一様可積分とヴィタリの収束定理｜ルベーグの収束定理の一般化

前回の記事で，確率変数列の基本の収束については

概収束と平均収束の間に関係はなく
確率収束しても平均収束しない

のでした．しかし，一様可積分性な確率変数列においては

概収束すれば１次平均収束する
１次平均収束と確率収束は同値である

ということが示されます．

これらはヴィタリ(Vitali)の収束定理と呼ばれるルベーグ(Lebesgue)の収束定理の一般化の定理から導くことができます

この記事では

一様可積分性
ヴィタリの収束定理
一様可積分な確率変数に対して概収束 $\Ra$ $1$次平均収束
一様可積分な確率変数に対して$1$次収束平均 $\iff$ 確率収束

を順に説明します．

一連の記事はこちら

【確率変数の４つの収束｜概収束，平均収束，確率収束，法則収束】
【一様可積分とヴィタリの収束定理｜ルベーグの収束定理の一般化】←今の記事
【一様可積分性の判定条件｜十分条件と必要十分条件】

一様可積分
Lebesgueの収束定理とVitaliの収束定理
参考文献
1. 確率論

一様可積分

一様可積分性は有限測度空間上の可測関数列に対して定義できますが，同様に考えることができるので，この記事では確率空間上の確率変数列の一様可積分性を考えます．

この記事では，$(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$を確率空間とし，$\mathbb{E}$で期待値，集合$A\subset\Omega$上の定義関数を$I_{A}$で表します：

$\begin{align*}\mathbb{E}[X]=\int_{\Omega}X(\omega)\,\mathbb{P}(d\omega),\quad I_{A}(\omega)=\begin{cases}1,&\omega\in A,\\0,&\omega\notin A.\end{cases}\end{align*}$

一様可積分性

[一様可積分] 確率空間$(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$における実数値確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$が

$\begin{align*}\lim_{\lambda\to\infty}\sup_{n\in\N}\int_{\{|X_n|\ge\lambda\}}|X_n(\omega)|\,\mathbb{P}(d\omega)=0\end{align*}$

を満たすとき，$\{X_n\}_{n\in\N}$は一様可積分(uniformly integrable)であるという．

この定義式は

$\begin{align*}&\lim_{\lambda\to\infty}\sup_{n\in\N}\int_{\Omega}|X_n(\omega)|I_{\{|X_n|\ge\lambda\}}(\omega)\,\mathbb{P}(d\omega)=0 \\\iff&\lim_{\lambda\to\infty}\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|,|X_n|\ge\lambda]=0\end{align*}$

などとも書けますね．

言葉で説明すれば「$|X_n(\omega)|>\lambda$を満たす$\omega\in\Omega$における$X_n$の積分(期待値)は，$n$によらず一様に$\lambda\to\infty$で$0$に近付く」ことを一様可積分といいます．

また，一様可積分性が成り立つための

十分条件
必要十分条件

なども知られており，これらについては次の記事を参照してください．

一様可積分性の判定｜十分条件と必要十分条件

例えば，極限と期待値の順序交換に関する[Vitaliの収束定理]は，一様可積分な確率変数列に対して成り立つ定理である．このように，確率変数列に関する一様可積分性は「良い性質」と言える．この記事では，一様可積分性の十分条件と必要十分条件を説明する．

一様可積分の名前の由来

一様可積分な確率変数列$\{X_n\}$に対して，期待値$\mathbb{E}[X_n]$は一様に有界となります．「一様可積分」という名前はこの性質に由来しているわけですね．

一様可積分な実数値確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$に対して，$\sup\limits_{n\in\N}\mathbb{E}[X_n]<\infty$が成り立つ．

証明を表示

確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$が一様可積分であることから，ある$R>0$が存在して

$\begin{align*}\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|I_{\{|X_n|\ge R\}}]<1\end{align*}$

が成り立つ．よって

$\begin{align*}\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|] =&\sup_{n\in\N}\bra{\mathbb{E}\brc{|X_n|I_{|X_n|<R}}+\mathbb{E}\brc{|X_n|I_{\{|X_n|\ge R\}}}} \\\le&\sup_{n\in\N}\bra{\mathbb{E}\brc{R I_{|X_n|<R}}+\mathbb{E}\brc{|X_n|I_{\{|X_n|\ge R\}}}} \\\le&\sup_{n\in\N}\bra{\mathbb{E}[R]+\mathbb{E}\brc{|X_n|I_{\{|X_n|\ge R\}}}} \\=&\sup_{n\in\N}\bra{R+\mathbb{E}\brc{|X_n|I_{\{|X_n|\ge R\}}}} \\=&R+\bra{\sup_{n\in\N}\mathbb{E}\brc{|X_n|I_{\{|X_n|\ge R\}}}} \\<&R+1<\infty\end{align*}$

である．

一様可積分に関する補題

一様可積分な確率変数列の極限について，のちのVitaliの収束定理の証明に用いる補題を示しておきます．

一様可積分な確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$が確率変数$X$に概収束するとき$X$は可積分となります．式で表せば次のようになりますね．

一様可積分な実数値確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$と実数値確率変数$X$に対して，ほとんど全ての$\omega\in\Omega$に対して$\lim\limits_{n\to\infty}X_n(\omega)=X(\omega)$が成り立つなら，$\mathbb{E}[X]<\infty$が成り立つ．

証明を表示

ファトゥー(Fatou)の補題を用いて

$\begin{align*}\mathbb{E}[|X|] =\mathbb{E}\brc{\lim_{n\to\infty}|X_n|} \le&\liminf_{n\to\infty}\mathbb{E}[|X_n|] \\\le&\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|]<\infty\end{align*}$

が成り立つ．

Lebesgueの収束定理とVitaliの収束定理

本題のLebesgueの収束定理とVitaliの収束定理について説明します．

これらはいずれも極限と積分の順序交換に関する定理となっています．

Lebesgueの収束定理

Lebesugueの収束定理は以下の通りです．

[Lebesgueの収束定理]　可測集合$\Omega\subset\R^d$上の可測関数列$\{f_n\}_{n\in\N}$と関数$f$が以下を満たすとする．

ほとんど全ての$x\in\Omega$に対して，$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$が成り立つ．
実数値関数$g$が存在して，任意の$x\in\Omega$に対して$|f_n(x)|<g(x)$を満たす．
$g\in L^1(\Omega)$である．

このとき，

$\begin{align*}\lim_{n\to\infty}\int_{\Omega}f_n(x)\,dx=\int_{\Omega}f(x)\,dx\end{align*}$

が成り立つ．

なお，この定理の$g$を優関数(dominating function)といい，Lebesgueの収束定理はLebesgueの優収束定理ということもよくあります．

ルベーグの収束定理の使い方について，詳しくは以下の記事を参照してください．

ルベーグの収束定理の練習｜具体例から使い方を理解する

ルベーグ積分では極限と積分の順序交換ができる[ルベーグの収束定理]があります．リーマン積分では一様収束であることを示せば極限と積分の順序交換ができますが，[ルベーグの収束定理]は一様収束より使いやすいものとなっています．

Vitaliの収束定理

先ほど証明した補題を用いることで，確率空間上の一様可積分な確率変数列に対してはLebesgueの収束定理の仮定を弱めた次のVitaliの収束定理が成り立つことが証明できます．

[Vitaliの収束定理] 確率空間$(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$における実数値確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$と確率変数$X$が以下を満たすとする．

ほとんど全ての$\omega\in\Omega$に対して，$\lim_{n\to\infty}X_n(\omega)=X(\omega)$が成り立つ．
$\{X_n\}$は一様可積分である．

このとき，$X$は可積分で

$\begin{align*}\lim_{n\to\infty}\int_{\Omega}|X_n(\omega)-X(\omega)|\,\mathbb{P}(d\omega)=0\end{align*}$

が成り立つ．

証明を表示

任意に$\epsilon>0$をとる．補題より$\mathbb{E}[X]<\infty$が成り立つ．すなわち$X$は可積分なので，$\{X_n\}$の一様可積分性と併せて$\{X_n-X\}$は一様可積分である．よって，

$\begin{align*}\lim_{\lambda\to\infty}\sup_{n\in\N}\int_{\{|X_n-X|\ge\lambda\}}|X_n(\omega)-X(\omega)|\,\mathbb{P}(d\omega)=0\end{align*}$

が成り立つ．すなわち，ある$R>0$が存在して，任意の$n\in\N$に対して

$\begin{align*}\int_{\{|X_n-X|\ge R\}}|X_n(\omega)-X(\omega)|\,\mathbb{P}(d\omega)=0\end{align*}$

が成り立つ．

また，いまの$R$に対して

$\begin{align*}\int_{\{|X_n-X|<R\}}|X_n(\omega)-X(\omega)|\,\mathbb{P}(d\omega) =\int_{X}|X_n(\omega)-X(\omega)|I_\{|X_n-X|<R\}(\omega)\,\mathbb{P}(d\omega)\end{align*}$

である．この被積分関数$|X_n-X|I_\{|X_n-X|<\lambda\}$は

$\begin{align*}|X_n(\omega)-X(\omega)|I_\{|X_n-X|<R\}(\omega) =&\begin{cases}|X_n(\omega)-X(\omega)|,&|X_n(\omega)-X(\omega)|<R,\\0,&|X_n(\omega)-X(\omega)|ge R\end{cases} \\<&\begin{cases}R,&|X_n(\omega)-X(\omega)|<R,\\0,&|X_n(\omega)-X(\omega)|ge R\end{cases}<R\end{align*}$

を満たし，$\mathbb{E}[R]=R<\infty$だから，$\{X_n\}$が$X$に概収束することと併せてルベーグの収束定理より

$\begin{align*}\lim_{n\to\infty}\int_{\{|X_n-X|<R\}}|X_n(\omega)-X(\omega)|\,\mathbb{P}(d\omega)=0\end{align*}$

が成り立つ．

以上より，

$\begin{align*}&\lim_{n\to\infty}\int_{\Omega}|X_n(\omega)-X(\omega)|\,\mathbb{P}(d\omega) \\=&\lim_{n\to\infty}\bra{\int_{\{|X_n-X|\ge R\}}|X_n(\omega)-X(\omega)|\,\mathbb{P}(d\omega)+\int_{\{|X_n-X|<R\}}|X_n(\omega)-X(\omega)|\,\mathbb{P}(d\omega)} \le\epsilon\end{align*}$

が成り立つ．よって，$\epsilon$の任意性より求める等式を得る．

よって，Vitaliの収束定理の結論の積分は

$\begin{align*}\lim_{n\to\infty}\mathbb{E}[|X_n(\omega)-X(\omega)|]=0\end{align*}$

と書くこともできるので，「一様可積分な実数値確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$が実数値確率変数$X$に概収束するなら，$\{X_n\}_{n\in\N}$は$X$に$1$次平均収束する」ということもできますね．

前回の記事で述べたように，本来は概収束と$p$次平均収束の間に強さの関係はありませんでした．すなわち，概収束しても$p$次平均収束しないことがありますし，逆に$p$次平均収束しても概収束しないことがあります．

確率変数の4つの収束｜概収束，平均収束，確率収束，法則収束

確率変数列の収束には「概収束」「平均収束」「確率収束」「法則収束」の4つが基本的で，これらの間には強弱の差があります．この記事では，これら4つの収束について説明し，これらの収束の強弱を証明します．

よって，Vitaliの収束定理から「無条件では成り立たなかった『概収束すれば$1$次平均収束する』が一様可積分な確率変数列なら成り立つ」ということが分かるわけですね．

また，結論の等式で三角不等式を用いれば

$\begin{align*}&\lim_{n\to\infty}\int_{\Omega}|X_n(\omega)-X(\omega)|\,d\omega=0 \\\Ra&\lim_{n\to\infty}\abs{\int_{\Omega}X_n(\omega)\,d\omega-\int_{\Omega}X(\omega)\,d\omega}=0\end{align*}$

も得られるので，Vitaliの収束定理は極限と積分の順序交換に関する定理とも言えるわけですね．

Lebesgueの収束定理は優関数をとってこないと使えませんでしたが，Vitaliの収束定理は優関数をとってこなくても，一様可積分な確率変数列に対して極限と積分の順序交換ができる点が大きなメリットです．

１次平均収束と確率収束

最後に，一様可積分性のもとで１次平均収束と確率収束が同値であることを説明します．

この証明のためには，いまみた[Vitaliの収束定理]と以下の[補題２]を併せて用います．

[補題２]　実数値確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$が$X$に確率収束するとき，$\{X_n\}_{n\in\N}$は$X$に概収束する部分列をもつ．

この補題は[Borel-Cantelliの補題]を用いることで証明できますが，ここでは証明をせずこの[補題２]を認めて一様可積分性のもとで１次平均収束と確率収束が同値性を示します．

一様可積分な確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$と確率変数$X$について，以下は同値である．

$\{X_n\}_{n\in\N}$は$X$に$1$次平均収束する．
$\{X_n\}_{n\in\N}$は$X$に確率収束する．

証明を表示

$\{X_n\}_{n\in\N}$が$X$に１次平均収束するとき，$\{X_n\}_{n\in\N}$が$X$に確率収束することは前回の記事で示した．

そのため，ここでは$\{X_n\}_{n\in\N}$が$X$に確率収束すると仮定して，$\{X_n\}_{n\in\N}$が$X$に１次平均収束することを示す．

$\{X_n\}_{n\in\N}$が$X$に１次平均収束しないと仮定すると，ある$\epsilon>0$とある部分列$\{X_{n(k)}\}_{k\in\N}$が存在して，任意の$k\in\N$に対して

$\begin{align*}\mathbb{E}[|X_{n(k)}-X|]\ge\epsilon\end{align*}$

が成り立つ．よって，この部分列$\{X_{n(k)}\}_{k\in\N}$の任意の部分列は$X$に１次平均収束しない．

一方，$\{X_n\}_{n\in\N}$は$X$に確率収束するから，部分列$\{X_n(k)\}_{k\in\N}$も$X$に確率収束し，[補題２]より更なる部分列$\{X_n(k(\ell))\}_{\ell\in\N}$で$X$に概収束するものが存在する．

[Vitaliの収束定理]から，部分列$\{X_n(k(\ell))\}_{\ell\in\N}$は$X$に１次平均収束し，$\{X_{n(k)}\}_{k\in\N}$の任意の部分列が$X$に１次平均収束しないことに矛盾する．

以上より，仮定は誤りで$\{X_n\}_{n\in\N}$は１次平均収束する．

この記事では，一様可積分性がもとから成り立っている確率変数列$\{X_n\}$についてその性質を考えてきました．

次の記事では，確率変数列$\{X_n\}$が一様可積分性を満たすための十分条件と必要十分条件について説明します．

一連の記事はこちら

【確率変数の４つの収束｜概収束，平均収束，確率収束，法則収束】
【一様可積分とヴィタリの収束定理｜ルベーグの収束定理の一般化】
【一様可積分性の判定条件｜十分条件と必要十分条件】←今の記事

参考文献

確率論

[舟木直久著/朝倉書店]

本書は確率論の入門書で，全体を通して丁寧に書かれています．

第1章では確率論の概説がなされており，例えば「大数の弱法則」「大数の強法則」にまで平易な説明で触れられているのが嬉しいです．

ただし，本書の「まえがき」に書かれているように，第２章から第５章は大学３年〜４年相当の確率論の内容となっているので，第２章以降を読むにはそれなりの基礎が必要となります．

第６章，第７章では代表的な確立過程である「マルチンゲール」「マルコフ過程」が解説されています．

本書は全体を通して「なぜその概念を学ぶ必要があるのか」という動機付けが大切にされており，新しい概念を前向きに理解しやすい点が優れている好著となっています．

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