フルネ-セレの公式の導出｜空間曲線の曲率と捩率の定義と公式

$\m{r}=\bmat{r_1\\r_2\\r_3}$, $\m{s}=\bmat{s_1\\s_2\\s_3}$とすると，内積の定義より

\begin{align*}\anb{\m{r},\m{s}}=r_1s_1+r_2s_2+r_3s_3=\sum_{i=1}^{3}r_is_i\end{align*}

なので，積の微分公式を用いて

\begin{align*}\od{\anb{\m{r},\m{s}}}{t}
&=\sum_{i=1}^{3}\bra{r’_is_i+r_is’_i}
\\&=\sum_{i=1}^{3}r’_is_i+\sum_{i=1}^{3}r_is’_i
\\&=\anb{\m{r}’,\m{s}}+\anb{\m{r},\m{s}’}\end{align*}

が成り立つ．

$\m{r}=\bmat{r_1\\r_2\\r_3}$, $\m{s}=\bmat{s_1\\s_2\\s_3}$とすると，外積の定義より

\begin{align*}\m{r}\times \m{s}=\bmat{r_2s_3-r_3s_2\\r_3s_1-r_1s_3\\r_1s_2-r_2s_1}\end{align*}

なので，各成分で積の微分公式を用いて

\begin{align*}\od{(\m{r}\times \m{s})}{t}
&=\bmat{(r’_2s_3+r_2s’_3)-(r’_3s_2+r_3s’_2)\\(r’_3s_1+r_3s’_1)-(r’_1s_3+r_1s’_3)\\(r’_1s_2+r_1s’_2)-(r’_2s_1+r_2s’_1)}
\\&=\bmat{r’_2s_3-r’_3s_2\\r’_3s_1-r’_1s_3\\r’_1s_2-r’_2s_1}+\bmat{r_2s’_3-r_3s’_2\\r_3s’_1-r_1s’_3\\r_1s’_2-r_2s’_1}
\\&=\m{r}’\times \m{s}+\m{r}\times \m{s}’\end{align*}

が従う．

$\|\m{r}\|$が一定なら，内積の微分公式と実内積の対称性より

\begin{align*}0&\equiv(\|\m{r}\|^2)’=\anb{\m{r},\m{r}}’
\\&=\anb{\m{r}’,\m{r}}+\anb{\m{r},\m{r}’}=2\anb{\m{r},\m{r}’}\end{align*}

が分かる．よって，両辺を２で割って$0\equiv\anb{\m{r},\m{r}’}$が従う．

$\m{v}_1$, $\m{v}_2$の定義より，

\begin{align*}&\|\m{v}_1\|=\nor{\frac{\m{r}’}{\|\m{r}’\|}}=\frac{1}{\|\m{r}’\|}\|\m{r}’\|=1
\\&\|\m{v}_2\|=\nor{\frac{\m{v}’_1}{\|\m{v}’_1\|}}=\frac{1}{\|\m{v}’_1\|}\|\m{v}’_1\|=1\end{align*}

である．また，$\|\m{v}_1\|=1$だから，補題より

\begin{align*}\anb{\m{v}_1,\m{v}_2}=\anb{\m{v}_1,\frac{\m{v}’_1}{\|\m{v}’_1\|}}=\frac{1}{\|\m{v}’_1\|}\anb{\m{v}_1,\m{v}’_1}=0\end{align*}

である．さらに，外積の性質より$\m{v}_3=\m{v}_1\times \m{v}_2$は$\m{v}_1$, $\m{v}_2$と直交し，

\begin{align*}\|\m{v}_3\|=\abs{\|\m{v}_1\|\|\m{v}_2\|\sin{\bra{\pm\frac{\pi}{2}}}}=1\end{align*}

である．

任意の$t\in(\alpha,\beta)$に対して$\m{v}_1(t)$, $\m{v}_2(t)$, $\m{v}_3(t)$は$\R^3$の基底をなすことに注意する．

第１式$\m{v}’_1=\kappa\m{v}_2$の証明

$\m{v}_2$の定義の両辺に$\|\m{v}’_1\|$をかけて

\begin{align*}\m{v}_2=\frac{\m{v}’_1}{\|\m{v}’_1\|}\iff \m{v}’_1=\|\m{v}’_1\|\m{v}_2\end{align*}

が成り立つので，$\kappa=\|\m{v}’_1\|$とおけば$\kappa$は非負値で第１式が成り立つ．

第３式$\m{v}’_3=-\tau\m{v}_2$の証明

$\m{v}_1$, $\m{v}_2$, $\m{v}_3$は$\R^3$の基底をなすから，

\begin{align*}\m{v}’_3=a_{1}\m{v}_1+a_{2}\m{v}_2+a_{3}\m{v}_3\end{align*}

で$a_{i}:(\alpha,\beta)\to\R$（$i=1,2,3$）を定めることができる．$a_{1}=a_{3}\equiv0$を示せばよい．

$\|\m{v}_3\|\equiv1$だから，補題より$\anb{\m{v}_3,\m{v}’_3}\equiv0$が成り立つので

\begin{align*}0\equiv\anb{\m{v}_3,a_{1}\m{v}_1+a_{2}\m{v}_2+a_{3}\m{v}_3}=a_{3}\end{align*}

が成り立つ．また，内積の微分公式と，上で示した第１式を併せて

\begin{align*}a_{1}&=\anb{a_{1}\m{v}_1+a_{2}\m{v}_2,\m{v}_1}=\anb{\m{v}’_3,\m{v}_1}
\\&=\anb{\m{v}_3,\m{v}_1}’-\anb{\m{v}_3,\m{v}’_1}
\\&=0′-\anb{\m{v}_3,\kappa\m{v}_2}=-\kappa\anb{\m{v}_3,\m{v}_2}=0\end{align*}

が成り立つ．よって，$\tau=-a_2$とおけば第３式が成り立つ．

第２式$\m{v}’_2=-\kappa\m{v}_1+\tau\m{v}_3$の証明

$\m{v}_1$, $\m{v}_2$, $\m{v}_3$は$\R^3$の基底をなすから，

\begin{align*}\m{v}’_2=b_{1}\m{v}_1+b_{2}\m{v}_2+b_{3}\m{v}_3\end{align*}

で$b_{i}:(\alpha,\beta)\to\R$（$i=1,2,3$）を定めることができる．$b_{2}\equiv0$, $b_{1}=-\kappa$, $b_{3}=\tau$を示せばよい．

$\|\m{v}_2\|=1$だから，補題より$\anb{\m{v}_2,\m{v}’_2}\equiv0$が成り立つので

\begin{align*}0\equiv\anb{\m{v}_2,b_{1}\m{v}_1+b_{2}\m{v}_2+b_{3}\m{v}_3}=b_{2}\end{align*}

が成り立つ．また，内積の微分公式と，上で示した第１式を併せて

\begin{align*}\kappa&=\kappa\anb{\m{v}_2,\m{v}_2}=\anb{\m{v}_2,\kappa\m{v}_2}=\anb{\m{v}_2,\m{v}’_1}
\\&=\anb{\m{v}_2,\m{v}_1}’-\anb{\m{v}’_2,\m{v}_1}
\\&=0′-\anb{b_{1}\m{v}_1+b_{3}\m{v}_3,\m{v}_1}=-b_{1}\end{align*}

だから$b_{1}=-\kappa$が成り立つ．さらに，内積の微分公式と，上で示した第３式を併せて

\begin{align*}\tau&=\tau\anb{\m{v}_2,\m{v}_2}=\anb{\m{v}_2,\tau\m{v}_2}=-\anb{\m{v}_2,\m{v}’_3}
\\&=-\{\anb{\m{v}_2,\m{v}_3}’-\anb{\m{v}’_2,\m{v}_3}\}
\\&=0′-\anb{-\kappa\m{v}_1+b_{3}\m{v}_3,\m{v}_3}=b_{3}\end{align*}

だから$b_{3}=\tau$が成り立つ．よって，第２式が成り立つ．