますね．

ただ，ガウス積分の値が$\sqrt{\pi}$であることを知らなくても，$G\in L^1(\R)$であることを示すだけであれば難しくありません．

$G(x)=e^{-\eta x^2}$で定まる関数$G:\R\to\R$は$L^1(\R)$に属する．

証明を表示

$x\to\pm\infty$で負冪の指数関数は多項式の逆数よりも早く減衰するから，ある$R>0$が存在して，$|x|\ge R$なら

$\begin{align*}x^2G(x)<1 \iff G(x)<\frac{1}{x^2}\end{align*}$

が成り立つ．

また，任意の$x\in\R$に対して(したがって$x\in[0,R]$に対して)，$e^{-\eta x^2}\le1$だから

$\begin{align*}\int_{\R}|G(x)|\,dx =&2\int_{0}^{\infty}|G(x)|\,dx \\=&2\int_{0}^{R}|G(x)|\,dx+2\int_{R}^{\infty}|G(x)|\,dx \\=&2\int_{0}^{R}\,dx+\int_{R}^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx \\=&\frac{2}{R}+2R <\infty\end{align*}$

となるから，$G\in L^1(\R)$が成り立つ．

これにより$G\in\ L^1(\R)$であり，$G$のフーリエ変換$\mathcal{F}[G]$が定義できますね．

ガウス関数のフーリエ変換

まず１変数のガウス関数のフーリエ変換を計算し，その結果を用いて多変数のガウス関数のフーリエ変換を計算しましょう．

１変数の場合

それでは

$\begin{align*}G(x):=e^{-\eta x^2}\quad \bra{\eta:=\frac{1}{2\sigma^2}}\end{align*}$

で定まるガウス関数$G:\R\to\R$のフーリエ変換$\mathcal{F}[G]$を求めます．

$\begin{align*}\mathcal{F}[G](\xi) =&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R}e^{-ix\xi}G(x)\,dx =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R}e^{-\eta x^2-ix\xi}\,dx \\=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R}\exp\bra{-\eta\bra{x+\frac{\xi}{2\eta}i}^2-\frac{\xi^2}{4\eta}}\,dx \\=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\bra{-\frac{\xi^2}{4\eta}}\int_{\R}e^{-\eta(x+i\lambda)^2}\,dx \quad\bra{\lambda:=\frac{\xi}{2\eta}}\end{align*}$

なので，$\dint_{\R}e^{-\eta(x+i\lambda)^2}\,dx$を計算すればよいですね．

複素関数$f$を$f(z)=e^{-\eta z^2}$で定め，$R>0$を任意に取ります．$\lambda>0(\iff\xi>0)$のとき４つの経路$L$, $L’$, $L_{R}$, $L_{-R}$を

$\begin{align*}&L:=\set{z\in\C}{z=x,x\in[-R,R]}, \\&L':=\set{z\in\C}{z=x+i\lambda,x\in[-R,R]}, \\&L_{R}:=\set{z\in\C}{z=R+iy,y\in[0,\lambda]}, \\&L_{-R}:=\set{z\in\C}{z=-R+i(\lambda-y),y\in[0,\lambda]}\end{align*}$

で定めます．このとき，

と図示できますね．$\xi<0(\iff\lambda<0)$のときも同様に下図のように４つの経路$L$, $L’$, $L_{R}$, $L_{-R}$を定めます．

$f$は$\C$全体で正則で$L’\cup L_{-R}\cup L\cup L_{R}$は閉曲線だから，コーシー(Cauchy)の積分定理より

$\begin{align*}\dint_{L'\cup L_{-R}\cup L\cup L_{R}}f(z)\,dz=0\end{align*}$

が成り立ちます．なお，コーシーの積分定理については以下の記事を参照してください．

複素解析４｜超強力な[コーシーの積分定理]とその使い方

[Cauchyの積分定理]は「正則関数の閉曲線上の複素積分は０である」という定理で，複素解析の中でもキーとなるとても強力な定理です．この記事では，この[Cauchyの積分定理]を紹介し，基本的な使い方を紹介します．また，最後に証明もしています．

よって，

$\begin{align*}\int_{\R}e^{-\eta(x+i\lambda)^2}\,dx =&\lim_{R\to\infty}\bra{-\int_{L'}f(z)\,dz} \\=&\lim_{R\to\infty}\int_{L_{R}\cup L\cup L_{R}}f(z)\,dz\end{align*}$

となります．また

$\begin{align*}\abs{\int_{L_{R}}f(z)\,dz} =&\abs{\int_{0}^{\lambda}e^{-\eta (R+yi)^2}\,idy} \le\int_0^{\lambda}\abs{e^{-\eta(R+iy)^2}}\,|dy| \\=&\int_0^{\lambda}\abs{e^{-\eta(R^2+2iRy-y^2)}}\,|dy| \\=&\int_0^{\lambda}e^{-\eta(R^2-y^2)}\,|dy| \le\int_0^{\lambda}e^{-\eta R^2}\,|dy| \\=&|\lambda|e^{-\eta R^2} \to0\quad (R\to\infty)\end{align*}$

だから$\lim\limits_{R\to\infty}\dint_{L_{R}}f(z)\,dz=0$が成り立ち，同様に

$\begin{align*}\abs{\int_{L_{-R}}f(z)\,dz} =&\abs{\int_0^{\lambda}e^{-\eta(-R+i(\lambda-y))^2}\,(-i)dy} \le\int_0^{\lambda}\abs{e^{-\eta(-R+i(\lambda-y))^2}}\,|dy| \\=&\int_0^{\lambda}\abs{e^{-\eta(R^2+2i(\lambda-y)-(\lambda-y)^2)}}\,|dy| \\=&\int_0^{\lambda}e^{-\eta(R^2-(\lambda-y)^2)}\,|dy| \le\int_0^{\lambda}e^{-\eta R^2}\,|dy| \\=&|\lambda| e^{-\eta R^2} \to0\quad (R\to\infty)\end{align*}$

だから$\lim\limits_{R\to\infty}\dint_{L_{-R}}f(z)\,dz=0$が成り立ちます．

よって，(変数変換$x=\dfrac{y}{\sqrt{\eta}}$を用いて)ガウス積分と併せて

$\begin{align*}\int_{\R}e^{-\eta(x+i\lambda)^2}\,dx =&\lim_{R\to\infty}\int_{L}f(z)\,dz \\=&\int_{\R}e^{-\eta x^2}\,dx =\sqrt{\frac{\pi}{\eta}}\end{align*}$

となります．以上より，

$\begin{align*}\mathcal{F}[G](\xi) =&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\dint_{\R}e^{-ix\xi}G(x)\,dx \\=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\exp\bra{-\frac{\xi^2}{4\eta}}\sqrt{\frac{\pi}{\eta}} \\=&\frac{1}{\sqrt{2\eta}}\exp\bra{-\frac{\xi^2}{4\eta}}\end{align*}$

となって，確かにガウス関数のフーリエ変換がガウス関数であることが分かりました．

このことから，とくに$\eta=\dfrac{1}{2}(\iff\sigma^2=1)$のときは$\mathcal{F}[G]=G$とガウス関数の形までも不変ですね．

多変数の場合

多変数の場合のフーリエ変換は以下の通りです．

[フーリエ変換（多変数）]　$L^1(\R^N)$上のフーリエ変換$\mathcal{F}$を以下で定義する．

$\begin{align*}\mathcal{F}_{x}[f](\xi)=\frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\int_{\R^N}e^{-ix\cdot\xi}f(x)\,dx\end{align*}$

$x\cdot\xi$は$x\in\R^N$と$\xi\in\R^N$の標準内積である．フーリエ変換$\mathcal{F}_{x}[f]$を$\hat{f}(\xi)$と表記することも多い．

ここで，$L^1(\R)$と同様に，$L^1(\R^N)$は$\R^N$上可積分な関数の空間で，多変数のガウス関数$G$を

$\begin{align*}G(x)=e^{-\eta|x|^2} (\eta>0)\end{align*}$

としましょう．ただし，$x=[x_1,\dots,x_N]^T\in\R^N$であり，$|x|^2={x_1}^2+\dots+{x_N}^2$です．

このとき，ガウス関数$G$のフーリエ変換$\mathcal{F}[G]$は，１変数の場合の結果を用いて

$\begin{align*}\mathcal{F}[G](\xi) =&\frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\int_{\R^N}e^{-ix\cdot\xi}G(x)\,dx \\=&\frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\int_{\R^N}\prod_{n=1}^Ne^{-ix_n\xi_n}\exp\bra{-\eta{x_n}^2}\,dx \\=&\frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\prod_{n=1}^N\dint_{\R}e^{-ix_n\xi_n}\exp\bra{-\eta{x_n}^2}\,dx_n \\=&\frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\prod_{n=1}^N\bra{\exp\bra{-\frac{{\xi_n}^2}{4\eta}}\sqrt{\frac{\pi}{\eta}}} \\=&\frac{1}{(2\eta)^{N/2}}\exp\bra{-\frac{|\xi|^2}{4\eta}}\end{align*}$