ベクトル解析の基本の微分公式のまとめ

ベクトル解析において，３つの微分作用素

勾配 $\operatorname{grad}$
発散 $\operatorname{div}$
回転 $\operatorname{rot}$ ( $\operatorname{curl}$ )

は基本的で，多くの場面で現れます．

とくに積に関する微分(例えば $\operatorname{div}{f\m{v}}$ , $\operatorname{grad}(fg)$ など)はよく現れ，これは公式として当たり前に使えるようになっておきたいところです．

この記事では，これら３つの基本の微分作用素の

和の微分公式
積の微分公式
内積/外積の微分公式

をまとめます．

なお，それぞれの微分作用素の定義とイメージについては以下の記事を参照してください．

【gradとdivとrotのイメージ｜ナブラ∇に関する３つの微分作用素】

この記事では， $\operatorname{grad}$ と $\operatorname{div}$ と $\operatorname{rot}$ の定義を述べ，それぞれの微分作用素が何を表すのかイメージから説明します．また，これら３つは(形式的に)ナブラ $\nabla$ を用いて表すこともできます．

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準備

以下では

第 $i$ 変数を $x_i$ として $x_i$ に関する偏微分を $\partial_{i}$ で表し
とくに３変数の場合には $\m{x}=\bmat{x\\y\\z}\in\R^3$ を変数として $\alpha=x,y,z$ に関する偏微分を $\partial_{\alpha}$ で表します：

$\begin{align*} \partial_i:=\pd{}{x_i},\ \partial_x:=\pd{}{x},\ \partial_y:=\pd{}{y},\ \partial_z:=\pd{}{z}. \end{align*}$

解析ではよく用いられる略記ですね．

３つの微分作用素

３つの微分作用素の定義は以下の通りです．

各変数について偏微分可能な関数 $f:\R^n\to\R$ に対して，

$\begin{align*} \operatorname{grad}f:=\bmat{\partial_{1}f\\\vdots\\\partial_{n}f} \end{align*}$

で $\operatorname{grad}f:\R^n\to\R^n$ を定め，これを $f$ の勾配 (gradient)という．

各変数について偏微分可能なベクトル値関数 $\m{v}:\R^n\to\R^n$ に対して，

$\begin{align*} \operatorname{div}\m{v}:=\sum_{i=1}^{n}\partial_{i}v_i \bra{=\partial_{1}v_1+\dots+\partial_{n}v_n} \end{align*}$

で $\operatorname{div}\m{v}:\R^n\to\R$ を定め，これを $\m{v}$ の発散 (divergence)という．

各変数について偏微分可能なベクトル値関数 $\m{v}:\R^3\to\R^3$ に対して，

$\begin{align*} \operatorname{rot}\m{v}:=\bmat{\partial_{y}w-\partial_{z}v\\\partial_{z}u-\partial_{x}w\\\partial_{x}x-\partial_{y}u} \end{align*}$

で $\operatorname{rot}\m{v}:\R^3\to\R^3$ を定め，これを $\m{v}$ の回転 (rotation,curl)という． $\operatorname{rot}\m{v}$ は $\operatorname{curl}\m{v}$ と表すこともある．

このように

勾配 $\operatorname{grad}$ は関数 $f:\R^n\to\R$ に
発散 $\operatorname{div}$ はベクトル値関数 $\m{v}:\R^n\to\R^n$ に
回転 $\operatorname{rot}$ はベクトル値関数 $\m{v}:\R^3\to\R^3$ に

定義します．

ナブラ(nabla) $\nabla$ を使うと，いまみた３つの微分作用素 $\operatorname{grad}$ , $\operatorname{div}$ , $\operatorname{rot}$ をスッキリ表すことができるのでした．

変数 $\m{x}=(x_1,\dots,x_n)$ に関して， $\nabla:=\bmat{\partial_1\\\vdots\\\partial_n}$ と(形式的に)定め，

$\operatorname{grad}f=\nabla f$
$\operatorname{div}\m{v}=\nabla\cdot\m{v}$
$\operatorname{rot}\m{v}=\nabla\times\m{v}$

と表す．

ただし， $\operatorname{div}$ の内積 $\nabla\cdot\m{v}$ は可換ではなく， $\m{v}\cdot\nabla$ と書くと違う意味になってしまうので注意してください．

なお，それぞれの定義とイメージについては以下の記事を参照してください．

【gradとdivとrotのイメージ｜ナブラ∇に関する３つの微分作用素】

この記事では， $\operatorname{grad}$ と $\operatorname{div}$ と $\operatorname{rot}$ のイメージを，具体例を用いて丁寧に説明しています．また，これらの合成作用素に関する基本の恒等式も紹介しています．

テンソル積

最後の[内積・外積の微分公式]でしか用いませんが，テンソル積 (tensor product)を説明します．

$\m{x},\m{y}\in\R^n$ に対して，

$\begin{align*} \m{x}\otimes\m{y} :=&\m{x}\m{y}^T \end{align*}$

を $\m{x}$ , $\m{y}$ のテンソル積 (tensor product)という．

$\m{x}=\bmat{x_1\\\vdots\\x_n}$ , $\m{y}=\bmat{y_1\\\vdots\\y_n}$ としてテンソル積 $\m{x}\otimes\m{y}$ を成分で表せば，

$\begin{align*} \m{x}\otimes\m{y} =\bmat{x_1\\\vdots\\x_n}[y_1,\dots,y_n] =\bmat{x_1y_1&\dots&x_1y_n\\\vdots&\ddots&\vdots\\x_ny_1&\dots&x_ny_n} \end{align*}$

となりますね．この記事では， $\nabla$ とのテンソル積を以下のように定義して用います．

$\m{v}\in\R^n$ に対して，

$\begin{align*} \nabla\otimes\m{v} =&\bmat{\partial_{1}v_1&\dots&\partial_{1}v_n\\\vdots&\ddots&\vdots\\\partial_{n}v_1&\dots&\partial_{n}v_n} \end{align*}$

と表す．

この $\nabla\otimes\m{v}$ の第 $i$ 列は $\nabla v_i$ なので，

$\begin{align*} \nabla\otimes\m{v} =[\nabla v_1,\dots,\nabla v_n] \end{align*}$

とも表せますね．なお，この記事では３次元でのテンソル積 $\nabla\otimes\m{v}$ の転置

$\begin{align*} (\nabla\otimes\m{v})^T =&\bmat{\partial_{x}v_1&\partial_{y}v_1&\partial_{z}v_1\\\partial_{x}v_2&\partial_{y}v_2&\partial_{z}v_2\\\partial_{x}v_3&\partial_{y}v_3&\partial_{z}v_3} \\=&\bmat{(\operatorname{grad}v_1)^T\\(\operatorname{grad}v_2)^T\\(\operatorname{grad}u_3)^T} =\bmat{(\nabla v_1)^T\\(\nabla v_2)^T\\(\nabla u_3)^T} \end{align*}$

を多く用います．

gradとdivとrotの公式

以下では， $\operatorname{rot}$ が関係する公式では３次元で考え， $\operatorname{rot}$ が関係しない公式では任意の次元 $n$ で考えます．

また，

関数を $f,g:\R^n\to\R$
ベクトル値関数を $\m{u}=\bmat{u_1\\\vdots\\u_n},\m{v}=\bmat{v_1\\\vdots\\v_n}:\R^n\to\R^n$

とします．

和の微分公式

和の微分について，以下が成り立ちます．

定数 $\alpha,\beta\in\R$ に対して，以下が成り立つ．

$\operatorname{grad}(\alpha f+\beta g)=\alpha\operatorname{grad}f+\beta\operatorname{grad}g$
$\operatorname{div}(\alpha \m{u}+\beta\m{v})=\alpha\operatorname{div}\m{u}+\beta\operatorname{div}\m{v}$
$\operatorname{rot}(\alpha \m{u}+\beta\m{v})=\alpha\operatorname{rot}\m{u}+\beta\operatorname{rot}\m{v}$

なお，これらは $\nabla$ を使えば以下のようにも表せる．

$\nabla(\alpha f+\beta g)=\alpha\nabla f+\beta\nabla g$
$\nabla\cdot(\alpha \m{u}+\beta\m{v})=\alpha\nabla\cdot\m{u}+\beta\nabla\cdot\m{v}$
$\nabla\times(\alpha \m{u}+\beta\m{v})=\alpha\nabla\times\m{u}+\beta\nabla\times\m{v}$

なお，３つの微分作用素の定義から

１つ目の等式はベクトルの等式
２つ目の等式はスカラーの等式
３つ目の等式はベクトルの等式

となっていることに注意してください．

(1)　 $\operatorname{grad}$ について，任意の $i\in\{1,\dots,n\}$ に対して， $\nabla(\alpha f+\beta g)$ の第 $i$ 成分は

$\begin{align*} \partial_{i}(\alpha f+\beta g) =\alpha\partial_{i}f+\beta\partial_{i}g \end{align*}$

となり，これは $\alpha\nabla f+\beta\nabla g$ の第 $i$ 成分に一致する．よって， $\nabla(\alpha f+\beta g)=\alpha\nabla f+\beta\nabla g$ が成り立つ．

(2)　 $\operatorname{div}$ について

$\begin{align*} \nabla\cdot(\alpha\m{u}+\beta\m{v}) =&\sum_{i=1}^{n}\partial_i(\alpha u_i+\beta v_i) \\=&\sum_{i=1}^{n}(\alpha\partial_{i}u_i+\beta\partial_{i}v_i) \\=&\alpha\sum_{i=1}^{n}\partial_{i}u_i+\beta\sum_{i=1}^{n}\partial_{i}v_i \\=&\alpha\nabla\cdot\m{u}+\beta\nabla\cdot\m{v} \end{align*}$

が成り立つ．

(3)　 $\operatorname{rot}$ について

$\begin{align*} \nabla\times(\alpha\m{u}+\beta\m{v}) =&\bmat{\partial_y(\alpha u_3+\beta v_3)-\partial_z(\alpha u_2+\beta v_2)\\ \partial_z(\alpha u_1+\beta v_1)-\partial_x(\alpha u_3+\beta v_3)\\ \partial_x(\alpha u_2+\beta v_2)-\partial_y(\alpha u_1+\beta v_1)} \\=&\bmat{\bra{\alpha\partial_{y}u_3+\beta\partial_{y}v_3}-\bra{\alpha\partial_{z}u_2+\beta\partial_{z}v_2}\\ \bra{\alpha\partial_{z}u_1+\beta\partial_{z}v_1}-\bra{\alpha\partial_{x}u_3+\beta\partial_{x}v_3}\\ \bra{\alpha\partial_{x}u_2+\beta\partial_{x}v_2}-\bra{\alpha\partial_{y}u_1+\beta\partial_{y}v_1}} \\=&\alpha\bmat{\partial_{y}u_3-\partial_{z}u_2\\\partial_{z}u_1-\partial_{x}u_3\\\partial_{x}u_2-\partial_{y}u_1} +\beta\bmat{\partial_{y}v_3-\partial_{z}v_2\\\partial_{z}v_1-\partial_{x}v_3\\\partial_{x}v_2-\partial_{y}v_1} \\=&\alpha\nabla\times\m{u}+\beta\nabla\times\m{v} \end{align*}$

が成り立つ．

ベクトルが等しいとは全ての成分が等しいことでしたから，(1)と(3)では全ての成分が等しいことを示しているわけですね．

なお，いずれも $\partial_i$ $(i=1,\dots,n)$ の線形性から，同様に導かれていますね．

積の微分公式

関数 $f,g:\R^n\to\R$ とベクトル値関数 $\m{v}:\R^n\to\R^n$ に対して，

$fg:\R^n\to\R$ は関数
$f\m{v}=\bmat{fv_1\\\vdots\\fv_n}:\R^n\to\R^n$ はベクトル値関数

なので，

$fg:\R^n\to\R$ には $\operatorname{grad}$ が
$f\m{v}:\R^n\to\R^n$ には $\operatorname{div}$ が
$\m{u}\m{v}:\R^3\to\R^3$ には $\operatorname{rot}$ が

それぞれ定義できますね．

これについて，以下が成り立ちます．

関数の積について，以下が成り立つ．

$\operatorname{grad}(fg)=(\operatorname{grad}f)g+f(\operatorname{grad}g)$
$\operatorname{div}(f\m{v})=(\operatorname{grad}f)\cdot\m{v}+f(\operatorname{div}\m{v})$
$\operatorname{rot}(f\m{v})=(\operatorname{grad}f)\times\m{v}+f(\operatorname{rot}\m{v})$

なお，これらは $\nabla$ を使えば以下のようにも表せる．

$\nabla(fg)=(\nabla f)g+f(\nabla g)$
$\nabla\cdot(f\m{v})=(\nabla f)\cdot\m{v}+f(\nabla\cdot\m{v})$
$\nabla\times(f\m{v})=(\nabla f)\times\m{v}+f(\nabla\times\m{v})$

いずれの場合も，高校数学以来親しんできた積の微分公式 $(fg)'=f'g+fg'$ と同様の形をしていますね．

(1)　 $\operatorname{grad}$ について，任意の $i\in\{1,\dots,n\}$ に対して， $\nabla(fg)$ の第 $i$ 成分は

$\begin{align*} \partial_{i}(fg) =(\partial_{i}f)g+f(\partial_{i}g) \end{align*}$

となり，これは $(\nabla f)g+f(\nabla g)$ の第 $i$ 成分に一致する．よって， $\nabla(fg)=(\nabla f)g+f(\nabla g)$ が成り立つ．

(2)　 $\operatorname{div}$ について

$\begin{align*} \nabla\cdot(f\m{v}) =&\sum_{i=1}^{n}\partial_i(fv_i) \\=&\sum_{i=1}^{n}\{(\partial_{i}f)v_i+f(\partial_{i}v_i)\} \\=&\sum_{i=1}^{n}(\partial_{i}f)v_i+f\sum_{i=1}^{n}\partial_{i}v_i \\=&(\nabla f)\cdot\m{v}+f(\nabla\cdot\m{v}) \end{align*}$

(3)　 $\operatorname{rot}$ について

$\begin{align*} \nabla\times(f\m{v}) =&\bmat{\partial_y(fv_3)-\partial_z(fv_2)\\\partial_z(fv_1)-\partial_x(fv_3)\\\partial_x(fv_2)-\partial_y(fv_1)} \\=&\bmat{\bra{(\partial_{y}f)v_3+f(\partial_{y}v_3)}-\bra{(\partial_{z}f)v_2+f(\partial_{z}v_2)}\\ \bra{(\partial_{z}f)v_1+f(\partial_{z}v_1)}-\bra{(\partial_{x}f)v_3+f(\partial_{x}v_3)}\\ \bra{(\partial_{x}f)v_2+f(\partial_{x}v_2)}-\bra{(\partial_{y}f)v_1+f(\partial_{y}v_1)}} \\=&\bmat{(\partial_{y}f)v_3-(\partial_{z}f)v_2\\(\partial_{z}f)v_1-(\partial_{x}f)v_3\\(\partial_{x}f)v_2-(\partial_{y}f)v_1} +\bmat{f(\partial_{y}v_3)-f(\partial_{z}v_2)\\f(\partial_{z}v_1)-f(\partial_{x}v_3)\\f(\partial_{x}v_2)-f(\partial_{y}v_1)} \\=&(\nabla f)\times\m{v}+f(\nabla\times\m{v}) \end{align*}$

いずれの場合も $\partial_i$ $(i=1,\dots,n)$ に関する積の微分公式から簡単に導けていますね．

内積・外積の微分公式

ベクトル値関数 $\m{u},\m{v}:\R^n\to\R^n$ に対して，

$\m{u}\cdot\m{v}:\R^n\to\R$ は関数
$\m{u}\times\m{v}=\bmat{u_2v_3-u_3v_2\\u_3v_1-u_1v_3\\u_1v_2-u_2v_1}:\R^n\to\R^n$ はベクトル値関数

なので，

$\m{u}\cdot\m{v}:\R^n\to\R$ には $\operatorname{grad}$ が
$\m{u}\times\m{v}:\R^n\to\R^n$ には $\operatorname{div}$ と $\operatorname{rot}$ が

それぞれ定義できますね．

これについて，以下が成り立ちます．

$\R^3$ におけるベクトル値関数の内積・外積について，以下が成り立つ．

$\operatorname{grad}(\m{u}\cdot\m{v})=\bmat{(\operatorname{grad}u_1)\cdot\m{v}\\(\operatorname{grad}u_2)\cdot\m{v}\\(\operatorname{grad}u_3)\cdot\m{v}}+\bmat{(\operatorname{grad}v_1)\cdot\m{u}\\(\operatorname{grad}v_2)\cdot\m{u}\\(\operatorname{grad}u_3)\cdot\m{u}}+\m{u}\times(\operatorname{rot}\m{v})+\m{v}\times(\operatorname{rot}\m{u})$
$\operatorname{div}(\m{u}\times\m{v})=(\operatorname{rot}\m{u})\cdot\m{v}-\m{u}\cdot(\operatorname{rot}\m{v})$
$\operatorname{rot}(\m{u}\times\m{v})=\bmat{(\operatorname{grad}u_1)\cdot\m{v}\\(\operatorname{grad}u_2)\cdot\m{v}\\(\operatorname{grad}u_3)\cdot\m{v}}-\bmat{(\operatorname{grad}v_1)\cdot\m{u}\\(\operatorname{grad}v_2)\cdot\m{u}\\(\operatorname{grad}u_3)\cdot\m{u}}+\m{u}(\operatorname{div}\m{v})-\m{v}(\operatorname{div}\m{u})$

なお，これらは $\nabla$ を使えば以下のようにも表せる．

$\nabla(\m{u}\cdot\m{v})=(\nabla\otimes\m{u})^T\m{v}+(\nabla\otimes\m{v})^T\m{u}+\m{u}\times(\nabla\times\m{v})+\m{v}\times(\nabla\times\m{u})$
$\nabla\cdot(\m{u}\times\m{v})=(\nabla\times\m{u})\cdot\m{v}-\m{u}\cdot(\nabla\times\m{v})$
$\nabla\times(\m{u}\times\m{v})=(\nabla\otimes\m{u})^T\m{v}-(\nabla\otimes\m{v})^T\m{u}+\m{u}(\nabla\cdot\m{v})-\m{v}(\nabla\cdot\m{u})$

なお，先ほど説明したように

ですね．

(1)　 $\operatorname{grad}$ について， $\nabla(\m{u}\cdot\m{v})$ の第１成分は

$\begin{align*} &\partial_{x}(\m{u}\cdot\m{v}) \\=&\partial_{x}(u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3) \\=&(\partial_{x}u_1)v_1+u_1(\partial_{x}v_1)+(\partial_{x}u_2)v_2+u_2(\partial_{x}v_2)+(\partial_{x}u_3)v_3+u_3(\partial_{x}v_3) \\=&\{(\partial_{x}u_1)v_1+(\partial_{y}u_1)v_2+(\partial_{z}u_1)v_3\} +\{(\partial_{x}v_1)u_1+(\partial_{y}v_1)u_2+(\partial_{z}v_1)u_3\} \\&+\{u_2(\partial_{x}v_2-\partial_{y}v_1)-u_3(\partial_{z}v_1-\partial_{x}v_3)\} +\{v_2(\partial_{x}u_2-\partial_{y}u_1)-v_3(\partial_{z}u_1-\partial_{x}u_3)\} \\=&(\nabla u_1)\cdot\m{v}+(\nabla v_1)\cdot\m{u} \\&+\bra{u_2\vmat{\partial_{x}&v_1\\\partial_{y}&v_2}-u_3\vmat{\partial_{z}&v_3\\\partial_{x}&v_1}} +\bra{v_2\vmat{\partial_{x}&u_1\\\partial_{y}&u_2}-v_3\vmat{\partial_{z}&u_3\\\partial_{x}&u_1}} \end{align*}$

となり，これは $(\nabla\otimes\m{u})^T\m{v}+(\nabla\otimes\m{v})^T\m{u}+\m{u}\times(\nabla\times\m{v})+\m{v}\times(\nabla\times\m{u})$ の第１成分に一致する．

各成分の対称性から第２成分，第３成分に対しても成り立つ．

(2)　 $\operatorname{div}$ について，

$\begin{align*} &\nabla\cdot(\m{u}\times\m{v}) \\=&\partial_{x}\vmat{u_2&v_2\\u_3&v_3}+\partial_{y}\vmat{u_3&v_3\\u_1&v_1}+\partial_{z}\vmat{u_1&v_1\\u_2&v_2} \\=&\partial_{x}(u_2v_3-u_3v_2)+\partial_{y}(u_3v_1-u_1v_3)+\partial_{z}(u_1v_2-u_2v_1) \\=&[\{(\partial_{x}u_2)v_3+u_2(\partial_{x}v_3)\}-\{(\partial_{x}u_3)v_2+u_3(\partial_{x}v_2)\}] \\&+[\{(\partial_{y}u_3)v_1+u_3(\partial_{y}v_1)\}-\{(\partial_{y}u_1)v_3+u_1(\partial_{y}v_3)\}] \\&+[\{(\partial_{z}u_1)v_2+u_1(\partial_{z}v_2)\}-\{(\partial_{z}u_2)v_1+u_2(\partial_{z}v_1)\}] \\=&\{(\partial_{y}u_3-\partial_{z}u_2)v_1+(\partial_{z}u_1-\partial_{x}u_3)v_2+(\partial_{x}u_2-\partial_{y}u_1)v_3\} \\&-\{(\partial_{y}v_3-\partial_{z}v_2)u_1+(\partial_{z}v_1-\partial_{x}v_3)u_2+(\partial_{x}v_2-\partial_{y}v_1)u_3\} \\=&\bra{\vmat{\partial_{y}&u_2\\\partial_{z}&u_3}v_1+\vmat{\partial_{z}&u_3\\\partial_{x}&u_1}v_2+\vmat{\partial_{x}&u_1\\\partial_{y}&u_2}v_3} \\&-\bra{u_1\vmat{\partial_{y}&v_2\\\partial_{z}&v_3}+u_2\vmat{\partial_{z}&v_3\\\partial_{x}&v_1}+u_3\vmat{\partial_{x}&v_1\\\partial_{y}&v_2}} \\=&(\nabla\times\m{u})\cdot\m{v}-\m{u}\cdot(\nabla\times\m{v}) \end{align*}$

(3)　 $\operatorname{rot}$ について， $\nabla\times(\m{u}\times\m{v})$ の第１成分は

$\begin{align*} &\vmat{\partial_{y}&u_3v_1-u_1v_3\\\partial_{z}&u_1v_2-u_2v_1} \\=&\partial_{y}(u_1v_2-u_2v_1)-\partial_{z}(u_3v_1-u_1v_3) \\=&[\{(\partial_{y}u_1)v_2+u_1(\partial_{y}v_2)\}-\{(\partial_{y}u_2)v_1+u_2(\partial_{y}v_1)\}] \\&-[\{(\partial_{z}u_3)v_1+u_3(\partial_{z}v_1)\}-\{(\partial_{z}u_1)v_3+u_1(\partial_{z}v_3)\}] \\=&\{(\partial_{x}u_1)v_1+(\partial_{y}u_1)v_2+(\partial_{z}u_1)v_3\}-\{(\partial_{x}v_1)u_1+(\partial_{y}v_1)u_2+(\partial_{z}v_1)u_3\} \\&+u_1(\partial_{x}v_1+\partial_{y}v_2+\partial_{z}v_3)-v_1(\partial_{x}u_1+\partial_{y}u_2+\partial_{z}u_3) \\=&(\nabla\cdot u_1)\cdot\m{v}-(\nabla\cdot v_1)\cdot\m{u}+u_1(\nabla\cdot\m{v})-v_1(\nabla\cdot\m{u}) \end{align*}$

となり，これは $(\nabla\otimes\m{u})^T\m{v}-(\nabla\otimes\m{v})^T\m{u}+\m{u}(\nabla\cdot\m{v})-\m{v}(\nabla\cdot\m{u})$ の第１成分に一致する．

各成分の対称性から第２成分，第３成分に対しても成り立つ．