ガウス関数のフーリエ変換を実際に計算する

Fourie(フーリエ)変換は「関数を波の和で表す」という発想に基づいた変換であり，理工系の様々な分野で重宝されています．

$G(x)=Ae^{-\eta x^2}$ ( $x\in\R$ )で定まる関数 $G$ を(1次元の)Gauss(ガウス)関数(Gaussian/ガウシアン)いい，Gauss関数はFourier変換を施してもGauss関数であるという性質をもちます．

また，Gauss関数 $G(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ は確率・統計の分野では，平均 $\mu$ ，分散 $\sigma^2$ の正規分布の確率密度関数としても有名ですね．

Fourier変換を数学的に定義するには，ある程度の条件(可積分性など)が必要で，具体的にはLebesgue可積分であるような関数にはFourier変換を定義することができます．

この記事ではGauss関数にFourier変換が定義できることを説明し，Gauss関数のFourier変換が再びGauss関数になることを計算により確かめます．

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フーリエ変換とガウス関数

まずはこの記事の主役であるフーリエ変換とガウス関数の基本を確認しておきましょう．

フーリエ変換

形式的に，関数 $f$ のFourier(フーリエ)変換は

$\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R}e^{-ix\xi}f(x)\,dx \end{align*}$

で定義されますが，どんな関数 $f$ に対してもFourier変換が定義できるとは限りませんが， $f\in L^1(\R)$ であれば $f$ のFourier変換が定義できることは簡単に分かります．

ここで， $L^1(\R)$ はLebesgue可積分可能な関数の空間(正確には，同値類の空間)で

$\begin{align*} L^1(\R):=\set{f:\R\to\R}{\int_{\R}|f(x)|\,dx<\infty}. \end{align*}$

です．なお，条件の式は

$\begin{align*} \int_{\R}|f(x)|\,dx=\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|\,dx \end{align*}$

とも書けますね．

さて，任意の $f\in L^1(\R)$ , $\xi\in\R$ に対して， $g(x):=e^{-ix\xi}f(x)$ で $g:\R\to\C$ を定めると

$\begin{align*} \int_{\R}|g(x)|\,dx =&\int_{\R}|e^{-ix\xi}f(x)|\,dx \\=&\int_{\R}|f(x)|\,dx<\infty \end{align*}$

なので， $f\in L^1(\R)$ から $g\in L^1(\R)$ であることが分かります．

これにより， $L^1(\R)$ に属する関数に対してFourier変換を定義できることが分かりました．

[Fourier変換(１変数)]　 $L^1(\R)$ 上のFourier変換 $\mathcal{F}$ を以下で定義する：

$\begin{align*} \mathcal{F}_{x}[f](\xi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R}e^{-ix\xi}f(x)\,dx. \end{align*}$

Fourier変換 $\mathcal{F}_{x}[f]$ を $\hat{f}(\xi)$ と表記することも多い．

ガウス関数

一般のGauss関数は $Ae^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ の形で与えられますが，この記事で扱うガウス関数 $G$ は

$\begin{align*} G(x):=e^{-\eta x^2}\quad \bra{\eta:=\frac{1}{2\sigma^2}} \end{align*}$

としましょう．さて，この $G(x):=e^{-\eta x^2}$ の $\R$ 上の積分をGauss積分といいますが，Gauss積分は

$\begin{align*} \int_{\R}e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi} \end{align*}$

と計算されることがよく知られています．

Gauss積分の値が $\sqrt{\pi}$ であることの証明は以下の記事を参照してください．

【ガウス積分はどうやって求める？｜極座標変換による計算】

Gauss積分を求める方法としては，極座標変換を用いる方法が有名です．この記事では，実際の計算と計算のポイントを丁寧に説明しています．

ガウス関数とフーリエ変換

先ほど述べたGauss積分より

$\begin{align*} \int_{\R}G(x)\,dx =&\int_{\R}e^{-\eta x^2}\,dx \\=&\int_{\R}e^{-y^2}\bra{\sqrt{\frac{1}{\eta}}\,dy}\quad(y:=\sqrt{\eta}x) \\=&\sqrt{\frac{\pi}{\eta}} \end{align*}$

となって $G\in L^1(\R)$ が分かるので，Gauss関数 $G$ のFourier変換は問題なく定義できますね．

ただ，Gauss積分の値が $\sqrt{\pi}$ であることを求めなくても， $G\in L^1(\R)$ であることを示すだけであれば難しくありません．

$G:\R\to\R;x\mapsto e^{-\eta x^2}$ は $L^1(\R)$ に属する．

$x\to\pm\infty$ で負冪の指数関数は多項式の逆数よりも早く減衰するから，ある $R>0$ が存在して， $|x|\ge R$ なら

$\begin{align*} x^2G(x)<1 \iff G(x)<\frac{1}{x^2} \end{align*}$

が成り立つ．

また，任意の $x\in\R$ に対して(したがって $x\in[0,R]$ に対して)， $e^{-\eta x^2}\le1$ だから

$\begin{align*} \int_{\R}|G(x)|\,dx =&2\int_{0}^{\infty}|G(x)|\,dx \\=&2\int_{0}^{R}|G(x)|\,dx+2\int_{R}^{\infty}|G(x)|\,dx \\=&2\int_{0}^{R}\,dx+\int_{R}^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx \\=&\frac{2}{R}+2R <\infty \end{align*}$

となるから， $G\in L^1(\R)$ が成り立つ．

これにより $G\in\ L^1(\R)$ であり， $G$ のFourier変換 $\mathcal{F}[G]$ が定義できますね．

Gauss関数のFourier変換

１変数のGauss関数と多変数のGauss関数の両方について，Fourier変換を計算しましょう．

１変数の場合

上で定義したGauss関数 $G$ のFourier変換 $\mathcal{F}[G]$ を求めます．

$\begin{align*} \mathcal{F}[G](\xi) =&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R}e^{-ix\xi}G(x)\,dx =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R}e^{-\eta x^2-ix\xi}\,dx \\=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R}\exp\bra{-\eta\bra{x+\frac{\xi}{2\eta}i}^2-\frac{\xi^2}{4\eta}}\,dx \\=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\bra{-\frac{\xi^2}{4\eta}}\int_{\R}e^{-\eta(x+i\lambda)^2}\,dx \quad\bra{\lambda:=\frac{\xi}{2\eta}} \end{align*}$

なので， $\dint_{\R}e^{-\eta(x+i\lambda)^2}\,dx$ を計算すればよいですね．

複素関数 $f$ を $f(z)=e^{-\eta z^2}$ として， $R>0$ に対して４つの経路 $L$ , $L'$ , $L_{R}$ , $L_{-R}$ を

$\begin{align*} &L:=\set{z\in\C}{z=x,x\in[-R,R]}, \\&L':=\set{z\in\C}{z=x+i\lambda,x\in[-R,R]}, \\&L_{R}:=\set{z\in\C}{z=R+iy,y\in[0,\lambda]}, \\&L_{-R}:=\set{z\in\C}{z=-R+i(\lambda-y),y\in[0,\lambda]} \end{align*}$

で定めます．これらの経路を図示すると， $\xi>0$ のときは $\lambda>0$ だから

であり， $\xi<0$ のときは $\lambda<0$ だから

となりますね．このとき，Cauchyの積分定理より

$\begin{align*} \dint_{L'\cup L_{R}\cup L\cup L_{R}}f(z)\,dz=0 \end{align*}$

が成り立ちます．よって，

$\begin{align*} \int_{\R}e^{-\eta(x+i\lambda)^2}\,dx =&\lim_{R\to\infty}\int_{L'}f(z)\,dz \\=&\lim_{R\to\infty}\int_{L_{R}\cup L\cup L_{R}}f(z)\,dz \end{align*}$

となります．一般に $\abs{\dint_{C}f(z)\,dz}\le\dint_{C}|f(z)|\,dz$ より

$\begin{align*} \abs{\int_{L_{R}}f(z)\,dz} \le&\int_{L_{R}}|f(z)|\,dz \\=&\int_0^{\lambda}\abs{e^{-\eta(R+iy)^2}}\,dy \\=&\int_0^{\lambda}\abs{e^{-\eta(R^2+2iRy-y^2)}}\,dy \\=&\int_0^{\lambda}e^{-\eta(R^2-y^2)}\,dy \\\le&\int_0^{\lambda}e^{-\eta R^2}\,dy \\=&\lambda e^{-\eta R^2} \to0\quad (R\to\infty) \end{align*}$

だから $\lim\limits_{R\to\infty}\dint_{L_{R}}f(z)\,dz=0$ が成り立ち，

$\begin{align*} \abs{\int_{L_{-R}}f(z)\,dz} \le&\int_{L_{-R}}|f(z)|\,dz \\=&\int_0^{\lambda}\abs{e^{-\eta(-R+i(\lambda-y))^2}}\,dy \\=&\int_0^{\lambda}\abs{e^{-\eta(R^2+2i(\lambda-y)-(\lambda-y)^2)}}\,dy \\=&\int_0^{\lambda}e^{-\eta(R^2-(\lambda-y)^2)}\,dy \\\le&\int_0^{\lambda}e^{-\eta R^2}\,dy \\=&\lambda e^{-\eta R^2}\to0\quad (R\to\infty) \end{align*}$

だから $\lim\limits_{R\to\infty}\dint_{L_{-R}}G(z)\,dz=0$ が成り立ちます．

よって，変数変換 $x=\dfrac{y}{\sqrt{\eta}}$ を用いると，先に述べたGauss積分により

$\begin{align*} \int_{\R}e^{-\eta(x+i\lambda)^2}\,dx =&\lim_{R\to\infty}\int_{L'}f(z)\,dz \\=&\lim_{R\to\infty}\int_{L_{R}\cup L\cup L_{R}}f(z)\,dz \\=&\lim_{R\to\infty}\int_{L}f(z)\,dz \\=&\int_{\R}e^{-\eta x^2}\,dx =\sqrt{\frac{\pi}{\eta}} \end{align*}$

となります．以上より，

$\begin{align*} \mathcal{F}[G](\xi) =&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\dint_{\R}e^{-ix\xi}G(x)\,dx \\=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\exp\bra{-\frac{\xi^2}{4\eta}}\sqrt{\frac{\pi}{\eta}} \\=&\frac{1}{\sqrt{2\eta}}\exp\bra{-\frac{\xi^2}{4\eta}} \end{align*}$

となって，確かにGauss関数のFourier変換がGauss関数であることが分かりました．

このことから，とくに $\eta=\dfrac{1}{2}$ のときは $\mathcal{F}[G]=G$ とGauss関数の形までも不変ですね．

多変数の場合

多変数の場合のFourier変換は以下の通りです．

[Fourier変換(多変数)]　 $L^1(\R^N)$ 上のFourier変換 $\mathcal{F}$ を以下で定義する．

$\begin{align*} \mathcal{F}_{x}[f](\xi)=\frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\int_{\R^N}e^{-ix\cdot\xi}f(x)\,dx \end{align*}$

$x\cdot\xi$ は $x\in\R^N$ と $\xi\in\R^N$ の標準内積である． Fourier変換 $\mathcal{F}_{x}[f]$ を $\hat{f}(\xi)$ と表記することも多い．

ここで， $L^1(\R)$ と同様に， $L^1(\R^N)$ は $\R^N$ 上可積分な関数の空間で，多変数のGauss関数 $G$ を

$\begin{align*} G(x)=e^{-\eta|x|^2} (\eta>0) \end{align*}$

としましょう．ただし， $x=[x_1,\dots,x_N]^T\in\R^N$ であり， $|x|^2={x_1}^2+\dots+{x_N}^2$ です．

このとき，Gauss関数 $G$ のFourier変換 $\mathcal{F}[G]$ は，１変数の場合の結果を用いて

$\begin{align*} \mathcal{F}[G](\xi) =&\frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\int_{\R^N}e^{-ix\cdot\xi}G(x)\,dx \\=&\frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\int_{\R^N}\prod_{n=1}^Ne^{-ix_n\xi_n}\exp\bra{-\eta{x_n}^2}\,dx \\=&\frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\prod_{n=1}^N\dint_{\R}e^{-ix_n\xi_n}\exp\bra{-\eta{x_n}^2}\,dx_n \\=&\frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\prod_{n=1}^N\bra{\exp\bra{-\frac{{\xi_n}^2}{4\eta}}\sqrt{\frac{\pi}{\eta}}} \\=&\frac{1}{(2\eta)^{N/2}}\exp\bra{-\frac{|\xi|^2}{4\eta}} \end{align*}$

となって，確かにGauss関数のFourier変換がGauss関数であることが分かりました．

この多変数の場合も， $\eta=\dfrac{1}{2}$ であれば $\mathcal{F}[G]=G$ となりますね．