$|x|\to\infty$のときに任意の多項式より速く減衰する関数を急減少関数 (rapidly decreasing function)といいます．
また，急減少関数全部の集合をSchwartz(シュワルツ)空間といい，Fourier(フーリエ)変換と密接な関係をもつなど重要な関数空間の１つです．
例えば，有界区間$I$上で１回連続微分可能な関数の空間$C^1(I)$は
をノルムとして完備となります．
このように，適当な性質をもつ可算個のセミノルムの族を備えた完備な空間をFréchet空間といい，実はSchwartz空間もFréchet空間です．
この記事では，Schwartz空間を定義し，完備性を証明します．