フルネ-セレの公式の導出｜空間曲線の曲率と捩率に関する公式

３次元ユークリッド空間$\R^3$上の滑らかな曲線$C:\m{r}=\m{r}(t)$に対して

「進む向き」を表す接ベクトル$\m{v}_1$
「曲がる向き」を表す法線ベクトル$\m{v}_2$
「ねじれる向き」を表す従法線ベクトル$\m{v}_3$

を考えることができます．

これらのベクトルは正規直交基底をなしており，${\m{v}_1}’$, ${\m{v}_2}’$, ${\m{v}_3}’$を$\m{v}_1$, $\m{v}_2$, $\m{v}_3$の線形結合で表す公式をフルネ-セレの公式といいます．

この記事では，

空間曲線の基礎知識
フルネ-セレの公式のための準備
フルネ-セレの公式

を順に説明します．

空間曲線の基礎知識
フルネ-セレの公式と曲率・捩率
フルネ-セレの公式の証明

空間曲線の基礎知識

以下，変数$t$は開区間$(\alpha,\beta)$（$\alpha<\beta$）上を動くとします．

空間曲線の考え方と定義

曲線とは直観的には「ちぎれていない曲線」のことですが，もう少しきちんと定義しましょう．

時刻$t=\alpha$から時刻$t=\beta$まで連続的に点が動く状況を考え，時刻$t$での点の位置を$\m{r}(t)$と表すことにすると，この$\m{r}$は閉区間$[\alpha,\beta]$で定義された連続写像と考えることができますね．

このことを踏まえて，次のように空間曲線を定義します．

１変数ベクトル値関数$\m{r}:[\alpha,\beta]\to\R^3$を空間曲線という．

この定義で$[\alpha,\beta]$は１次元ユークリッド空間$\R$の部分位相空間，$\R^3$は３次元ユークリッド空間です．つまり，$[\alpha,\beta]$, $\R^3$はどちらもいわゆる「直線距離」を備えた距離空間です．

空間曲線の導関数

空間曲線$\m{p}:(\alpha,\beta)\to\R^3$の各成分が微分可能であるとき，$\m{p}$は微分可能であるといいます．

空間曲線$\m{p}:[\alpha,\beta]\to\R^3$を

$\begin{align*}\m{p}=\bmat{p_1\\p_2\\p_3},\quad p_i:[\alpha,\beta]\to\R\quad(i=1,2,3)\end{align*}$

と表すとき，$\m{p}$が（開区間$(\alpha,\beta)$上）微分可能であるとは，$p_1,p_2,p_3$がいずれも（開区間$(\alpha,\beta)$上）微分可能であることをいう．また，このとき$\m{p}$の導関数$\m{p}’$を

$\begin{align*}\m{p}'=\bmat{{p_1}'\\{p_2}'\\{p_3}'}\end{align*}$

で定める．

空間曲線の内積の微分公式

［内積の微分公式］微分可能な空間曲線$\m{p},\m{q}:[\alpha,\beta]\to\R^3$を考える．任意の$t\in(\alpha,\beta)$に対して，

$\begin{align*}&\frac{d}{dt}\anb{\m{p},\m{q}}(t)=\anb{\m{p}'(t),\m{q}(t)}+\anb{\m{p}(t),\m{q}'(t)}\end{align*}$

が成り立つ．ただし，$\anb{\cdot,\cdot}$は通常の内積（標準内積）である．

通常の関数の積の微分公式$(fg)’=f’g+fg’$と同様の形をしているので覚えやすいですね．

$\m{p}=\bmat{p_1\\p_2\\p_3}$, $\m{q}=\bmat{q_1\\q_2\\q_3}$とすると，内積の定義より

$\begin{align*}\anb{\m{p},\m{q}}=p_1q_1+p_2q_2+p_3q_3=\sum_{i=1}^{3}p_iq_i\end{align*}$

なので，積の微分公式を用いて

$\begin{align*}\od{}{t}\anb{\m{p},\m{q}} &=\sum_{i=1}^{3}\bra{{p_i}'q_i+p_i{q_i}'} \\&=\sum_{i=1}^{3}{p_i}'q_i+\sum_{i=1}^{3}p_i{q_i}' \\&=\anb{\m{p}',\m{q}}+\anb{\m{p},\m{q}'}\end{align*}$

が成り立つ．

空間曲線の外積の微分公式

［外積の微分公式］微分可能な空間曲線$\m{p},\m{q}:[\alpha,\beta]\to\R^3$を考える．任意の$t\in(\alpha,\beta)$に対して，

$\begin{align*}\frac{d}{dt}(\m{p}\times \m{q})(t)=\m{p}'(t)\times \m{q}(t)+\m{p}(t)\times \m{q}'(t)\end{align*}$

が成り立つ．ただし，$\times$は$\R^3$上の外積である．

内積のときと同じく，外積でも通常の関数の積の微分公式$(fg)’=f’g+fg’$と同様の形をしているので覚えやすいですね．

$\m{p}=\bmat{p_1\\p_2\\p_3}$, $\m{q}=\bmat{q_1\\q_2\\q_3}$とすると，外積の定義より

$\begin{align*}\m{p}\times \m{q}=\bmat{p_2q_3-p_3q_2\\p_3q_1-p_1q_3\\p_1q_2-p_2q_1}\end{align*}$

なので，各成分で積の微分公式を用いて

$\begin{align*}\od{}{t}(\m{p}\times \m{q}) &=\bmat{{p_2}'q_3+p_2{q_3}'-{p_3}'q_2-p_3{q_2}'\\{p_3}'q_1+p_3{q_1}'-{p_1}'q_3-p_1{q_3}'\\{p_1}'q_2+p_1{q_2}'-{p_2}'q_1-p_2{q_1}'} \\&=\bmat{{p_2}'q_3-{p_3}'q_2\\{p_3}'q_1-{p_1}'q_3\\{p_1}'q_2-{p_2}'q_1}+\bmat{p_2{q_3}'-p_3{q_2}'\\p_3{q_1}'-p_1{q_3}'\\p_1{q_2}'-p_2{q_1}'} \\&=\m{p}'\times \m{q}+\m{p}\times \m{q}'\end{align*}$

が従う．

補題（ノルムが一定のベクトル）

次の［補題］はベクトル解析・曲線曲面論ではよく用いられるので，ここで準備しておきます．

［補題］微分可能な空間曲線$\m{r}:[\alpha,\beta]\to\R^3$のノルム$\|\m{r}\|$が一定なら，任意の$t\in(\alpha,\beta)$に対して

$\begin{align*}\anb{\m{r}(t),\m{r}'(t)}=0\end{align*}$

が成り立つ．

$\|\m{r}\|$が一定なら，定数$C\ge0$を$C\equiv\anb{\m{r},\m{r}}$で定めることができる．

両辺を微分すると，内積の微分公式より

$\begin{align*}0\equiv\anb{\m{r}',\m{r}}+\anb{\m{r},\m{r}'}=2\anb{\m{r},\m{r}'}\end{align*}$

が分かる．よって，両辺を２で割って$0\equiv\anb{\m{r},\m{r}’}$が従う．

フルネ-セレの公式と曲率・捩率

以下，空間曲線$\m{r}:(\alpha,\beta)\to\R^3$は

$\m{r}$は$C^\infty$級（$\m{r}$は何回でも微分可能）
$\m{r}’\neq\m{0}$（$\m{r}$が動く速さは０にならない）
$\m{r}^{\prime\prime}\times \m{r}’\neq\m{0}$（曲線の軌跡は曲がっている）

を満たすとします．

単位接ベクトル$\m{v}_1$・主法線ベクトル$\m{v}_2$・従法線ベクトル$\m{v}_3$の定義

空間曲線$C:\m{r}=\m{r}(t)$に対し，

単位接ベクトル$\m{v}_1$：曲線$C$の「進む向き」
主法線ベクトル$\m{v}_2$：曲線$C$の「曲がる向き」
従法線ベクトル$\m{v}_3$：曲線$C$の「ねじれる向き」

を次で定義します．

空間曲線$C:\m{r}=\m{r}(t)$に対し，$\m{v}_1,\m{v}_2,\m{v}_3:\R\to\R^3$を

$\begin{align*}\m{v}_1:=\frac{\m{r}'}{\|\m{r}'\|},\quad \m{v}_2:=\frac{{\m{v}_1}'}{\|{\m{v}_1}'\|},\quad \m{v}_3:=\m{v}_1\times \m{v}_2\end{align*}$

で定義し，$\m{v}_1$を$C$の単位接ベクトル，$\m{v}_2$を$C$の主法線ベクトル，$\m{v}_3$を$C$の従法線ベクトルという．

$\m{v}_1$, $\m{v}_2$, $\m{v}_3$の正規直交性

これらのベクトル$\m{v}_1,\m{v}_2,\m{v}_3$については，次を当たり前にしておきましょう．

空間曲線$C:\m{r}=\m{r}(t)$の単位接ベクトル$\m{v}_1$，主法線ベクトル$\m{v}_2$，従法線ベクトル$\m{v}_3$は$\R^3$の正規直交基底をなす．

$\m{v}_1$, $\m{v}_2$の定義より，

$\begin{align*}&\|\m{v}_1\|=\nor{\frac{\m{r}'}{\|\m{r}'\|}}=\frac{1}{\|\m{r}'\|}\|\m{r}'\|=1 \\&\m{v}_2=\nor{\frac{{\m{v}_1}'}{\|{\m{v}_1}'\|}}=\frac{1}{\|{\m{v}_1}'\|}\|{\m{v}_1}'\|=1\end{align*}$

である．また，$|\m{v}_1\|=1$だから［補題］より

$\begin{align*}\anb{\m{v}_1,\m{v}_2}=\anb{\m{v}_1,\frac{{\m{v}_1}'}{\|{\m{v}_1}'\|}}=\frac{1}{\|{\m{v}_1}'\|}\anb{\m{v}_1,{\m{v}_1}'}=0\end{align*}$

である．さらに，外積の性質より$\m{v}_3=\m{v}_1\times \m{v}_2$は$\m{v}_1$, $\m{v}_2$と直交し，

$\begin{align*}\|\m{v}_3\|=\abs{\|\m{v}_1\|\|\m{v}_2\|\sin{\bra{\pm\frac{\pi}{2}}}}=1\end{align*}$

である．

フルネ-セレの公式

単位接ベクトル$\m{v}_1$，主法線ベクトル$\m{v}_2$，従法線ベクトル$\m{v}_3$が$\R^3$の（正規直交）基底をなすことから，これら３本のベクトル値関数の導関数${\m{v}_1}’$, ${\m{v}_2}’$, ${\m{v}_3}’$を$\m{v}_1$, $\m{v}_2$, $\m{v}_3$の線形結合で一意に表すことができます．

このときの線形結合の公式は

フルネ-セレの公式は

1847年にジャン・フレデリック・フルネ（Jean Frédéric Frenet）
1851年にジョセフ・アルフレッド・セレ（Joseph Alfred Serret）

によって独立に発見されたのでフルネ-セレの公式といいます．

［フルネ-セレの公式］空間曲線$C:\m{r}=\m{r}(t)$の接ベクトル$\m{v}_1$，主法線ベクトル$\m{v}_2$，従法線ベクトル$\m{v}_3$に対して，ある非負値関数$\kappa:(\alpha,\beta)\to\R_{\ge0}$と実数値関数$\tau:(\alpha,\beta)\to\R$が存在して，任意の$t\in(\alpha,\beta)$に対して

$\begin{align*}\begin{cases}{\m{v}_1}'(t)=\kappa(t)\m{v}_2(t)\\{\m{v}_2}'(t)=-\kappa(t)\m{v}_1(t)+\tau(t)\m{v}_3\\{\m{v}_3}'(t)=-\tau(t)\m{v}_2\end{cases}\end{align*}$

が成り立つ．

フルネ-セレの公式は

$\begin{align*}[{\m{v}_1}'(t),{\m{v}_2}'(t),{\m{v}_3}'(t)]=[\m{v}_1(t),\m{v}_2(t),\m{v}_3(t)]\bmat{0&\kappa(t)&0\\-\kappa(t)&0&\tau(t)\\0&-\tau(t)&0}\end{align*}$

と表すこともできますね．

曲率・捩率の定義

上のフルネ-セレの公式の

非負値関数$\kappa:\R\to\R_{\ge0}$を空間曲線$C:\m{r}=\m{r}(t)$の曲率
実数値関数$\tau:\R\to\R$を空間曲線$C:\m{r}=\m{r}(t)$の捩率(れいりつ)

という．

第１式の両辺でノルムをとれば

$\begin{align*}\|{\m{v}_1}'\|=|\kappa|\|\m{v}_2\|=\kappa\tau\end{align*}$

となるので，曲率は単位接ベクトルの導関数${\m{v}_1}’$のノルムとして定義することもできます．

フルネ-セレの公式の証明

それでは，フルネ-セレの公式を証明しましょう．

［フルネ-セレの公式（再掲）］空間曲線$C:\m{r}=\m{r}(t)$の接ベクトル$\m{v}_1$，主法線ベクトル$\m{v}_2$，従法線ベクトル$\m{v}_3$に対して，ある非負値関数$\kappa:(\alpha,\beta)\to\R_{\ge0}$と実数値関数$\tau:(\alpha,\beta)\to\R$が存在して，任意の$t\in(\alpha,\beta)$に対して

$\begin{align*}\begin{cases}{\m{v}_1}'(t)=\kappa(t)\m{v}_2(t)\\{\m{v}_2}'(t)=-\kappa(t)\m{v}_1(t)+\tau(t)\m{v}_3\\{\m{v}_3}'(t)=-\tau(t)\m{v}_2\end{cases}\end{align*}$

が成り立つ．

任意の$t\in(\alpha,\beta)$に対して$\m{v}_1(t)$, $\m{v}_2(t)$, $\m{v}_3(t)$は$\R^3$の基底をなすことに注意する．

第１式${\m{v}_1}’=\kappa\m{v}_2$の証明

$\m{v}_2$の定義の両辺に$\|{\m{v}_1}’\|$をかけて

$\begin{align*}\m{v}_2=\frac{{\m{v}_1}'}{\|{\m{v}_1}'\|}\iff {\m{v}_1}'=\|{\m{v}_1}'\|\m{v}_2\end{align*}$

が成り立つので，$a_{11}=a_{13}\equiv0$と$a_{12}=\|{\m{v}_1}’\|\ge0$である．

よって，$\kappa=\|{\m{v}_1}’\|$とおけば$\kappa$は非負値で第１式が成り立つ．

第３式${\m{v}_3}’=-\tau\m{v}_2$の証明

${\m{v}_2}’$は$\m{v}_1$, $\m{v}_2$, $\m{v}_3$の線形結合で表せるから，

$\begin{align*}{\m{v}_3}'=a_{1}\m{v}_1+a_{2}\m{v}_2+a_{3}\m{v}_3\end{align*}$

で$a_{i}:(\alpha,\beta)\to\R$（$i=1,2,3$）を定める．$a_{1}=a_{3}\equiv0$を示せばよい．

$\|\m{v}_3\|=1$だから［補題］より$\anb{\m{v}_3,{\m{v}_3}’}\equiv0$が成り立つので

$\begin{align*}0\equiv\anb{\m{v}_3,a_{1}\m{v}_1+a_{2}\m{v}_2+a_{3}\m{v}_3}=a_{3}\end{align*}$

が成り立つ．また，内積の微分公式と，上で示した第１式を併せて

$\begin{align*}a_{1}&=\anb{a_{1}\m{v}_1+a_{2}\m{v}_2,\m{v}_1}=a_{1}\anb{{\m{v}_3}',\m{v}_1} \\&=(\anb{\m{v}_3,\m{v}_1})'-\anb{\m{v}_3,{\m{v}_1}'} \\&=0'-\anb{\m{v}_3,\kappa\m{v}_2}=-\kappa\anb{\m{v}_3,\m{v}_2}=0\end{align*}$

が成り立つ．よって，$\tau=-a_{32}$とおけば第３式が成り立つ．

第２式${\m{v}_2}’=-\kappa\m{v}_1+\tau\m{v}_3$の証明

${\m{v}_2}’$は$\m{v}_1$, $\m{v}_2$, $\m{v}_3$の線形結合で表せるから，

$\begin{align*}{\m{v}_2}'=b_{1}\m{v}_1+b_{2}\m{v}_2+b_{3}\m{v}_3\end{align*}$

で$b_{i}:(\alpha,\beta)\to\R$（$i=1,2,3$）を定める．$b_{2}\equiv0$, $b_{1}=-\kappa$, $b_{3}=\tau$を示せばよい．

$\|\m{v}_2\|=1$だから［補題］より$\anb{\m{v}_2,{\m{v}_2}’}\equiv0$が成り立つので

$\begin{align*}0\equiv\anb{\m{v}_2,b_{1}\m{v}_1+b_{2}\m{v}_2+b_{3}\m{v}_3}=b_{2}\end{align*}$

が成り立つ．また，内積の微分公式と，上で示した第１式を併せて

$\begin{align*}\kappa&=\kappa\anb{\m{v}_2,\m{v}_2}=\anb{\m{v}_2,\kappa\m{v}_2}=\anb{\m{v}_2,{\m{v}_1}'} \\&=\anb{\m{v}_2,\m{v}_1}'-\anb{{\m{v}_2}',\m{v}_1} \\&=0'-\anb{b_{1}\m{v}_1+b_{3}\m{v}_3,\m{v}_1}=-b_{1}\end{align*}$

だから$b_{1}=-\kappa$が成り立つ．さらに，内積の微分公式と，上で示した第３式を併せて

$\begin{align*}\tau&=\tau\anb{\m{v}_2,\m{v}_2}=\anb{\m{v}_2,\tau\m{v}_2}=-\anb{\m{v}_2,{\m{v}_3}'} \\&=-\{\anb{\m{v}_2,\m{v}_3}'-\anb{{\m{v}_2}',\m{v}_3}\} \\&=0'-\anb{-\kappa\m{v}_1+b_{3}\m{v}_3,\m{v}_1}=b_{3}\end{align*}$