フルネ-セレの公式の導出｜空間曲線の曲率と捩率に関する公式

$\m{p}=\bmat{p_1\\p_2\\p_3}$, $\m{q}=\bmat{q_1\\q_2\\q_3}$とすると，内積の定義より

\begin{align*}\anb{\m{p},\m{q}}=p_1q_1+p_2q_2+p_3q_3=\sum_{i=1}^{3}p_iq_i\end{align*}

なので，積の微分公式を用いて

\begin{align*}\od{}{t}\anb{\m{p},\m{q}}
&=\sum_{i=1}^{3}\bra{{p_i}’q_i+p_i{q_i}’}
\\&=\sum_{i=1}^{3}{p_i}’q_i+\sum_{i=1}^{3}p_i{q_i}’
\\&=\anb{\m{p}’,\m{q}}+\anb{\m{p},\m{q}’}\end{align*}

が成り立つ．

$\m{p}=\bmat{p_1\\p_2\\p_3}$, $\m{q}=\bmat{q_1\\q_2\\q_3}$とすると，外積の定義より

\begin{align*}\m{p}\times \m{q}=\bmat{p_2q_3-p_3q_2\\p_3q_1-p_1q_3\\p_1q_2-p_2q_1}\end{align*}

なので，各成分で積の微分公式を用いて

\begin{align*}\od{}{t}(\m{p}\times \m{q})
&=\bmat{{p_2}’q_3+p_2{q_3}’-{p_3}’q_2-p_3{q_2}’\\{p_3}’q_1+p_3{q_1}’-{p_1}’q_3-p_1{q_3}’\\{p_1}’q_2+p_1{q_2}’-{p_2}’q_1-p_2{q_1}’}
\\&=\bmat{{p_2}’q_3-{p_3}’q_2\\{p_3}’q_1-{p_1}’q_3\\{p_1}’q_2-{p_2}’q_1}+\bmat{p_2{q_3}’-p_3{q_2}’\\p_3{q_1}’-p_1{q_3}’\\p_1{q_2}’-p_2{q_1}’}
\\&=\m{p}’\times \m{q}+\m{p}\times \m{q}’\end{align*}

が従う．

$\|\m{r}\|$が一定なら，定数$C\ge0$を$C\equiv\anb{\m{r},\m{r}}$で定めることができる．

両辺を微分すると，内積の微分公式より

\begin{align*}0\equiv\anb{\m{r}’,\m{r}}+\anb{\m{r},\m{r}’}=2\anb{\m{r},\m{r}’}\end{align*}

が分かる．よって，両辺を２で割って$0\equiv\anb{\m{r},\m{r}’}$が従う．

$\m{v}_1$, $\m{v}_2$の定義より，

\begin{align*}&\|\m{v}_1\|=\nor{\frac{\m{r}’}{\|\m{r}’\|}}=\frac{1}{\|\m{r}’\|}\|\m{r}’\|=1
\\&\m{v}_2=\nor{\frac{{\m{v}_1}’}{\|{\m{v}_1}’\|}}=\frac{1}{\|{\m{v}_1}’\|}\|{\m{v}_1}’\|=1\end{align*}

である．また，$|\m{v}_1\|=1$だから［補題］より

\begin{align*}\anb{\m{v}_1,\m{v}_2}=\anb{\m{v}_1,\frac{{\m{v}_1}’}{\|{\m{v}_1}’\|}}=\frac{1}{\|{\m{v}_1}’\|}\anb{\m{v}_1,{\m{v}_1}’}=0\end{align*}

である．さらに，外積の性質より$\m{v}_3=\m{v}_1\times \m{v}_2$は$\m{v}_1$, $\m{v}_2$と直交し，

\begin{align*}\|\m{v}_3\|=\abs{\|\m{v}_1\|\|\m{v}_2\|\sin{\bra{\pm\frac{\pi}{2}}}}=1\end{align*}

である．

任意の$t\in(\alpha,\beta)$に対して$\m{v}_1(t)$, $\m{v}_2(t)$, $\m{v}_3(t)$は$\R^3$の基底をなすことに注意する．

第１式${\m{v}_1}’=\kappa\m{v}_2$の証明

$\m{v}_2$の定義の両辺に$\|{\m{v}_1}’\|$をかけて

\begin{align*}\m{v}_2=\frac{{\m{v}_1}’}{\|{\m{v}_1}’\|}\iff {\m{v}_1}’=\|{\m{v}_1}’\|\m{v}_2\end{align*}

が成り立つので，$a_{11}=a_{13}\equiv0$と$a_{12}=\|{\m{v}_1}’\|\ge0$である．

よって，$\kappa=\|{\m{v}_1}’\|$とおけば$\kappa$は非負値で第１式が成り立つ．

第３式${\m{v}_3}’=-\tau\m{v}_2$の証明

${\m{v}_2}’$は$\m{v}_1$, $\m{v}_2$, $\m{v}_3$の線形結合で表せるから，

\begin{align*}{\m{v}_3}’=a_{1}\m{v}_1+a_{2}\m{v}_2+a_{3}\m{v}_3\end{align*}

で$a_{i}:(\alpha,\beta)\to\R$（$i=1,2,3$）を定める．$a_{1}=a_{3}\equiv0$を示せばよい．

$\|\m{v}_3\|=1$だから［補題］より$\anb{\m{v}_3,{\m{v}_3}’}\equiv0$が成り立つので

\begin{align*}0\equiv\anb{\m{v}_3,a_{1}\m{v}_1+a_{2}\m{v}_2+a_{3}\m{v}_3}=a_{3}\end{align*}

が成り立つ．また，内積の微分公式と，上で示した第１式を併せて

\begin{align*}a_{1}&=\anb{a_{1}\m{v}_1+a_{2}\m{v}_2,\m{v}_1}=a_{1}\anb{{\m{v}_3}’,\m{v}_1}
\\&=(\anb{\m{v}_3,\m{v}_1})’-\anb{\m{v}_3,{\m{v}_1}’}
\\&=0′-\anb{\m{v}_3,\kappa\m{v}_2}=-\kappa\anb{\m{v}_3,\m{v}_2}=0\end{align*}

が成り立つ．よって，$\tau=-a_{32}$とおけば第３式が成り立つ．

第２式${\m{v}_2}’=-\kappa\m{v}_1+\tau\m{v}_3$の証明

${\m{v}_2}’$は$\m{v}_1$, $\m{v}_2$, $\m{v}_3$の線形結合で表せるから，

\begin{align*}{\m{v}_2}’=b_{1}\m{v}_1+b_{2}\m{v}_2+b_{3}\m{v}_3\end{align*}

で$b_{i}:(\alpha,\beta)\to\R$（$i=1,2,3$）を定める．$b_{2}\equiv0$, $b_{1}=-\kappa$, $b_{3}=\tau$を示せばよい．

$\|\m{v}_2\|=1$だから［補題］より$\anb{\m{v}_2,{\m{v}_2}’}\equiv0$が成り立つので

\begin{align*}0\equiv\anb{\m{v}_2,b_{1}\m{v}_1+b_{2}\m{v}_2+b_{3}\m{v}_3}=b_{2}\end{align*}

が成り立つ．また，内積の微分公式と，上で示した第１式を併せて

\begin{align*}\kappa&=\kappa\anb{\m{v}_2,\m{v}_2}=\anb{\m{v}_2,\kappa\m{v}_2}=\anb{\m{v}_2,{\m{v}_1}’}
\\&=\anb{\m{v}_2,\m{v}_1}’-\anb{{\m{v}_2}’,\m{v}_1}
\\&=0′-\anb{b_{1}\m{v}_1+b_{3}\m{v}_3,\m{v}_1}=-b_{1}\end{align*}

だから$b_{1}=-\kappa$が成り立つ．さらに，内積の微分公式と，上で示した第３式を併せて

\begin{align*}\tau&=\tau\anb{\m{v}_2,\m{v}_2}=\anb{\m{v}_2,\tau\m{v}_2}=-\anb{\m{v}_2,{\m{v}_3}’}
\\&=-\{\anb{\m{v}_2,\m{v}_3}’-\anb{{\m{v}_2}’,\m{v}_3}\}
\\&=0′-\anb{-\kappa\m{v}_1+b_{3}\m{v}_3,\m{v}_1}=b_{3}\end{align*}

だから$b_{3}=\tau$が成り立つ．よって，第２式が成り立つ．