gradとdivとrot|ベクトル解析の基本の微分公式のまとめ

ベクトル解析
ベクトル解析

ベクトル解析において,3つの微分作用素

  • 勾配$\operatorname{grad}$
  • 発散$\operatorname{div}$
  • 回転$\operatorname{rot}$ ($\operatorname{curl}$)

は基本的で,多くの場面で現れます.

とくに積に関する微分(例えば$\operatorname{div}{f\m{v}}$, $\operatorname{grad}(fg)$など)はよく現れ,これは公式として当たり前に使えるようになっておきたいところです.

この記事では,これら3つの基本の微分作用素の

  • 和の微分公式
  • 積の微分公式
  • 内積/外積の微分公式

をまとめます.

なお,勾配$\operatorname{grad}$,発散$\operatorname{div}$,回転$\operatorname{rot}$の定義とイメージについては以下の記事を参照してください.

gradとdivとrotの定義と直感的な考え方|ナブラ∇に関する微分作用素
ベクトル解析においては,勾配grad,発散div,回転rot(curl)の3つが重要な微分作用素で,数学のみならず物理でも広く現れます.この記事では,この3つの微分作用素の定義とイメージを説明し,これらのナブラ∇による表し方も説明します.

3つの微分作用素の確認

この記事では

  • 第$i$変数$x_i$に関する偏微分を$\partial_{i}$
  • 3変数$\m{x}=\bmat{x\\y\\z}$の場合には,$x,y,z$に関する偏微分をそれぞれ$\partial_x,\partial_y,\partial_z$

で表します.

これらは解析ではよく用いられる略記です.

勾配$\operatorname{grad}$,発散$\operatorname{div}$,回転$\operatorname{rot}$の定義を確認しておきましょう.大事なことは

  • 勾配$\operatorname{grad}$は関数$f:\R^n\to\R$に
  • 発散$\operatorname{div}$はベクトル値関数$\m{v}:\R^n\to\R^n$に
  • 回転$\operatorname{rot}$はベクトル値関数$\m{v}:\R^3\to\R^3$に

対して定義されるという点です.

各変数について偏微分可能な関数$f:\R^n\to\R$に対して,

   \begin{align*}\operatorname{grad}f:=\bmat{\partial_{1}f\\\vdots\\\partial_{n}f}\end{align*}

で$\operatorname{grad}f:\R^n\to\R^n$を定め,これを$f$の勾配 (gradient)という.

各変数について偏微分可能なベクトル値関数$\m{v}:\R^n\to\R^n$に対して,

   \begin{align*}\operatorname{div}\m{v}:=\sum_{i=1}^{n}\partial_{i}v_i\end{align*}

で$\operatorname{div}\m{v}:\R^n\to\R$を定め,これを$\m{v}$の発散 (divergence)という.

各変数について偏微分可能なベクトル値関数$\m{v}:\R^3\to\R^3$に対して,

   \begin{align*}\operatorname{rot}\m{v}:=\bmat{\partial_{y}w-\partial_{z}v\\\partial_{z}u-\partial_{x}w\\\partial_{x}x-\partial_{y}u}\end{align*}

で$\operatorname{rot}\m{v}:\R^3\to\R^3$を定め,これを$\m{v}$の回転 (rotation,curl)という.$\operatorname{rot}\m{v}$は$\operatorname{curl}\m{v}$と表すこともある.

ナブラ(nabla)$\nabla:=\bmat{\partial_1\\\vdots\\\partial_n}$を使うと,

   \begin{align*}\operatorname{grad}f=\nabla f,\quad \operatorname{div}\m{v}=\nabla\cdot\m{v},\quad \operatorname{rot}\m{v}=\nabla\times\m{v}\end{align*}

と(形式的に)表せるのでしたね.この記法について詳しくは以下の記事を参照してください.

gradとdivとrotの定義と直感的な考え方|ナブラ∇に関する微分作用素
ベクトル解析においては,勾配grad,発散div,回転rot(curl)の3つが重要な微分作用素で,数学のみならず物理でも広く現れます.この記事では,この3つの微分作用素の定義とイメージを説明し,これらのナブラ∇による表し方も説明します.

gradとdivとrotの公式

以下では,$\operatorname{rot}$が関係する公式では3次元で考え,$\operatorname{rot}$が関係しない公式では任意の次元$n$で考えます.

また,

  • 関数を$f,g:\R^n\to\R$
  • ベクトル値関数を$\m{u}=\bmat{u_1\\\vdots\\u_n},\m{v}=\bmat{v_1\\\vdots\\v_n}:\R^n\to\R^n$

とします.

和・定数倍の微分公式

和の微分について,以下が成り立ちます.

関数$f,g:\R^n\to\R$と定数$\alpha,\beta\in\R$に対して,以下が成り立つ.

  • $\operatorname{grad}(\alpha f+\beta g)=\alpha\operatorname{grad}f+\beta\operatorname{grad}g$
  • $\operatorname{div}(\alpha \m{u}+\beta\m{v})=\alpha\operatorname{div}\m{u}+\beta\operatorname{div}\m{v}$
  • $\operatorname{rot}(\alpha \m{u}+\beta\m{v})=\alpha\operatorname{rot}\m{u}+\beta\operatorname{rot}\m{v}$

[$\operatorname{grad}$について] $\operatorname{grad}(\alpha f+\beta g)$の第$i$成分は

   \begin{align*}\partial_{i}(\alpha f+\beta g) =\alpha\partial_{i}f+\beta\partial_{i}g\end{align*}

となり,これは$\alpha\operatorname{grad}f+\beta\operatorname{grad}g$の第$i$成分に等しい($i=1,2,\dots,n$).

よって,$\operatorname{grad}(\alpha f+\beta g)=\alpha\operatorname{grad}f+\beta\operatorname{grad}g$が成り立つ.

[$\operatorname{div}$について]

   \begin{align*} \operatorname{div}(\alpha\m{u}+\beta\m{v}) =&\sum_{i=1}^{n}\partial_i(\alpha u_i+\beta v_i) \\=&\sum_{i=1}^{n}(\alpha\partial_{i}u_i+\beta\partial_{i}v_i) \\=&\alpha\sum_{i=1}^{n}\partial_{i}u_i+\beta\sum_{i=1}^{n}\partial_{i}v_i \\=&\alpha\operatorname{div}\m{u}+\beta\operatorname{div}\m{v} \end{align*}

が成り立つ.

[$\operatorname{rot}$について]

   \begin{align*} \operatorname{rot}(\alpha\m{u}+\beta\m{v}) =&\bmat{\partial_y(\alpha u_3+\beta v_3)-\partial_z(\alpha u_2+\beta v_2)\\ \partial_z(\alpha u_1+\beta v_1)-\partial_x(\alpha u_3+\beta v_3)\\ \partial_x(\alpha u_2+\beta v_2)-\partial_y(\alpha u_1+\beta v_1)} \\=&\bmat{\bra{\alpha\partial_{y}u_3+\beta\partial_{y}v_3}-\bra{\alpha\partial_{z}u_2+\beta\partial_{z}v_2}\\ \bra{\alpha\partial_{z}u_1+\beta\partial_{z}v_1}-\bra{\alpha\partial_{x}u_3+\beta\partial_{x}v_3}\\ \bra{\alpha\partial_{x}u_2+\beta\partial_{x}v_2}-\bra{\alpha\partial_{y}u_1+\beta\partial_{y}v_1}} \\=&\alpha\bmat{\partial_{y}u_3-\partial_{z}u_2\\\partial_{z}u_1-\partial_{x}u_3\\\partial_{x}u_2-\partial_{y}u_1} +\beta\bmat{\partial_{y}v_3-\partial_{z}v_2\\\partial_{z}v_1-\partial_{x}v_3\\\partial_{x}v_2-\partial_{y}v_1} \\=&\alpha\operatorname{rot}\m{u}+\beta\operatorname{rot}\m{v} \end{align*}

が成り立つ.

いずれも$\partial_i$ $(i=1,\dots,n)$の線形性から,同様に導かれていますね.

積の微分公式

関数$f,g:\R^n\to\R$とベクトル値関数$\m{v}:\R^n\to\R^n$に対して,

  • $fg:\R^n\to\R$
  • $f\m{v}=\bmat{fv_1\\\vdots\\fv_n}:\R^n\to\R^n$

となっていることに注意して下さい.これらについて,以下が成り立ちます.

関数$f,g:\R^n\to\R$とベクトル値関数$\m{v}:\R^n\to\R^n$に対して,以下が成り立つ.

  • $\operatorname{grad}(fg)=(\operatorname{grad}f)g+f(\operatorname{grad}g)$
  • $\operatorname{div}(f\m{v})=(\operatorname{grad}f)\cdot\m{v}+f(\operatorname{div}\m{v})$
  • $\operatorname{rot}(f\m{v})=(\operatorname{grad}f)\times\m{v}+f(\operatorname{rot}\m{v})$

[$\operatorname{grad}$について] $\operatorname{grad}(fg)$の第$i$成分は

   \begin{align*}\partial_{i}(fg)=(\partial_{i}f)g+f(\partial_{i}g)\end{align*}

となり,これは$(\operatorname{grad}f)g+f(\operatorname{grad}g)$の第$i$成分に等しい($i=1,2,\dots,n$).

よって,$\operatorname{grad}(fg)=(\operatorname{grad}f)g+f(\operatorname{grad}g)$が成り立つ.

[$\operatorname{div}$について]

   \begin{align*} \operatorname{div}(f\m{v}) =&\sum_{i=1}^{n}\partial_i(fv_i) \\=&\sum_{i=1}^{n}\{(\partial_{i}f)v_i+f(\partial_{i}v_i)\} \\=&\sum_{i=1}^{n}(\partial_{i}f)v_i+f\sum_{i=1}^{n}\partial_{i}v_i \\=&(\operatorname{div}f)\cdot\m{v}+f(\operatorname{div}\m{v}) \end{align*}

[$\operatorname{rot}$について]

   \begin{align*} \operatorname{rot}(f\m{v}) =&\bmat{\partial_y(fv_3)-\partial_z(fv_2)\\\partial_z(fv_1)-\partial_x(fv_3)\\\partial_x(fv_2)-\partial_y(fv_1)} \\=&\bmat{\bra{(\partial_{y}f)v_3+f(\partial_{y}v_3)}-\bra{(\partial_{z}f)v_2+f(\partial_{z}v_2)}\\ \bra{(\partial_{z}f)v_1+f(\partial_{z}v_1)}-\bra{(\partial_{x}f)v_3+f(\partial_{x}v_3)}\\ \bra{(\partial_{x}f)v_2+f(\partial_{x}v_2)}-\bra{(\partial_{y}f)v_1+f(\partial_{y}v_1)}} \\=&\bmat{(\partial_{y}f)v_3-(\partial_{z}f)v_2\\(\partial_{z}f)v_1-(\partial_{x}f)v_3\\(\partial_{x}f)v_2-(\partial_{y}f)v_1} +\bmat{f(\partial_{y}v_3)-f(\partial_{z}v_2)\\f(\partial_{z}v_1)-f(\partial_{x}v_3)\\f(\partial_{x}v_2)-f(\partial_{y}v_1)} \\=&(\operatorname{grad}f)\times\m{v}+f(\operatorname{rot}\m{v}) \end{align*}

いずれの場合も,高校数学以来親しんできた積の微分公式$(fg)’=f’g+fg’$と同様の形をしていますね.

内積・外積の微分公式

ベクトル値関数$\m{u},\m{v}:\R^3\to\R^3$に対して,

  • 内積$\m{u}\cdot\m{v}:\R^n\to\R$は関数
  • 外積$\m{u}\times\m{v}:\R^3\to\R^3$はベクトル値関数

となっていることに注意して下さい.これらについて,以下が成り立ちます.

ベクトル値関数$\m{u}=\bmat{u_1\\u_2\\u_3},\m{v}=\bmat{v_1\\v_2\\v_3}:\R^3\to\R^3$に対して,以下が成り立つ.

  • $\operatorname{grad}(\m{u}\cdot\m{v})=\bmat{(\operatorname{grad}u_1)\cdot\m{v}\\(\operatorname{grad}u_2)\cdot\m{v}\\(\operatorname{grad}u_3)\cdot\m{v}}+\bmat{(\operatorname{grad}v_1)\cdot\m{u}\\(\operatorname{grad}v_2)\cdot\m{u}\\(\operatorname{grad}u_3)\cdot\m{u}}+\m{u}\times(\operatorname{rot}\m{v})+\m{v}\times(\operatorname{rot}\m{u})$
  • $\operatorname{div}(\m{u}\times\m{v})=(\operatorname{rot}\m{u})\cdot\m{v}-\m{u}\cdot(\operatorname{rot}\m{v})$
  • $\operatorname{rot}(\m{u}\times\m{v})=\bmat{(\operatorname{grad}u_1)\cdot\m{v}\\(\operatorname{grad}u_2)\cdot\m{v}\\(\operatorname{grad}u_3)\cdot\m{v}}-\bmat{(\operatorname{grad}v_1)\cdot\m{u}\\(\operatorname{grad}v_2)\cdot\m{u}\\(\operatorname{grad}u_3)\cdot\m{u}}+\m{u}(\operatorname{div}\m{v})-\m{v}(\operatorname{div}\m{u})$

[$\operatorname{grad}$について] $\operatorname{grad}(\m{u}\cdot\m{v})$の第1成分は

   \begin{align*} &\partial_{x}(\m{u}\cdot\m{v}) \\=&\partial_{x}(u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3) \\=&(\partial_{x}u_1)v_1+u_1(\partial_{x}v_1)+(\partial_{x}u_2)v_2+u_2(\partial_{x}v_2)+(\partial_{x}u_3)v_3+u_3(\partial_{x}v_3) \\=&\{(\partial_{x}u_1)v_1+(\partial_{y}u_1)v_2+(\partial_{z}u_1)v_3\} +\{(\partial_{x}v_1)u_1+(\partial_{y}v_1)u_2+(\partial_{z}v_1)u_3\} \\&+\{u_2(\partial_{x}v_2-\partial_{y}v_1)-u_3(\partial_{z}v_1-\partial_{x}v_3)\} +\{v_2(\partial_{x}u_2-\partial_{y}u_1)-v_3(\partial_{z}u_1-\partial_{x}u_3)\} \\=&(\operatorname{grad}u_1)\cdot\m{v}+(\operatorname{grad}v_1)\cdot\m{u} \\&+\bra{u_2\vmat{\partial_{x}&v_1\\\partial_{y}&v_2}-u_3\vmat{\partial_{z}&v_3\\\partial_{x}&v_1}} +\bra{v_2\vmat{\partial_{x}&u_1\\\partial_{y}&u_2}-v_3\vmat{\partial_{z}&u_3\\\partial_{x}&u_1}} \end{align*}

となり,これは$\bmat{(\operatorname{grad}u_1)\cdot\m{v}\\(\operatorname{grad}u_2)\cdot\m{v}\\(\operatorname{grad}u_3)\cdot\m{v}}+\bmat{(\operatorname{grad}v_1)\cdot\m{u}\\(\operatorname{grad}v_2)\cdot\m{u}\\(\operatorname{grad}u_3)\cdot\m{u}}+\m{u}\times(\operatorname{rot}\m{v})+\m{v}\times(\operatorname{rot}\m{u})$の第1成分に等しい.

各成分の対称性から第2成分,第3成分でも両辺が等しいことが分かる.

[$\operatorname{div}$について]

   \begin{align*} &\operatorname{div}(\m{u}\times\m{v}) \\=&\partial_{x}\vmat{u_2&v_2\\u_3&v_3}+\partial_{y}\vmat{u_3&v_3\\u_1&v_1}+\partial_{z}\vmat{u_1&v_1\\u_2&v_2} \\=&\partial_{x}(u_2v_3-u_3v_2)+\partial_{y}(u_3v_1-u_1v_3)+\partial_{z}(u_1v_2-u_2v_1) \\=&[\{(\partial_{x}u_2)v_3+u_2(\partial_{x}v_3)\}-\{(\partial_{x}u_3)v_2+u_3(\partial_{x}v_2)\}] \\&+[\{(\partial_{y}u_3)v_1+u_3(\partial_{y}v_1)\}-\{(\partial_{y}u_1)v_3+u_1(\partial_{y}v_3)\}] \\&+[\{(\partial_{z}u_1)v_2+u_1(\partial_{z}v_2)\}-\{(\partial_{z}u_2)v_1+u_2(\partial_{z}v_1)\}] \\=&\{(\partial_{y}u_3-\partial_{z}u_2)v_1+(\partial_{z}u_1-\partial_{x}u_3)v_2+(\partial_{x}u_2-\partial_{y}u_1)v_3\} \\&-\{(\partial_{y}v_3-\partial_{z}v_2)u_1+(\partial_{z}v_1-\partial_{x}v_3)u_2+(\partial_{x}v_2-\partial_{y}v_1)u_3\} \\=&\bra{\vmat{\partial_{y}&u_2\\\partial_{z}&u_3}v_1+\vmat{\partial_{z}&u_3\\\partial_{x}&u_1}v_2+\vmat{\partial_{x}&u_1\\\partial_{y}&u_2}v_3} \\&-\bra{u_1\vmat{\partial_{y}&v_2\\\partial_{z}&v_3}+u_2\vmat{\partial_{z}&v_3\\\partial_{x}&v_1}+u_3\vmat{\partial_{x}&v_1\\\partial_{y}&v_2}} \\=&(\operatorname{rot}\m{u})\cdot\m{v}-\m{u}\cdot(\operatorname{rot}\m{v}) \end{align*}

[$\operatorname{rot}$について] $\operatorname{rot}(\m{u}\times\m{v})$の第1成分は

   \begin{align*} &\vmat{\partial_{y}&u_3v_1-u_1v_3\\\partial_{z}&u_1v_2-u_2v_1} \\=&\partial_{y}(u_1v_2-u_2v_1)-\partial_{z}(u_3v_1-u_1v_3) \\=&[\{(\partial_{y}u_1)v_2+u_1(\partial_{y}v_2)\}-\{(\partial_{y}u_2)v_1+u_2(\partial_{y}v_1)\}] \\&-[\{(\partial_{z}u_3)v_1+u_3(\partial_{z}v_1)\}-\{(\partial_{z}u_1)v_3+u_1(\partial_{z}v_3)\}] \\=&\{(\partial_{x}u_1)v_1+(\partial_{y}u_1)v_2+(\partial_{z}u_1)v_3\}-\{(\partial_{x}v_1)u_1+(\partial_{y}v_1)u_2+(\partial_{z}v_1)u_3\} \\&+u_1(\partial_{x}v_1+\partial_{y}v_2+\partial_{z}v_3)-v_1(\partial_{x}u_1+\partial_{y}u_2+\partial_{z}u_3) \\=&(\operatorname{grad}u_1)\cdot\m{v}-(\operatorname{grad}v_1)\cdot\m{u}+u_1(\operatorname{div}\m{v})-v_1(\operatorname{div}\m{u}) \end{align*}

となり,これは$\bmat{(\operatorname{grad}u_1)\cdot\m{v}\\(\operatorname{grad}u_2)\cdot\m{v}\\(\operatorname{grad}u_3)\cdot\m{v}}-\bmat{(\operatorname{grad}v_1)\cdot\m{u}\\(\operatorname{grad}v_2)\cdot\m{u}\\(\operatorname{grad}u_3)\cdot\m{u}}+\m{u}(\operatorname{div}\m{v})-\m{v}(\operatorname{div}\m{u})$の第1成分に等しい.

各成分の対称性から第2成分,第3成分でも両辺が等しいことが分かる.

先ほどの公式よりも少し複雑ですが,やはりいずれの場合も単純な計算で導けますね.

ナブラ$\nabla$を用いた形

ナブラ$\nabla:=\bmat{\partial_1\\\vdots\\\partial_n}$を用いると,以上の公式は次のようになります.

定数$\alpha,\beta\in\R$に対して,次が成り立つ.

  • $\nabla(\alpha f+\beta g)=\alpha\nabla f+\beta\nabla g$
  • $\nabla\cdot(\alpha \m{u}+\beta\m{v})=\alpha\nabla\cdot\m{u}+\beta\nabla\cdot\m{v}$
  • $\nabla\times(\alpha \m{u}+\beta\m{v})=\alpha\nabla\times\m{u}+\beta\nabla\times\m{v}$

関数$f,g:\R^n\to\R$とベクトル値関数$\m{v}:\R^n\to\R^n$に対して,以下が成り立つ.

  • $\nabla(fg)=(\nabla f)g+f(\nabla g)$
  • $\nabla\cdot(f\m{v})=(\nabla f)\cdot\m{v}+f(\nabla\cdot\m{v})$
  • $\nabla\times(f\m{v})=(\nabla f)\times\m{v}+f(\nabla\times\m{v})$

ベクトル値関数$\m{u},\m{v}:\R^3\to\R^3$に対して,以下が成り立つ.

  • $\nabla(\m{u}\cdot\m{v})=(\nabla\otimes\m{u})^T\m{v}+(\nabla\otimes\m{v})^T\m{u}+\m{u}\times(\nabla\times\m{v})+\m{v}\times(\nabla\times\m{u})$
  • $\nabla\cdot(\m{u}\times\m{v})=(\nabla\times\m{u})\cdot\m{v}-\m{u}\cdot(\nabla\times\m{v})$
  • $\nabla\times(\m{u}\times\m{v})=(\nabla\otimes\m{u})^T\m{v}-(\nabla\otimes\m{v})^T\m{u}+\m{u}(\nabla\cdot\m{v})-\m{v}(\nabla\cdot\m{u})$

ただし,最後の内積・外積に関する微分公式について,$\nabla\otimes\m{v}$は

   \begin{align*} (\nabla\otimes\m{v})^T =&\bmat{\partial_{x}v_1&\partial_{y}v_1&\partial_{z}v_1\\\partial_{x}v_2&\partial_{y}v_2&\partial_{z}v_2\\\partial_{x}v_3&\partial_{y}v_3&\partial_{z}v_3} \\=&\bmat{(\operatorname{grad}v_1)^T\\(\operatorname{grad}v_2)^T\\(\operatorname{grad}u_3)^T} =\bmat{(\nabla v_1)^T\\(\nabla v_2)^T\\(\nabla u_3)^T} \end{align*}

で定まるベクトルです.

管理人

プロフィール

山本やまもと 拓人たくと

元予備校講師.講師として駆け出しの頃から予備校の生徒アンケートで抜群の成績を残し,通常の8倍の報酬アップを提示されるなど頭角を表す.

飛び級・首席合格で大学院に入学しそのまま首席修了するなど数学の深い知識をもち,本質をふまえた分かりやすい授業に定評がある.

現在はオンライン家庭教師,社会人向け数学教室での講師としての教育活動とともに,京都大学で数学の研究も行っている.専門は非線形偏微分方程式論.大学数学系YouTuberとしても活動中.

趣味は数学,ピアノ,甘いもの食べ歩き.公式LINEを友達登録で【限定プレゼント】配布中.

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あーるえぬ

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