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シュワルツ空間の定義と完備性｜急減少関数の空間を考える

2020/4/21 2020/5/18 関数空間

$|x|\to\infty$ のときに任意の多項式より速く減衰する関数を急減少関数 (rapidly decreasing function)といいます．

また，急減少関数全部の集合をSchwartz(シュワルツ)空間といい，Fourier(フーリエ)変換と密接な関係をもつなど重要な関数空間の１つです．

例えば，有界区間 $I$ 上で１回連続微分可能な関数の空間 $C^1(I)$ は

$\begin{align*} \|f\|:=\sup_{x\in I}|f(x)|+\sup_{x\in I}|f'(x)| \end{align*}$

をノルムとして完備となります．

このように，適当な性質をもつ可算個のセミノルムの族を備えた完備な空間をFréchet空間といい，実はSchwartz空間もFréchet空間です．

この記事では，Schwartz空間を定義し，完備性を証明します．