フルネ-セレの公式の導出｜曲線に関するベクトルの関係式

３次元ユークリッド空間$\R^3$上の$t$をパふりがなラメータとする滑らかな曲線$C:\m{r}=\m{r}(t)$に対して

「進む向き」を表す接ベクトル$\m{v}_1(t)$
「曲がる向き」を表す法線ベクトル$\m{v}_2(t)$
「ねじれる向き」を表す従法線ベクトル$\m{v}_3(t)$

を考えることができます．

このときの$[\m{v}_1(t),\m{v}_2(t),\m{v}_3(t)]$と$[{\m{v}_1}'(t),{\m{v}_2}'(t),{\m{v}_3}'(t)]$との関係をFrenet-Serret(フルネ-セレ)の公式といいます．

Frenet-Serretの公式は

1847年にジャン・フレデリック・フルネ(Jean Frédéric Frenet)によって
1851年にジョセフ・アルフレッド・セレ(Joseph Alfred Serret)によって

それぞれ独立に発見されました．

この記事では，Frenet-Serretの公式を導出します．

準備
Frenet-Serretの公式
1. ３つのベクトル
2. Frenet-Serretの公式
参考文献

準備

パラメータ$t$はある開区間$(\alpha,\beta)$ ($\alpha$, $\beta$は実数)上を動くとします．

内積，ノルム，外積の定義

以下で$\R^3$上の内積，ノルム，外積を定義します．

[定義１]　$\m{a}=\bmat{a_1\\a_2\\a_3},\m{b}=\bmat{b_1\\b_2\\b_3}\in\R^3$に対し，次を定義する．

次の$\anb{\m{a},\m{b}}$を$\m{a}$と$\m{b}$の内積 (inner product)という：
$\begin{align*}\anb{\m{a},\m{b}}:=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.\end{align*}$
次の$\|\m{a}\|$を$\m{a}$のノルム (norm)という：
$\begin{align*}\|\m{a}\|:=\sqrt{\anb{\m{a},\m{a}}}=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}.\end{align*}$
次の$\m{a}\times \m{b}$を$\m{a}$と$\m{b}$の外積 (outer product)という：
$\begin{align*}\m{a}\times \m{b}:=\bmat{a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1}.\end{align*}$

内積と外積に関して，定義から

$\begin{align*}\anb{\m{a},\m{b}}=\anb{\m{b},\m{a}},\quad \m{a}\times \m{b}=-\m{b}\times \m{a}\end{align*}$

が成り立つことが分かります．また，$\m{a}$と$\m{b}$が直交するとは，$\anb{\m{a},\m{b}}=0$となることをいいます．

さらに，外積$\m{a}\times \m{b}$は以下を満たします(証明略)．

$\m{a}$とも$\m{b}$とも直交する．
$\m{a}$と$\m{b}$のなす角を$\theta$とするとき，$\|\m{a}\times\m{b}\|=\|\m{a}\|\|\m{b}\|\sin\theta$が成り立つ．

微分の定義

次に，以下で$\R^3$上の導関数を定義します．

[定義２]　パラメータ$t$をもつ$\m{p}(t)=\bmat{p_1(t)\\p_2(t)\\p_3(t)}\in\R^3$に関して，各成分$p_1(t),p_2(t),p_3(t)$が$t$に関して微分可能であるとする．このとき，$\m{p}(t)$は微分可能であるといい，$\m{p}(t)$の$t$に関する導関数$\m{p}'(t)$を次で定義する：

$\begin{align*}\m{p}'(t)=\bmat{{p_1}'(t)\\{p_2}'(t)\\{p_3}'(t)}\end{align*}$

すなわち，ベクトルの微分は各成分で微分したものと定めるわけですね．

いくつかの補題

ここでは準備として[補題３]，[補題４]を示します．

次の[補題３]は内積，外積の導関数に関する積の微分公式ですね．

[補題３]　パラメータ$t\in(\alpha,\beta)$をもつ$\m{p}(t),\m{q}(t)\in\R^3$が微分可能であるとする．このとき，次が成り立つ：

$\begin{align*}&\frac{d}{dt}\anb{\m{p}(t),\m{q}(t)}=\anb{\m{p}'(t),\m{q}(t)}+\anb{\m{p}(t),\m{q}'(t)}, \\&\frac{d}{dt}(\m{p}(t)\times \m{q}(t))=\m{p}'(t)\times \m{q}(t)+\m{p}(t)\times \m{q}'(t)\end{align*}$

証明を表示

$\m{p}(t)=\bmat{p_1(t)\\p_2(t)\\p_3(t)}$, $\m{q}(t)=\bmat{q_1(t)\\q_2(t)\\q_3(t)}$とする．計算により

$\begin{align*}&\od{}{t}\anb{\m{p}(t),\m{q}(t)} \\=&\od{}{t}\{p_1(t)q_1(t)+p_2(t)q_2(t)+p_3(t)q_3(t)\} \\=&\sum_{i=1}^{3}\bra{{p_i}'(t)q_i(t)+p_i(t){q_i}'(t)} \\=&\sum_{i=1}^{3}{p_i}'(t)q_i(t)+\sum_{i=1}^{3}p_i(t){q_i}'(t) \\=&\anb{\m{p}'(t),\m{q}(t)}+\anb{\m{p}(t),\m{q}'(t)}\end{align*}$

と，

$\begin{align*}&\frac{d}{dt}(\m{p}(t)\times \m{q}(t)) \\=&\od{}{t}\bmat{p_2(t)q_3(t)-p_3(t)q_2(t)\\p_3(t)q_1(t)-p_1(t)q_3(t)\\p_1(t)q_2(t)-p_2(t)q_1(t)} \\=&\bmat{{p_2}'(t)q_3(t)+p_2(t){q_3}'(t)-{p_3}'(t)q_2(t)-p_3(t){q_2}'(t)\\ {p_3}'(t)q_1(t)+p_3(t){q_1}'(t)-{p_1}'(t)q_3(t)-p_1(t){q_3}'(t)\\ {p_1}'(t)q_2(t)+p_1(t){q_2}'(t)-{p_2}'(t)q_1(t)-p_2(t){q_1}'(t)} \\=&\bmat{{p_2}'(t)q_3(t)-{p_3}'(t)q_2(t)\\{p_3}'(t)q_1(t)-{p_1}'(t)q_3(t)\\{p_1}'(t)q_2(t)-{p_2}'(t)q_1(t)} +\bmat{p_2(t){q_3}'(t)-p_3(t){q_2}'(t)\\p_3(t){q_1}'(t)-p_1(t){q_3}'(t)\\p_1(t){q_2}'(t)-p_2(t){q_1}'(t)} \\=&\m{p}'(t)\times \m{q}(t)+\m{p}(t)\times \m{q}'(t)\end{align*}$

が従う．

この[補題４]は基本的ですが，[Frenet-Serretの公式]の導出でキーとなる補題です．

[補題４]　パラメータ$t$に関する$\R^3$の元$\m{p}(t)$が微分可能で$\|\m{p}(t)\|$が$t$によらず常に一定であるとする．このとき，$\m{p}(t)$と$\m{p}'(t)$は$t$によらず常に直交する．すなわち，次が成り立つ：

$\begin{align*}\anb{\m{p}(t),\m{p}'(t)}=0\end{align*}$

証明を表示

$t$によらない定数$C>0$を

$\begin{align*}C:=\|\m{p}(t)\|=\sqrt{\anb{\m{p}(t),\m{p}(t)}}\end{align*}$

で定める．$C^2=\anb{\m{p}(t),\m{p}(t)}$の両辺を$t$で微分すると，左辺$C^2$が定数であることと，[補題３]から

$\begin{align*}0=&\anb{\m{p}'(t),\m{p}(t)}+\anb{\m{p}(t),\m{p}'(t)} \\=&2\anb{\m{p}(t),\m{p}'(t)}\end{align*}$

が分かる．よって，両辺を２で割って$0=\anb{\m{p}(t),\m{p}'(t)}$が従う．

Frenet-Serretの公式

パラメータ$t\in(\alpha,\beta)$をもつ$\R^3$内の曲線$C:\m{r}=\m{r}(t)$を考えます．ただし，$\m{r}$は次の条件を満たしているとします．

$\m{r}$は$C^\infty$級である．
任意の$t\in(\alpha,\beta)$に対して，$\m{r}'(t)\neq0$である．
任意の$t\in(\alpha,\beta)$に対して，$\m{r}^{\prime\prime}(t)\times \m{r}'(t)\neq0$である．

条件１は「$\m{r}$は$t$に関して何回でも微分可能」，条件２は「$\m{r}$の速度は0にならない」，条件３は「曲線$C$の軌跡は曲がっている」ということを述べています．

３つのベクトル

$\m{r}$に対し，接線ベクトル，主法線ベクトル，従法線ベクトルを次のように定義します．

[定義５]　$\m{v}_1(t),\m{v}_2(t),\m{v}_3(t)\in\R^3$を

$\begin{align*}&\m{v}_1(t):=\frac{\m{r}'(t)}{\|\m{r}'(t)\|}, \\&\m{v}_2(t):=\frac{{\m{v}_1}'(t)}{\|{\m{v}_1}'(t)\|}, \\&\m{v}_3(t):=\m{v}_1(t)\times \m{v}_2(t)\end{align*}$

で定義し，$\m{v}_1(t)$を$C$の接線ベクトル，$\m{v}_2(t)$を$C$の主法線ベクトル，$\m{v}_3(t)$を$C$の従法線ベクトルという．また，$\kappa(t):=\|{\m{v}_1}'(t)\|$を$C$の曲率という．

なお，冒頭で書いた通り

接ベクトル$\m{v}_1(t)$は曲線$C$の「進む向き」
法線ベクトル$\m{v}_2(t)$は曲線$C$の「曲がる向き」
従法線ベクトル$\m{v}_3(t)$曲線$C$の「ねじれる向き」

に相当します．

ここで，次の[命題６]を示します．

[命題６]　${\m{v}_3}'(t)$と$\m{v}_2(t)$は$t$によらず平行である．

証明を表示

$\m{v}_3(t)=\m{v}_1(t)\times \m{v}_2(t)$より，両辺$t$で微分して

$\begin{align*}{\m{v}_3}'(t)={\m{v}_1}'(t)\times \m{v}_2(t)+\m{v}_1(t)\times{\m{v}_2}'(t)\end{align*}$

が成り立つ．また，${\m{v}_1}'(t)$と$\m{v}_2(t)$は平行だから${\m{v}_1}'(t)\times \m{v}_2(t)=0$なので，

$\begin{align*}{\m{v}_3}'(t)=\m{v}_1(t)\times{\m{v}_2}'(t)\end{align*}$

となって，${\m{v}_3}'(t)$は$t$によらず$\m{v}_1(t)$, ${\m{v}_2}'(t)$の両方と直交する．

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$\|\m{v}_1(t)\|=1$は定数だから[補題４]より$\m{v}_1(t)$と${\m{v}_1}'(t)$は$t$によらず直交し，さらに$\m{v}_2(t)=\dfrac{{\m{v}_1}'(t)}{\|{\m{v}_1}'(t)\|}$だから，$\m{v}_1(t)$と$\m{v}_2(t)$は$t$によらず直交する．

また，$\|\m{v}_2(t)\|=1$は定数だから[補題４]より$\m{v}_2(t)$と${\m{v}_2}'(t)$は$t$によらず直交する．

したがって，$\m{v}_2(t)$は$t$によらず$\m{v}_1(t)$, ${\m{v}_2}'(t)$の両方と直交する．

いまは$\R^3$で考えているので，${\m{v}_3}'(t)$と$\m{v}_2(t)$は$t$によらず平行である．

[命題６]より，次の[定義７]ができます．

[定義７]　${\m{v}_3}'(t)=-\tau(t)\m{v}_2(t)$によって定まる$\tau$を曲線$C$の捩率れいりつという．

捩率$\tau$は時刻$t$で「接線ベクトル$\m{v}_1$，主法線ベクトル$\m{v}_2$の張る平面から，曲線$C$がどれくらいの勢いではみ出そうとするのか」ということを表す関数となっています．

したがって，同一平面上を動く曲線の捩率は０になります．

[命題８]　パラメータ$t$によらず行列$A(t):=[\m{v}_1(t),\m{v}_2(t),\m{v}_3(t)]$は直交行列である．

証明を表示

$\anb{\m{v}_i(t),\m{v}_j(t)}=\delta_{i,j}$ $(i,j=1,2,3)$を示せば良いが，内積は可換だから$i\ge j$の場合を示せば十分である．

$\anb{\m{v}_2(t),\m{v}_1(t)}=0$は[命題６]の証明中で示した．

$\m{v}_1(t),\m{v}_2(t)$の定義から

$\begin{align*}\|\m{v}_1(t)\|=\|\m{v}_2(t)\|=1\end{align*}$

である．また，定義$\m{v}_3(t)=\m{v}_1(t)\times \m{v}_2(t)$から

$\begin{align*}&\|\m{v}_3(t)\|=\|\m{v}_1(t)\|\|\m{v}_2(t)\|\sin\frac{\pi}{2}=1, \\&\anb{\m{v}_3(t),\m{v}_1(t)}=\anb{\m{v}_3(t),\m{v}_2(t)}=0\end{align*}$

である．

Frenet-Serretの公式

準備が整ったので本題の[Frenet-Serretの公式]を示します．

[Frenet-Serretの公式]　次の等式が成り立つ．

$\begin{align*}[{\m{v}_1}'(t),{\m{v}_2}'(t),{\m{v}_3}'(t)] =[\m{v}_1(t),\m{v}_2(t),\m{v}_3(t)]\bmat{0&-\kappa(t)&0\\\kappa(t)&0&-\tau(t)\\0&\tau(t)&0}\end{align*}$

証明を表示

[命題８]と同じく$A(t):=[\m{v}_1(t),\m{v}_2(t),\m{v}_3(t)]$とする．

$\begin{align*}{}^{t}A(t)A'(t) =&\bmat{{}^{t}\m{v}_1(t)\\{}^{t}\m{v}_2(t)\\{}^{t}\m{v}_3(t)}[{\m{v}_1}'(t),\ {\m{v}_2}'(t),\ {\m{v}_3}'(t)] \\=&\bmat{\anb{\m{v}_1(t),{\m{v}_1}'(t)}&\anb{\m{v}_1(t),{\m{v}_2}'(t)}&\anb{\m{v}_1(t),{\m{v}_3}'(t)}\\ \anb{\m{v}_2(t),{\m{v}_1}'(t)}&\anb{\m{v}_2(t),{\m{v}_2}'(t)}&\anb{\m{v}_2(t),{\m{v}_3}'(t)}\\ \anb{\m{v}_3(t),{\m{v}_1}'(t)}&\anb{\m{v}_3(t),{\m{v}_2}'(t)}&\anb{\m{v}_3(t),{\m{v}_3}'(t)}}\end{align*}$

である．$\|\m{v}_i\|=1$ ($i=1,2,3$)は定数なので，[補題４]より$\anb{\m{v}_i(t),{\m{v}_i}'(t)}=0$である．また，${\m{v}_3}'(t):={\m{v}_1}'(t)\times \m{v}_2(t)+\m{v}_1(t)\times {\m{v}_2}'(t)$であり

$\begin{align*}{\m{v}_1}'(t)\times \m{v}_2(t)={\m{v}_1}'(t)\times \frac{{\m{v}_1}'(t)}{\|{\m{v}_1}'(t)\|}=0\end{align*}$

であることと，

$\begin{align*}\anb{\m{v}_1(t)\times {\m{v}_2}'(t),\m{v}_1(t)}=0\end{align*}$

であることから$\anb{\m{v}_1(t),{\m{v}_3}'(t)}=0$が成り立つ．さらに，

$\begin{align*}\m{v}_3(t):=\m{v}_1(t)\times \m{v}_2(t)=\m{v}_1(t)\times \frac{{\m{v}_1}'(t)}{\|{\m{v}_1}'(t)\|}\end{align*}$

だから，$\anb{\m{v}_3(t),{\m{v}_1}'(t)}=0$である．次に，

$\begin{align*}&\anb{\m{v}_2(t),{\m{v}_1}'(t)}=\anb{\frac{{\m{v}_1}'(t)}{\|{\m{v}_1}'(t)\|},{\m{v}_1}'(t)}=\|{\m{v}_1}'(t)\|=\kappa(t), \\&\anb{\m{v}_2(t),{\m{v}_3}'(t)}=\anb{\m{v}_2(t),-\tau(t)\m{v}_2(t)}=-\tau(t)\end{align*}$

である．また，[命題８]より$\anb{\m{v}_1(t),\m{v}_2(t)}=0$, $\anb{\m{v}_2(t),\m{v}_3(t)}=0$だったから，これらの両辺を$t$で微分して整理すると，

$\begin{align*}&\anb{\m{v}_1(t),{\m{v}_2}'(t)}=-\anb{{\m{v}_1}'(t),\m{v}_2(t)}=-\kappa(t), \\&\anb{{\m{v}_2}'(t),\m{v}_3(t)}=-\anb{\m{v}_2(t),{\m{v}_3}'(t)}=\tau(t)\end{align*}$