Fourie(フーリエ)変換は「関数を波の和で表す」という発想に基づいた変換であり,理工系の様々な分野で重宝されています.また,
で定まる関数$G:\R\to\R$を(1次元の)Gauss(ガウス)関数(Gaussian/ガウシアン)いいます.
このGauss関数$G$は確率・統計の分野では,平均$\mu$,分散$\sigma^2$の正規分布の確率密度関数としても有名ですね.
さて,Fourier変換を数学的に定義するには,ある程度の条件(可積分性など)が必要で,具体的にはLebesgue可積分であるような関数にはFourier変換を定義することができます.
平均0(すなわち$\mu=0$)のGauss関数はFourier変換を施すことができ,Fourier変換を施しても平均0のGauss関数であるという性質をもちます.
この記事では
- Gauss関数にFourier変換が定義できること
- Gauss関数のFourier変換が再びGauss関数になること
を確かめます.
フーリエ変換とガウス関数
まずはこの記事の主役であるフーリエ変換とガウス関数の基本を確認しておきましょう.
フーリエ変換
形式的に,関数$f$のFourier(フーリエ)変換は
で定義されます.
数学的にはあまり性質の良くない関数$f$に対してはFourier変換が定義できないこともありますが,簡単な目安として$f\in L^1(\R)$であれば$f$のFourier変換が定義できます.
ここで,$L^1(\R)$は$\R$上可積分な関数の空間です.
正確には$L^1(\R)$はルベーグ可積分可能な可測関数の空間(正確には,同値類の空間)で
ですが,ルベーグ積分を知らない方はリーマン積分と思っていても,この記事の本題に大きな影響はありません.
さて,任意の$f\in L^1(\R)$, $\xi\in\R$に対して
なので,$f\in L^1(\R)$なら$\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\dint_{\R}|f(x)e^{-ix\xi}|\,dx$が有限の値として存在します.
よって,$f\in L^1(\R)$に対してFourier変換
が問題なく定義できる(有限の値となる)ことが分かりましたね.
[Fourier変換(1変数)] $L^1(\R)$上のFourier変換$\mathcal{F}$を以下で定義する:
Fourier変換$\mathcal{F}_{x}[f]$を$\hat{f}(\xi)$と表記することも多い.
ガウス関数とガウス積分
冒頭でも説明したように,一般のGauss関数$G:\R\to\R$は
で定まりますが,この記事で扱う関数$G$は平均を0($\mu=0$)とし係数を落として
とします.さらに$\eta=1$の場合は$G(x):=e^{-x^2}$となりますが,このときの$G$の$\R$上の積分をGauss積分といいますね.
Gauss積分は
と計算されることがよく知られています.
Gauss積分の値が$\sqrt{\pi}$であることの証明は以下の記事を参照してください.
Gauss積分を求める方法としては,極座標変換を用いる方法が有名です.この記事では,実際の計算と計算のポイントを丁寧に説明しています.
ガウス関数とフーリエ変換
いま説明したGauss積分と,変数変換$y=\sqrt{\eta}x$より
となって$G\in L^1(\R)$が分かるので,Gauss関数$G$のFourier変換は問題なく定義できますね.
ただ,Gauss積分の値が$\sqrt{\pi}$であることを知らなくても,$G\in L^1(\R)$であることを示すだけであれば難しくありません.
$G(x)=e^{-\eta x^2}$で定まる関数$G:\R\to\R$は$L^1(\R)$に属する.
$x\to\pm\infty$で負冪の指数関数は多項式の逆数よりも早く減衰するから,ある$R>0$が存在して,$|x|\ge R$なら
が成り立つ.
また,任意の$x\in\R$に対して(したがって$x\in[0,R]$に対して),$e^{-\eta x^2}\le1$だから
となるから,$G\in L^1(\R)$が成り立つ.
これにより$G\in\ L^1(\R)$であり,$G$のFourier変換$\mathcal{F}[G]$が定義できますね.
Gauss関数のFourier変換
まず1変数のGauss関数のFourier変換を計算し,その結果を用いて多変数のGauss関数のFourier変換を計算しましょう.
1変数の場合
それでは
で定まるGauss関数$G:\R\to\R$のFourier変換$\mathcal{F}[G]$を求めます.
なので,$\dint_{\R}e^{-\eta(x+i\lambda)^2}\,dx$を計算すればよいですね.
複素関数$f$を$f(z)=e^{-\eta z^2}$で定め,$R>0$を任意に取ります.$\lambda>0(\iff\xi>0)$のとき4つの経路$L$, $L’$, $L_{R}$, $L_{-R}$を
で定めます.このとき,
と図示できますね.$\xi<0(\iff\lambda<0)$のときも同様に下図のように4つの経路$L$, $L’$, $L_{R}$, $L_{-R}$を定めます.
$f$は$\C$全体で正則で$L’\cup L_{-R}\cup L\cup L_{R}$は閉曲線だから,Cauchy(コーシー)の積分定理より
が成り立ちます.なお,Cauchyの積分定理については以下の記事を参照してください.
領域$D$上の正則関数$f$に対して,周も内部も$D$に含まれる閉曲線$C$を考えると$\dint_{C}f(z)\,dz=0$が成り立ちます.この定理をCauchyの積分定理といいます.
よって,
となります.また
だから$\lim\limits_{R\to\infty}\dint_{L_{R}}f(z)\,dz=0$が成り立ち,同様に
だから$\lim\limits_{R\to\infty}\dint_{L_{-R}}f(z)\,dz=0$が成り立ちます.
よって,(変数変換$x=\dfrac{y}{\sqrt{\eta}}$を用いて)Gauss積分と併せて
となります.以上より,
となって,確かにGauss関数のFourier変換がGauss関数であることが分かりました.
このことから,とくに$\eta=\dfrac{1}{2}(\iff\sigma^2=1)$のときは$\mathcal{F}[G]=G$とGauss関数の形までも不変ですね.
多変数の場合
多変数の場合のFourier変換は以下の通りです.
[Fourier変換(多変数)] $L^1(\R^N)$上のFourier変換$\mathcal{F}$を以下で定義する.
$x\cdot\xi$は$x\in\R^N$と$\xi\in\R^N$の標準内積である. Fourier変換$\mathcal{F}_{x}[f]$を$\hat{f}(\xi)$と表記することも多い.
ここで,$L^1(\R)$と同様に,$L^1(\R^N)$は$\R^N$上可積分な関数の空間で,多変数のGauss関数$G$を
としましょう.ただし,$x=[x_1,\dots,x_N]^T\in\R^N$であり,$|x|^2={x_1}^2+\dots+{x_N}^2$です.
このとき,Gauss関数$G$のFourier変換$\mathcal{F}[G]$は,1変数の場合の結果を用いて
となって,確かにGauss関数のFourier変換がGauss関数であることが分かりました.
この多変数の場合も,$\eta=\dfrac{1}{2}$であれば$\mathcal{F}[G]=G$となりますね.