ガウス関数のフーリエ変換を実際に計算する

Fourie(フーリエ)変換は「関数を波の和で表す」という発想に基づいた変換であり，理工系の様々な分野で重宝されています．

$\begin{align*} G(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \end{align*}$

で定まる関数$G:\R\to\R$を(１次元の)Gauss(ガウス)関数(Gaussian/ガウシアン)いいます．

このGauss関数$G$は確率・統計の分野では，平均$\mu$，分散$\sigma^2$の正規分布の確率密度関数としても有名ですね．

さて，Fourier変換を数学的に定義するには，ある程度の条件(可積分性など)が必要で，具体的にはLebesgue可積分であるような関数にはFourier変換を定義することができます．

平均０(すなわち$\mu=0$)のGauss関数はFourier変換を施すことができ，Fourier変換を施しても平均０のGauss関数であるという性質をもちます．

この記事では

Gauss関数にFourier変換が定義できること
Gauss関数のFourier変換が再びGauss関数になること

を確かめます．

1 フーリエ変換とガウス関数
2 Gauss関数のFourier変換
- 2.1 １変数の場合
- 2.2 多変数の場合

フーリエ変換とガウス関数

まずはこの記事の主役であるフーリエ変換とガウス関数の基本を確認しておきましょう．

フーリエ変換

形式的に，関数$f$のFourier(フーリエ)変換は

$\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R}f(x)e^{-ix\xi}\,dx \end{align*}$

で定義されます．

数学的にはあまり性質の良くない関数$f$に対してはFourier変換が定義できないこともありますが，簡単な目安として$f\in L^1(\R)$であれば$f$のFourier変換が定義できます．

ここで，$L^1(\R)$はLebesgue(ルベーグ)可積分可能な関数の空間(正確には，同値類の空間)で

$\begin{align*} L^1(\R):=\set{f:\R\to\R}{\int_{\R}|f(x)|\,dx<\infty}. \end{align*}$

です．Lebesgue積分を知らない場合，Riemann(リーマン)積分と思っていても，この記事では大きな問題ありません．

なお，この条件の積分は

$\begin{align*} \int_{\R}|f(x)|\,dx=\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|\,dx \end{align*}$

とも書けますね．

任意の$f\in L^1(\R)$, $\xi\in\R$に対して

$\begin{align*} \int_{\R}|f(x)e^{-ix\xi}|\,dx =\int_{\R}|f(x)|\,dx<\infty \end{align*}$

なので，$f\in L^1(\R)$なら$\dint_{\R}|f(x)e^{-ix\xi}|\,dx$が有限の値として存在することが分かりましたね．

[Fourier変換(１変数)]　$L^1(\R)$上のFourier変換$\mathcal{F}$を以下で定義する：

$\begin{align*} \mathcal{F}_{x}[f](\xi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R}e^{-ix\xi}f(x)\,dx. \end{align*}$

Fourier変換$\mathcal{F}_{x}[f]$を$\hat{f}(\xi)$と表記することも多い．

ガウス関数とガウス積分

冒頭でも説明したように，一般のGauss関数$G:\R\to\R$は

$\begin{align*} G(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \end{align*}$

で定まりますが，この記事で扱う関数$G$は平均を０($\mu=0$)とし係数を落として

$\begin{align*} G(x):=e^{-\eta x^2}\quad \bra{\eta:=\frac{1}{2\sigma^2}} \end{align*}$

とします．さらに$\eta=1$の場合は$G(x):=e^{-x^2}$となりますが，このときの$G$の$\R$上の積分をGauss積分といいますね．

Gauss積分は

$\begin{align*} \int_{\R}e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi} \end{align*}$

と計算されることがよく知られています．

Gauss積分の値が$\sqrt{\pi}$であることの証明は以下の記事を参照してください．

【ガウス積分はどうやって求める？｜極座標変換による計算】

Gauss積分を求める方法としては，極座標変換を用いる方法が有名です．この記事では，実際の計算と計算のポイントを丁寧に説明しています．

ガウス関数とフーリエ変換

いま説明したGauss積分と，変数変換$y=\sqrt{\eta}x$より

$\begin{align*} \int_{\R}G(x)\,dx =&\int_{\R}e^{-\eta x^2}\,dx \\=&\frac{1}{\sqrt{\eta}}\int_{\R}e^{-y^2}\,dy =\sqrt{\frac{\pi}{\eta}} \end{align*}$

となって$G\in L^1(\R)$が分かるので，Gauss関数$G$のFourier変換は問題なく定義できますね．

ただ，Gauss積分の値が$\sqrt{\pi}$であることを求めなくても，$G\in L^1(\R)$であることを示すだけであれば難しくありません．

$G(x)=e^{-\eta x^2}$で定まる関数$G:\R\to\R$は$L^1(\R)$に属する．

$x\to\pm\infty$で負冪の指数関数は多項式の逆数よりも早く減衰するから，ある$R>0$が存在して，$|x|\ge R$なら

$\begin{align*} x^2G(x)<1 \iff G(x)<\frac{1}{x^2} \end{align*}$

が成り立つ．

また，任意の$x\in\R$に対して(したがって$x\in[0,R]$に対して)，$e^{-\eta x^2}\le1$だから

$\begin{align*} \int_{\R}|G(x)|\,dx =&2\int_{0}^{\infty}|G(x)|\,dx \\=&2\int_{0}^{R}|G(x)|\,dx+2\int_{R}^{\infty}|G(x)|\,dx \\=&2\int_{0}^{R}\,dx+\int_{R}^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx \\=&\frac{2}{R}+2R <\infty \end{align*}$

となるから，$G\in L^1(\R)$が成り立つ．

これにより$G\in\ L^1(\R)$であり，$G$のFourier変換$\mathcal{F}[G]$が定義できますね．

Gauss関数のFourier変換

１変数のGauss関数と多変数のGauss関数の両方について，Fourier変換を計算しましょう．

１変数の場合

それでは

$\begin{align*} G(x):=e^{-\eta x^2}\quad \bra{\eta:=\frac{1}{2\sigma^2}} \end{align*}$

で定まるGauss関数$G:\R\to\R$のFourier変換$\mathcal{F}[G]$を求めます．

$\begin{align*} \mathcal{F}[G](\xi) =&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R}e^{-ix\xi}G(x)\,dx =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R}e^{-\eta x^2-ix\xi}\,dx \\=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R}\exp\bra{-\eta\bra{x+\frac{\xi}{2\eta}i}^2-\frac{\xi^2}{4\eta}}\,dx \\=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\bra{-\frac{\xi^2}{4\eta}}\int_{\R}e^{-\eta(x+i\lambda)^2}\,dx \quad\bra{\lambda:=\frac{\xi}{2\eta}} \end{align*}$

なので，$\dint_{\R}e^{-\eta(x+i\lambda)^2}\,dx$を計算すればよいですね．

複素関数$f$を$f(z)=e^{-\eta z^2}$として，$R>0$に対して４つの経路$L$, $L’$, $L_{R}$, $L_{-R}$を

$\begin{align*} &L:=\set{z\in\C}{z=x,x\in[-R,R]}, \\&L':=\set{z\in\C}{z=x+i\lambda,x\in[-R,R]}, \\&L_{R}:=\set{z\in\C}{z=R+iy,y\in[0,\lambda]}, \\&L_{-R}:=\set{z\in\C}{z=-R+i(\lambda-y),y\in[0,\lambda]} \end{align*}$

で定めます．$\xi>0$のときは$\lambda>0$だから

と図示でき，$\xi<0$のときは$\lambda<0$だから

と図示できますね．

いずれの場合も，閉経路$L’\cup L_{R}\cup L\cup L_{R}$の周及び内部で正則だから，Cauchyの積分定理より

$\begin{align*} \dint_{L'\cup L_{R}\cup L\cup L_{R}}f(z)\,dz=0 \end{align*}$

が成り立ちます．よって，

$\begin{align*} \int_{\R}e^{-\eta(x+i\lambda)^2}\,dx =&\lim_{R\to\infty}\int_{L'}f(z)\,dz \\=&\lim_{R\to\infty}\int_{L_{R}\cup L\cup L_{R}}f(z)\,dz \end{align*}$

となります．一般に$\abs{\dint_{C}f(z)\,dz}\le\dint_{C}|f(z)|\,|dz|$が成り立つから

$\begin{align*} \abs{\int_{L_{R}}f(z)\,dz} \le&\int_{L_{R}}|f(z)|\,|dz| =\int_0^{\lambda}\abs{e^{-\eta(R+iy)^2}}\,dy \\=&\int_0^{\lambda}\abs{e^{-\eta(R^2+2iRy-y^2)}}\,dy \\=&\int_0^{\lambda}e^{-\eta(R^2-y^2)}\,dy \le\int_0^{\lambda}e^{-\eta R^2}\,dy \\=&\lambda e^{-\eta R^2} \to0\quad (R\to\infty) \end{align*}$

だから$\lim\limits_{R\to\infty}\dint_{L_{R}}f(z)\,dz=0$が成り立ち，

$\begin{align*} \abs{\int_{L_{-R}}f(z)\,dz} \le&\int_{L_{-R}}|f(z)|\,|dz| =\int_0^{\lambda}\abs{e^{-\eta(-R+i(\lambda-y))^2}}\,dy \\=&\int_0^{\lambda}\abs{e^{-\eta(R^2+2i(\lambda-y)-(\lambda-y)^2)}}\,dy \\=&\int_0^{\lambda}e^{-\eta(R^2-(\lambda-y)^2)}\,dy \le\int_0^{\lambda}e^{-\eta R^2}\,dy \\=&\lambda e^{-\eta R^2}\to0\quad (R\to\infty) \end{align*}$

だから$\lim\limits_{R\to\infty}\dint_{L_{-R}}f(z)\,dz=0$が成り立ちます．

よって，変数変換$x=\dfrac{y}{\sqrt{\eta}}$を用いると，先に述べたGauss積分により

$\begin{align*} \int_{\R}e^{-\eta(x+i\lambda)^2}\,dx =&\lim_{R\to\infty}\int_{L'}f(z)\,dz \\=&\lim_{R\to\infty}\int_{L_{R}\cup L\cup L_{R}}f(z)\,dz \\=&\lim_{R\to\infty}\int_{L}f(z)\,dz \\=&\int_{\R}e^{-\eta x^2}\,dx =\sqrt{\frac{\pi}{\eta}} \end{align*}$

となります．以上より，

$\begin{align*} \mathcal{F}[G](\xi) =&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\dint_{\R}e^{-ix\xi}G(x)\,dx \\=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\exp\bra{-\frac{\xi^2}{4\eta}}\sqrt{\frac{\pi}{\eta}} \\=&\frac{1}{\sqrt{2\eta}}\exp\bra{-\frac{\xi^2}{4\eta}} \end{align*}$

となって，確かにGauss関数のFourier変換がGauss関数であることが分かりました．

このことから，とくに$\eta=\dfrac{1}{2}$のときは$\mathcal{F}[G]=G$とGauss関数の形までも不変ですね．

多変数の場合

多変数の場合のFourier変換は以下の通りです．

[Fourier変換(多変数)]　$L^1(\R^N)$上のFourier変換$\mathcal{F}$を以下で定義する．

$\begin{align*} \mathcal{F}_{x}[f](\xi)=\frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\int_{\R^N}e^{-ix\cdot\xi}f(x)\,dx \end{align*}$

$x\cdot\xi$は$x\in\R^N$と$\xi\in\R^N$の標準内積である． Fourier変換$\mathcal{F}_{x}[f]$を$\hat{f}(\xi)$と表記することも多い．

ここで，$L^1(\R)$と同様に，$L^1(\R^N)$は$\R^N$上可積分な関数の空間で，多変数のGauss関数$G$を

$\begin{align*} G(x)=e^{-\eta|x|^2} (\eta>0) \end{align*}$

としましょう．ただし，$x=[x_1,\dots,x_N]^T\in\R^N$であり，$|x|^2={x_1}^2+\dots+{x_N}^2$です．

このとき，Gauss関数$G$のFourier変換$\mathcal{F}[G]$は，１変数の場合の結果を用いて

$\begin{align*} \mathcal{F}[G](\xi) =&\frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\int_{\R^N}e^{-ix\cdot\xi}G(x)\,dx \\=&\frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\int_{\R^N}\prod_{n=1}^Ne^{-ix_n\xi_n}\exp\bra{-\eta{x_n}^2}\,dx \\=&\frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\prod_{n=1}^N\dint_{\R}e^{-ix_n\xi_n}\exp\bra{-\eta{x_n}^2}\,dx_n \\=&\frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\prod_{n=1}^N\bra{\exp\bra{-\frac{{\xi_n}^2}{4\eta}}\sqrt{\frac{\pi}{\eta}}} \\=&\frac{1}{(2\eta)^{N/2}}\exp\bra{-\frac{|\xi|^2}{4\eta}} \end{align*}$

となって，確かにGauss関数のFourier変換がGauss関数であることが分かりました．

この多変数の場合も，$\eta=\dfrac{1}{2}$であれば$\mathcal{F}[G]=G$となりますね．