負の二項分布NB(n,p)とは？期待値・分散と名前の由来も解説

独立な$X_1,X_2,\dots,X_r\sim \mrm{Geo}(p)$を用いて

\begin{align*}X=X_1+X_2+\dots+X_r\end{align*}

と表せる．幾何分布$\mrm{Geo}(p)$に従う確率変数の期待値は$\frac{1-p}{p}$だったから，期待値$E$の線形性を併せて

\begin{align*}E[X]=E[X_1]+E[X_2]+\dots+E[X_r]=\frac{(1-p)r}{p}\end{align*}

を得る．

独立な$X_1,X_2,\dots,X_r\sim \mrm{Geo}(p)$を用いて

\begin{align*}X=X_1+X_2+\dots+X_r\end{align*}

と表せる．幾何分布$\mrm{Geo}(p)$に従う確率変数の分散は$\frac{1-p}{p^2}$だったから，分散$V$の展開公式より

\begin{align*}V[X]=V[X_1]+V[X_2]+\dots+V[X_r]=\frac{(1-p)r}{p^2}\end{align*}

を得る．ただし，１つ目の等号では，独立な確率変数$X$, $Y$に対して一般に

\begin{align*}V[X+Y]=V[X]+V[Y]+\operatorname{Cov}[X,Y]=V[X]+V[Y]\end{align*}

が成り立つことを用いた．

独立な$X_1,X_2,\dots,X_r\sim \mrm{Geo}(p)$を用いて

\begin{align*}X=X_1+X_2+\dots+X_r\end{align*}

と表せる．幾何分布$\mrm{Geo}(p)$に従う確率変数の確率母関数は

\begin{align*}\frac{p}{1-s+sp}\quad\bra{|s|<\frac{1}{1-p}}\end{align*}

だったから，$|s|<\frac{1}{1-p}$で

\begin{align*}G_{X}(s)&=E[s^{X}]=E[s^{X_1+X_2+\dots+X_r}]
\\&=E[s^{X_1}s^{X_2}\dots s^{X_r}]
\\&=E[s^{X_1}]E[s^{X_2}]\dots E[s^{X_r}]
\\&=\bra{\frac{p}{1-s+sp}}^r\end{align*}

を得る．ただし，最後から２つ目の等号では，独立な確率変数$X$, $Y$に対して一般に$E[XY]=E[X]E[Y]$が成り立つことを用いた．

確率母関数$G_X(s)$の定義より

\begin{align*}G_X(s)&=E[s^X]=\sum_{k=0}^{\infty}s^k\cdot p_X(k)
\\&=\sum_{k=0}^{\infty}s^k\cdot\binom{r+k-1}{k}p^{r}(1-p)^{k}
\\&=p^{r}\sum_{k=0}^{\infty}\binom{r+k-1}{k}(s-sp)^{k}\end{align*}

である．以下，

\begin{align*}(1-(s-sp))^{-r}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{r+k-1}{k}(s-sp)^{k}\end{align*}

が成り立つことを示す．

$(1-x)^{-r}$のマクローリン展開

$f(x):=(1-x)^{-r}$とおき，$f(x)$のマクローリン展開を考える．$f$の$k$階導関数は

\begin{align*}\frac{d^kf}{dx^k}(x)
&=(-r)(-r-1)\dots(-r-k+1)(-1)^{k}\cdot(1-x)^{-r-k}
\\&=r(r+1)\dots(r+k-1)(1-x)^{-r-k}
\\&=k!\cdot\frac{r(r+1)\dots(r+k-1)}{k!}(1-x)^{-r-k}
\\&=k!\binom{r+k-1}{k}(1-x)^{-r-k}\end{align*}

なので，$x=0$での$k$階微分係数は

\begin{align*}\frac{d^kf}{dx^k}(0)&=k!\binom{r+k-1}{k}(1-0)^{-r-k}
\\&=k!\binom{r+k-1}{k}\end{align*}

である（$k=0,1,2,\dots$）．よって，$f(x)$のマクローリン展開は

\begin{align*}f(x)&=\sum_{k=0}^{\infty}f^{(k)}(0)x^k
\\&=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{r+k-1}{k}x^k\quad\dots(*)\end{align*}

となる．$x=s-sp$を代入して

\begin{align*}f(s-sp)=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{r+k-1}{k}(s-sp)^{k}\end{align*}

なので，

\begin{align*}G_X(s)=p^{r}(1-(s-sp))^{-r}=\bra{\frac{p}{1-s+sp}}^r\end{align*}

を得る．

収束半径と定義域

マクローリン展開$(*)$の収束半径は

\begin{align*}&\left.\binom{r+k-1}{k}\middle/\binom{r+(k+1)-1}{k+1}\right.
\\&=\frac{(r+k-1)(r+k-2)\dots(r+1)r/k!}{(r+k)(r+k-2)\dots(r+1)r/(k+1)!}
\\&=\frac{k+1}{r+k}\xrightarrow[]{k\to\infty}1\end{align*}

より，１であることが分かる．

よって，$f(x)$のマクローリン展開$(*)$は$|x|<1$で定義されるから，$f(s-sp)$

\begin{align*}|s-sp|<1\iff |s|<\frac{1}{1-p}\end{align*}

で定義される．よって，確率母関数$G_X(s)$は$|s|<\frac{1}{1-p}$で定義される．

$0<p<1$より$|1|<\frac{1}{1-p}$なので，$s<\frac{1}{1-p}$は$s=1$を含む．よって，確率母関数

\begin{align*}G_X(s)=\bra{\frac{p}{1-s+sp}}^r\quad\bra{|s|<\frac{1}{1-p}}\end{align*}

は$s=1$で定義されている．

一般に$G’_X(1)=E[X]$であり，$G_X(s)$の$s=1$での微分係数は

\begin{align*}G’_X(s)&=\left.\frac{d}{ds}(p^r(1-s+sp)^{-r})\right|_{s=1}
\\&=\left.p^r(-1+p)(-r)(1-s+sp)^{-r-1}\right|_{s=1}
\\&=\left.\frac{p^r(1-p)r}{(1-s+sp)^{r+1}}\right|_{s=1}=\frac{p^r(1-p)r}{p^{r+1}}=\frac{(1-p)r}{p}\end{align*}

なので，$E[X]=\frac{(1-p)r}{p}$を得る．

$X$の分散は

\begin{align*}V[X]&=E[X^2]-E[X]^2
\\&=E[X(X-1)]+E[X]-E[X]^2\end{align*}

で求まる．$E[X]=\frac{(1-p)r}{p}$は上で求めたから，あとは$E[X(X-1)]$を求めればよい．

$E[X]=\frac{(1-p)r}{p}$の証明で説明したように，確率母関数$G_X(s)$は$s=1$で定義されている．

一般に$G^{\prime\prime}_X(1)=E[X(X-1)]$であり，$G_X(s)$の$s=1$での２階微分係数は

\begin{align*}G’_X(s)&=\left.\frac{d}{ds}(p^r(1-p)r(1-s+sp)^{-r-1})\right|_{s=1}
\\&=\left.p^r(1-p)r(-1+p)(-r-1)(1-s+sp)^{-r-2}\right|_{s=1}
\\&=\left.p^r(1-p)^2r(r+1)(1-s+sp)^{-r-2}\right|_{s=1}
\\&=\frac{p^r(1-p)^2r(r+1)}{p^{r+2}}=\frac{(1-p)^2r(r+1)}{p^2}\end{align*}

なので，$E[X(X-1)]=\frac{(1-p)^2r(r+1)}{p^2}$を得る．以上より，

\begin{align*}V[X]&=\frac{(1-p)^2r(r+1)}{p^2}+\frac{(1-p)r}{p}-\bra{\frac{(1-p)r}{p}}^2
\\&=\frac{(1-p)^2r(r+1)+p(1-p)r-(1-p)^2r^2}{p^2}
\\&=\frac{\{(1-p)+p\}(1-p)r}{p^2}=\frac{(1-p)r}{p^2}\end{align*}

を得る．