ガウス関数のフーリエ変換｜コーシーの積分定理から計算する

フーリエ(Fourier)変換は「関数を波の和で表す」という発想に基づいた変換であり，理工系の様々な分野で重宝されています．また，

$\begin{align*}G(x)=Ae^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\end{align*}$

で定まる関数$G:\R\to\R$を１次元のガウス（Gauss）関数といいます．

このガウス関数$G$は確率・統計の分野では，$A=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}$のとき平均$\mu$，分散$\sigma^2$の正規分布の確率密度関数としても有名ですね．

さて，$\mu=0$の場合のガウス関数には，フーリエ変換を施しても再び$\mu=0$のガウス関数になるという性質があります．

この記事では

フーリエ変換とガウス関数
１変数のガウス関数のフーリエ変換の計算
１変数のガウス関数のフーリエ変換の計算

を順に説明します．

なお，微分方程式を解くことでガウス関数のフーリエ変換を計算する方法もあり，この方法については以下の記事を参照してください．

ガウス関数のフーリエ変換２｜微分方程式を用いて計算する

平均0のガウス関数にはフーリエ変換を施してもガウス関数に戻るという性質があります．この記事では，１階線形常微分方程式の解法を説明したのち，微分方程式を解くことでガウス関数のフーリエ変換を求めます．

フーリエ変換とガウス関数
ガウス関数のフーリエ変換
1. １変数の場合
2. 多変数の場合
微分方程式による求め方

フーリエ変換とガウス関数

まずはこの記事の主役であるフーリエ変換とガウス関数の基本を確認しておきましょう．

フーリエ変換

形式的に，関数$f$のフーリエ変換は

$\begin{align*}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R}f(x)e^{-ix\xi}\,dx\end{align*}$

で定義されます．

性質の良くない関数$f$に対してはフーリエ変換が定義できないこともありますが，簡単な目安としてルベーグ積分可能な可測関数$f$に対してはフーリエ変換が定義できます．

ルベーグ積分を知らない方はリーマン積分と思っていても，この記事の本題に大きな影響はありません．

実際，ルベーグ可積分可能な可測関数$f$, $\xi\in\R$に対して

$\begin{align*}\int_{\R}|f(x)e^{-ix\xi}|\,dx=\int_{\R}|f(x)|\,dx<\infty\end{align*}$

なので，$\dint_{\R}|f(x)e^{-ix\xi}|\,dx$が有限の値として存在し，$\dint_{\R}f(x)e^{-ix\xi}\,dx$も有限の値として存在することが分かりますね．

［フーリエ変換（１変数）］$\R$上の可積分関数$f$に対して，フーリエ変換$\mathcal{F}$を

$\begin{align*}\mathcal{F}_{x}[f](\xi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R}e^{-ix\xi}f(x)\,dx\end{align*}$

で定義する．

フーリエ変換$\mathcal{F}_{x}[f]$は$\hat{f}$と表記することもよくあります．

ガウス関数とガウス積分

冒頭でも説明したように，一般のガウス関数$G:\R\to\R$は

$\begin{align*}G(x)=Ae^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\end{align*}$

ですが，この記事で扱うガウス関数$G$は

$\begin{align*}G(x):=e^{-\eta x^2}\end{align*}$

とします．

さらに$\eta=1$の場合は$G(x):=e^{-x^2}$となりますが，このときの$G$の$\R$上の積分をガウス積分といい，

$\begin{align*}\int_{\R}e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}\end{align*}$

と計算されることがよく知られていますね．

ガウス関数とフーリエ変換

いま説明したガウス積分と，変数変換$y=\sqrt{\eta}x$より

$\begin{align*}\int_{\R}G(x)\,dx =&\int_{\R}e^{-\eta x^2}\,dx \\=&\frac{1}{\sqrt{\eta}}\int_{\R}e^{-y^2}\,dy =\sqrt{\frac{\pi}{\eta}}\end{align*}$

となって$G$は可積分と分かるので，ガウス関数$G$のフーリエ変換は問題なく定義できますね．

ただ，ガウス積分の値が$\sqrt{\pi}$であることを知らなくても，$G$が可積分であることを示すだけであれば難しくありません．

$G(x)=e^{-\eta x^2}$で定まる関数$G:\R\to\R$は可積分関数である．

証明を表示

$x\to\pm\infty$で負冪の指数関数は多項式の逆数よりも早く減衰するから，ある$R>0$が存在して，$|x|\ge R$なら

$\begin{align*}x^2G(x)<1 \iff G(x)<\frac{1}{x^2}\end{align*}$

が成り立つ．

また，任意の$x\in\R$に対して(したがって$x\in[0,R]$に対して)，$e^{-\eta x^2}\le1$だから

$\begin{align*}\int_{\R}|G(x)|\,dx =&2\int_{0}^{\infty}|G(x)|\,dx \\=&2\int_{0}^{R}|G(x)|\,dx+2\int_{R}^{\infty}|G(x)|\,dx \\=&2\int_{0}^{R}\,dx+\int_{R}^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx \\=&\frac{2}{R}+2R <\infty\end{align*}$

となるから，$G$は可積分関数である．

ガウス関数のフーリエ変換

まず１変数のガウス関数のフーリエ変換を計算し，その結果を用いて多変数のガウス関数のフーリエ変換を計算しましょう．

１変数の場合

$G(x):=e^{-\eta x^2}$で定まるガウス関数$G:\R\to\R$のフーリエ変換が

$\begin{align*}\mathcal{F}[G](\xi)=\frac{1}{\sqrt{2\eta}}\exp\bra{-\frac{\xi^2}{4\eta}}\end{align*}$

と再びガウス関数になることを示せ．

$\eta=\dfrac{1}{2}$のときは$\mathcal{F}[G]=G$とガウス関数の形までも不変ですね．

フーリエ変換の定義より

$\begin{align*}\mathcal{F}[G](\xi) =&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R}e^{-ix\xi}G(x)\,dx =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R}e^{-\eta x^2-ix\xi}\,dx \\=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R}\exp\bra{-\eta\bra{x+\frac{\xi}{2\eta}i}^2-\frac{\xi^2}{4\eta}}\,dx \\=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\bra{-\frac{\xi^2}{4\eta}}\int_{\R}e^{-\eta(x+i\lambda)^2}\,dx \quad\bra{\lambda:=\frac{\xi}{2\eta}}\end{align*}$

なので，$\dint_{\R}e^{-\eta(x+i\lambda)^2}\,dx$を計算すればよい．

複素関数と積分経路

複素関数$f$を$f(z)=e^{-\eta z^2}$で定め，$R>0$を任意にとる．$\lambda>0(\iff\xi>0)$のとき４つの経路$L$, $L’$, $L_{R}$, $L_{-R}$を

$\begin{align*}&L:=\set{z\in\C}{z=x,x\in[-R,R]}, \\&L':=\set{z\in\C}{z=x+i\lambda,x\in[-R,R]}, \\&L_{R}:=\set{z\in\C}{z=R+iy,y\in[0,\lambda]}, \\&L_{-R}:=\set{z\in\C}{z=-R+i(\lambda-y),y\in[0,\lambda]}\end{align*}$

で定める．

$\lambda<0(\iff\xi<0)$のときも同様に下図のように４つの経路$L$, $L’$, $L_{R}$, $L_{-R}$を定める．

全体の積分と$L_{\pm R}$上の積分

$f$は$\C$上の正則関数で$L’\cup L_{-R}\cup L\cup L_{R}$は閉曲線だから，コーシーの積分定理より

$\begin{align*}\dint_{L'\cup L_{-R}\cup L\cup L_{R}}f(z)\,dz=0\end{align*}$

が成り立つ．よって，

$\begin{align*}\int_{\R}e^{-\eta(x+i\lambda)^2}\,dx =&\lim_{R\to\infty}\bra{-\int_{L'}f(z)\,dz} \\=&\lim_{R\to\infty}\int_{L_{R}\cup L\cup L_{R}}f(z)\,dz\end{align*}$

が成り立つ．また

$\begin{align*}\abs{\int_{L_{R}}f(z)\,dz} =&\abs{\int_{0}^{\lambda}e^{-\eta (R+yi)^2}\,idy} \le\int_0^{\lambda}\abs{e^{-\eta(R+iy)^2}}\,|dy| \\=&\int_0^{\lambda}\abs{e^{-\eta(R^2+2iRy-y^2)}}\,|dy| \\=&\int_0^{\lambda}e^{-\eta(R^2-y^2)}\,|dy| \le\int_0^{\lambda}e^{-\eta R^2}\,|dy| \\=&|\lambda|e^{-\eta R^2} \to0\quad (R\to\infty)\end{align*}$

だから$\lim\limits_{R\to\infty}\dint_{L_{R}}f(z)\,dz=0$が成り立ち，同様に

$\begin{align*}\abs{\int_{L_{-R}}f(z)\,dz} =&\abs{\int_0^{\lambda}e^{-\eta(-R+i(\lambda-y))^2}\,(-i)dy} \le\int_0^{\lambda}\abs{e^{-\eta(-R+i(\lambda-y))^2}}\,|dy| \\=&\int_0^{\lambda}\abs{e^{-\eta(R^2+2i(\lambda-y)-(\lambda-y)^2)}}\,|dy| \\=&\int_0^{\lambda}e^{-\eta(R^2-(\lambda-y)^2)}\,|dy| \le\int_0^{\lambda}e^{-\eta R^2}\,|dy| \\=&|\lambda| e^{-\eta R^2} \to0\quad (R\to\infty)\end{align*}$

だから$\lim\limits_{R\to\infty}\dint_{L_{-R}}f(z)\,dz=0$が成り立つ．

ガウス関数のフーリエ変換$\mathcal{F}[G]$

よって，（変数変換$x=\dfrac{y}{\sqrt{\eta}}$を用いて）ガウス積分と併せて

$\begin{align*}\int_{\R}e^{-\eta(x+i\lambda)^2}\,dx =&\lim_{R\to\infty}\int_{L}f(z)\,dz \\=&\int_{\R}e^{-\eta x^2}\,dx =\sqrt{\frac{\pi}{\eta}}\end{align*}$

が従う．以上より，

$\begin{align*}\mathcal{F}[G](\xi) =&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\dint_{\R}e^{-ix\xi}G(x)\,dx \\=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\exp\bra{-\frac{\xi^2}{4\eta}}\sqrt{\frac{\pi}{\eta}} \\=&\frac{1}{\sqrt{2\eta}}\exp\bra{-\frac{\xi^2}{4\eta}}\end{align*}$

となって，確かにガウス関数のフーリエ変換はガウス関数である．

多変数の場合

多変数の場合のフーリエ変換は以下の通りです．

［フーリエ変換（多変数）］$\R^N$上の可積分関数$f$に対して，フーリエ変換$\mathcal{F}$を

$\begin{align*}\mathcal{F}_{x}[f](\xi)=\frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\int_{\R^N}e^{-ix\cdot\xi}f(x)\,dx\end{align*}$

で定義する．ただし，$x\cdot\xi$は$x\in\R^N$と$\xi\in\R^N$の標準内積である．

多変数のガウス関数$G$を

$\begin{align*}G(x)=e^{-\eta|x|^2} (\eta>0)\end{align*}$

としましょう．ただし，$x=[x_1,\dots,x_N]^T\in\R^N$であり，$|x|^2={x_1}^2+\dots+{x_N}^2$です．

このとき，ガウス関数$G$のフーリエ変換$\mathcal{F}[G]$は，１変数の場合の結果を用いて

$\begin{align*}\mathcal{F}[G](\xi) =&\frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\int_{\R^N}e^{-ix\cdot\xi}G(x)\,dx \\=&\frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\int_{\R^N}\prod_{n=1}^Ne^{-ix_n\xi_n}\exp\bra{-\eta{x_n}^2}\,dx \\=&\frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\prod_{n=1}^N\dint_{\R}e^{-ix_n\xi_n}\exp\bra{-\eta{x_n}^2}\,dx_n \\=&\frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\prod_{n=1}^N\bra{\exp\bra{-\frac{{\xi_n}^2}{4\eta}}\sqrt{\frac{\pi}{\eta}}} \\=&\frac{1}{(2\eta)^{N/2}}\exp\bra{-\frac{|\xi|^2}{4\eta}}\end{align*}$