連結の定義と具体例｜「ひとまとまりな集合」の考え方

位相空間$X$において「集合$A\subset X$がひとまとまりになっていること」を表す概念として連結性があります．

大雑把に言えば「集合$A$が２つの開集合によって分けられない」とき，集合$A$は連結であると言います．

なお，似た概念に弧状連結性がありますが，実は「弧状連結なら連結」は成り立ちますが逆は成り立ちません．つまり，連結性の方が少し広い性質となっています．

この記事では

連結性の定義
連結な集合の具体例
連結性と弧状連結性の関係

を説明します．

なお，この記事では以下$X$を位相空間とします．

位相空間をよく知らない方は$X$をユークリッド空間$\R$, $\R^2$（数直線，$xy$平面）と思って読み進めても内容は理解できます．

「連結性」の一連の記事

連結性の定義と具体例
連結性と弧状連結性の関係
参考文献
1. 集合・位相入門
2. 集合と位相

連結性の定義と具体例

連結性を定義して具体例を考えましょう．

連結性の定義

集合$A\subset X$が連結であるとは，条件

\begin{align*}A\subset U_{1}\cup U_{2},\quad
U_{1}\cap U_{2}=\emptyset,\quad
A\cap U_{i}\neq\emptyset\ (i=1,2).\end{align*}

を満たす空でない開集合$U_{1},U_{2}\subset X$が存在しないことをいう．

もし「離れ小島」があれば，異なる「島」は２つの開集合で分けられますから，集合$A$は「ひとまとまり」とは言えないというイメージですね．

このような２つの開集合$U_{1}$, $U_{2}$が存在しないとき，集合$A$は連結であるというわけですね．

具体例１（連結な集合）

集合$[0,1]\subset\R$は連結であることを示せ．ただし，$\R$は１次元ユークリッド空間（通常の数直線）とする．

背理法により示す．すなわち，$I:=[0,1]$が連結でないと仮定して矛盾を導く．

$I:=[0,1]$が連結でないなら，

\begin{align*}I\subset V_{1}\cup V_{2},\quad
V_{1}\cap V_{2}=\emptyset,\quad
I\cap V_{i}\neq\emptyset\ (i=1,2).\end{align*}

なる開集合$V_{1},V_{2}\subset I$が存在する．

$V_1$, $V_2$は対称なので$1\in V_2$としてよく，さらに$a:=\sup{(I\cap V_1)}$とおくと，$V_1\cap V_2=\emptyset$と併せて$a\neq1$より$a<1$である．

$V_1$は開集合だから$a\not\in V_1$であり，$I\subset V_{1}\cup V_{2}$と併せると$a\in V_2$である．

$V_2$は開集合だから$a$のある近傍$V$が存在して$V\subset V_2$となるが，$a=\sup{(I\cap V_1)}$より$V\cap V_1\neq\emptyset$となって$V_{1}\cap V_{2}=\emptyset$に矛盾する．

一般に$\R$上の任意の区間は連結となります．

このことから，$\R$上の区間を$\R$の連結部分集合と定義することもあります．

具体例２（連結でない集合）

$\R^2$を２次元ユークリッド空間（通常の$xy$平面）とする．$A\subset\R^2$を

\begin{align*}A=\set{\bmat{x\\0}\in\R^2}{x\neq0}\end{align*}

とすると，$A$が連結でないことを示せ．

$A$は$x$軸から原点を除いた集合ですね．

$U_i\subset\R^2$（$i=1,2$）を

\begin{align*}U_1=\set{\bmat{x\\y}\in\R^2}{x>0},\quad
U_2=\set{\bmat{x\\y}\in\R^2}{x<0}\end{align*}

で定める．

このとき，

\begin{align*}A\subset U_{1}\cup U_{2},\quad
U_{1}\cap U_{2}=\emptyset,\quad
A\cap U_{i}\neq\emptyset\ (i=1,2).\end{align*}

を満たすので，$A$は連結でない．

連結性と弧状連結性の関係

最後に弧状連結なら連結であることを証明しましょう．

［連結性と弧状連結性］$A\subset X$とする．$A$が弧状連結なら，$A$は連結である．

対偶を示す．すなわち，$A$が連結でないとき$A$が弧状連結であることを示す．

$A$が連結でないなら

\begin{align*}A\subset U_{1}\cup U_{2},\quad
U_{1}\cap U_{2}=\emptyset,\quad
A\cap U_{i}\neq\emptyset\ (i=1,2).\end{align*}

なる開集合$U_{1},U_{2}\subset X$が存在する．

このとき，任意の$a\in A\cap U_{1}$, $b\in A\cap U_{2}$に対して，$a,b\in A$だから$A$の弧状連結性より$f(0)=a$, $f(1)=b$なる連続曲線$f:[0,1]\to A$が存在する．ただし，$[0,1]$は１次元ユークリッド空間$\R$の部分位相空間である．

ここで，$V_1,V_2\subset[0,1]$を

\begin{align*}V_i:=f^{-1}(A\cap U_i)\quad(i=1,2)\end{align*}

で定め，$A$を$X$の部分位相空間とみると，$i=1,2$に対して$A\cap U_i$は開だから$V_i:=f^{-1}(A\cap U_i)$は$\R$上の開集合で，さらに

\begin{align*}[0,1]\subset V_{1}\cup V_{2},\quad
V_{1}\cap V_{2}=\emptyset,\quad
[0,1]\cap V_{i}\neq\emptyset\ (i=1,2).\end{align*}

が成り立つ．これにより$[0,1]$は$\R$で連結でないことになるが，このあとの具体例１でみるように$[0,1]$は連結だから矛盾する．

要は「２つの空でない開集合$U_1$, $U_2$で$A$を分割できるなら，２点$a\in U_1$, $b\in U_2$を$A$上の曲線で結ぶことはできない」ということを証明したわけですね．

これも冒頭で説明したように，この逆は成り立ちません．つまり，連結であっても弧状連結であるとは限りません．

この「連結であるが弧状連結ではない集合」の具体例は以下の記事を参照してください．