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関数空間一覧

シュワルツ空間の定義と完備性|急減少関数の空間を考える

$|x|\to\infty$のときに任意の多項式より速く減衰する関数を急減少関数 (rapidly decreasing function)といいます.

また,急減少関数全部の集合をSchwartz(シュワルツ)空間といい,Fourier(フーリエ)変換と密接な関係をもつなど重要な関数空間の1つです.

例えば,有界区間$I$上で1回連続微分可能な関数の空間$C^1(I)$は

    \begin{align*} \|f\|:=\sup_{x\in I}|f(x)|+\sup_{x\in I}|f'(x)| \end{align*}

をノルムとして完備となります.

このように,適当な性質をもつ可算個のセミノルムの族を備えた完備な空間をFréchet空間といい,実はSchwartz空間もFréchet空間です.

この記事では,Schwartz空間を定義し,完備性を証明します.

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