一様可積分性を判定する｜十分条件と必要十分条件

一様可積分性をもつ確率変数列は，積分と極限の順序交換に関するヴィタリ（Vitali）の収束定理が成り立つのでした．

ヴィタリの収束定理は確率変数列の

一様可積分性
０への概収束

が分かっていれば適用でき，ルベーグの収束定理とは違って優関数をとってこなくても良い点で有用です．

この記事では

一様可積分性が成り立つための十分条件
一様可積分性が成り立つための必要十分条件

を順に説明します．

一連の記事はこちら

【確率変数の4つの収束｜概収束，平均収束，確率収束，法則収束】
【一様可積分とヴィタリの収束定理｜ルベーグの収束定理の一般化】
【確率変数列の一様可積分性の判定条件｜十分条件と必要十分条件】←この記事

一様可積分性の復習
一様可積分性の十分条件
1. 十分条件１（優関数の存在）
2. 十分条件２（１より大きい冪でも期待値が有限）
一様可積分性の必要十分条件
1. 一様可積分性の必要十分条件
2. 応用（一様可積分性と和）
参考文献
1. 確率論

一様可積分性の復習

まずは一様可積分性の定義を確認しておきましょう．

［一様可積分］確率空間$(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$において，実数値確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$が

\begin{align*}&\lim_{\lambda\to\infty}\sup_{n\in\N}\int_{\{|X_n|\ge\lambda\}}|X_n(\omega)|\,\mathbb{P}(d\omega)=0
\\&\bra{\iff\lim_{\lambda\to\infty}\sup_{n\in\N}\mathbb{E}\brc{|X_n|\mathbb{I}_{\{|X_n|\ge\lambda\}}}=0}\end{align*}

を満たすとき，$\{X_n\}_{n\in\N}$は一様可積分（uniformly integrable）であるという．

ただし，$\mathbb{E}$は期待値，集合$A\subset\Omega$に対して$\mathbb{I}_{A}$は$A$上の定義関数です：

\begin{align*}\mathbb{E}[X]=\int_{\Omega}X(\omega)\,\mathbb{P}(d\omega),\quad
\mathbb{I}_{A}(\omega)=\begin{cases}1,&\omega\in A,\\0,&\omega\notin A.\end{cases}\end{align*}

要するに$\{X_n\}$が一様可積分であるとは，「$|X_n|$が$\lambda$以上となるところでの$X_n$の期待値」が$n$によらず一様に$\lambda\to\infty$で$0$に近付くということですね．

一様可積分性の十分条件

一様可積分の十分条件を２つ示します．

十分条件１（優関数の存在）

確率関数列に優関数が存在すれば，一様可積分となります．

確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$について，可積分な確率変数$X$が存在して，任意の$n\in\N$, $\omega\in\Omega$に対して$|X_n(\omega)|\le X(\omega)$が成り立てば，$\{X_n\}_{n\in\N}$は一様可積分である．

確率変数族$\{|X|\mathbb{I}_{\{|X|\ge\lambda\}}\}_{\lambda>0}$について，

$\{|X|\mathbb{I}_{\{|X|\ge\lambda\}}\}_{\lambda>0}$は$\lambda\to0$で$0$に概収束し，
任意の$\omega\in\Omega$に対して$\abs{|X(\omega)|\mathbb{I}_{\{|X|\ge\lambda\}}(\omega)}\le X(\omega)$が成り立ち，
仮定より$X$は可積分である．

よって，ルベーグの収束定理が適用できて，

\begin{align*}\lim_{\lambda\to\infty}\mathbb{E}\brc{|X|\mathbb{I}_{\{|X|\ge\lambda\}}}=0\end{align*}

が成り立つ．仮定より，任意の$n\in\N$に対して$|X_n|\le X$だから，

\begin{align*}\mathbb{E}\brc{|X_n|\mathbb{I}_{\{|X_n|\ge\lambda\}}}
\le&\mathbb{E}\brc{|X|\mathbb{I}_{\{|X_n|\ge\lambda\}}}
\\\le&\mathbb{E}\brc{|X|\mathbb{I}_{\{|X|\ge\lambda\}}}
\\\to&0\quad(\lambda\to\infty)\end{align*}

が成り立つ．よって，$\{X_n\}_{n\in\N}$は一様可積分である．

例えば，可積分な実数値確率変数$X$に対して，$X=X_1=X_2=\dots$で定まる確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$（全ての項が$X$の確率変数列）は一様可積分です．

実際，$X$が可積分であることから，$|X|$も可積分で$|X_n|\le |X|$をみたします．

すなわち，$|X|$を優関数にとれるので，$\{X\}_{n\in\N}$は一様可積分となります．

十分条件２（１より大きい冪でも期待値が有限）

１次より大きい増大をもち，期待値を有限にする正値関数が存在すれば，一様可積分となります．

確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$について，ボレル可測関数$\psi:\R\to\R_{>0}$が存在して，

\begin{align*}\lim_{|x|\to\infty}\dfrac{|x|}{\psi(x)}=0,\quad
\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[\psi(X_n)]<\infty\end{align*}

が同時に成り立てば，$\{X_n\}_{n\in\N}$は一様可積分である．

$M:=\sup\limits_{n\in\N}\mathbb{E}[\psi(X_n)]$とおき，任意の$\epsilon>0$をとる．$\lim\limits_{|x|\to\infty}\dfrac{|x|}{\psi(x)}=0$より，ある$R>0$が存在して，

\begin{align*}|x|>R\Ra\dfrac{|x|}{\psi(x)}<\frac{\epsilon}{M}\end{align*}

が成り立つ．よって，

\begin{align*}\mathbb{E}\brc{|X_n|\mathbb{I}_{\{|X_n|\ge R\}}}
&=\mathbb{E}\brc{\frac{|X_n|}{\psi(X_n)}\cdot\psi(X_n)\mathbb{I}_{\{|X_n|\ge R\}}}
\\&\le\mathbb{E}\brc{\frac{\epsilon}{M}\psi(X_n)\mathbb{I}_{\{|X_n|\ge R\}}}
\\&=\frac{\epsilon}{M}\mathbb{E}\brc{\psi(X_n)\mathbb{I}_{\{|X_n|\ge R\}}}
\\&\le\frac{\epsilon}{M}\mathbb{E}[\psi(X_n)]
\le\frac{\epsilon}{M}\cdot M
=\epsilon\end{align*}

が$n\in\N$によらず成り立つ．よって，$\{X_n\}_{n\in\N}$は一様可積分である．

この系として，期待値の列$\{\mathbb{E}[|X_n|^p]\}$（$p>1$）が一様に有界な確率変数列$\{X_n\}$は一様可積分であることが分かります．

確率変数列$\{X_n\}$を考える．ある$p>1$が存在して，$\sup\limits_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|^p]<\infty$なら$\{X_n\}$は一様可積分である．

関数列$\{X_n\}_{n\in\N}$が$p$乗可積分であるとする：$\sup\limits_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|^p]<\infty$．このとき，$\psi(x)=|x|^p$ととれば，

\begin{align*}\lim_{|x|\to\infty}\frac{|x|}{\psi(x)}
=&\lim_{|x|\to\infty}\frac{|x|}{|x|^p}
\\=&\lim_{|x|\to\infty}|x|^{1-p}
=0,
\\\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[\psi(X_n)]
=&\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|^p]
<\infty\end{align*}

が成り立つから，$\{X_n\}_{n\in\N}$は一様可積分である．

一様可積分性の必要十分条件

次に，一様可積分の必要十分条件について説明します．

この必要十分条件を用いれば，一様可積分な２つの確率変数列の和も一様可積分であることを容易に示すことができます．

一様可積分性の必要十分条件

以下は一様可積分の必要十分条件です．

実数値確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$について，$\{X_n\}_{n\in\N}$が一様可積分であることと，次が同時に成り立つことは同値である．

$\sup\limits_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|]<\infty$が成り立つ．
任意の$\epsilon>0$に対して，ある$\delta>0$が存在して，$A\in\mathcal{F}$が$\mathbb{P}(A)<\delta$をみたすなら$\sup\limits_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|\mathbb{I}_{A}]<\epsilon$が成り立つ．

［$(1)\Ra(2)$の証明］実数値確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$が一様可積分であるとする．

このとき，１つ目の条件$\sup\limits_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|]<\infty$が成り立つことは前回の記事で示したから，２つ目の条件を示す．

任意に$\epsilon>0$をとる．$\{X_n\}_{n\in\N}$が一様可積分であることから，ある$R>0$が存在して，

\begin{align*}\sup_{n\in\N}\mathbb{E}\brc{|X_n|\mathbb{I}_{\{|X_n|\ge R\}}}<\frac{\epsilon}{2}\end{align*}

が成り立つ．ここで，$A\in\mathcal{F}$が$\mathbb{P}(A)<\frac{\epsilon}{2R}$とすると，

\begin{align*}&\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|\mathbb{I}_{A}]
\\=&\sup_{n\in\N}\bra{\mathbb{E}\brc{|X_n|\mathbb{I}_{A\cap\{|X_n|\ge R\}}}+\mathbb{E}\brc{|X_n|\mathbb{I}_{A\cap\{|X_n|<R\}}}}
\\\le&\sup_{n\in\N}\bra{\mathbb{E}\brc{|X_n|\mathbb{I}_{\{|X_n|\ge R\}}}+\mathbb{E}\brc{R \mathbb{I}_{A\cap\{|X_n|<R\}}}}
\\\le&\sup_{n\in\N}\bra{\mathbb{E}\brc{|X_n|\mathbb{I}_{\{|X_n|\ge R\}}}+R\mathbb{E}\brc{\mathbb{I}_{A}}}
\\\le&\bra{\sup_{n\in\N}\mathbb{E}\brc{|X_n|\mathbb{I}_{\{|X_n|<R\}}}}+R\mathbb{P}(A)
\\<&\frac{\epsilon}{2}+R\cdot\frac{\epsilon}{2R}=\epsilon\end{align*}

となって，２つ目の条件も成り立つ．

［十分性の証明］実数値確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$が２つの条件を同時に満たすとし，１つ目の条件について$M:=\sup\limits_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|]<\infty$とする．

任意の$\lambda>0$に対して，$\delta=\frac{2M}{\lambda}$とすると，

\begin{align*}&\mathbb{P}\bra{\set{\omega\in\Omega}{|X_n(\omega)|\ge\lambda}}
=\mathbb{E}\brc{\mathbb{I}_{\{|X_n|\ge\lambda\}}}
\\&\le\mathbb{E}\brc{\frac{|X_n|}{\lambda}\mathbb{I}_{\{|X_n|\ge\lambda\}}}
=\frac{1}{\lambda}\mathbb{E}\brc{|X_n|\mathbb{I}_{\{|X_n|\ge\lambda\}}}
\\&\le\frac{1}{\lambda}\mathbb{E}\brc{|X_n|}
\le\frac{M}{\lambda}=\frac{\delta}{2}<\delta\end{align*}

が成り立つから，２つ目の条件より

\begin{align*}\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|\mathbb{I}_{\{|X_n|\ge\lambda\}}]<\epsilon\end{align*}

が成り立つ．すなわち，$\{X_n\}_{n\in\N}$は一様可積分である．

応用（一様可積分性と和）

いまみた必要十分条件を用いると，次のように一様可積分な確率変数列の和は一様可積分となることが証明できます．

一様可積分な２つの確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$, $\{Y_n\}_{n\in\N}$に対して，$\{X_n+Y_n\}_{n\in\N}$は一様可積分である．

一様可積分性の必要十分条件より，$\sup\limits_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|]<\infty$, $\sup\limits_{n\in\N}\mathbb{E}[|Y_n|]<\infty$が成り立つから，

\begin{align*}%\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n+Y_n|]
\le\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|+|Y_n|]
\\&=\sup_{n\in\N}\bra{\mathbb{E}[|X_n|]+\mathbb{E}[|Y_n|]}
\\&\le\bra{\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|]}+\bra{\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|Y_n|]}
\\&<\infty\end{align*}

が成り立つ．

また，一様可積分性の必要十分条件より，任意の$\epsilon>0$に対して，ある$\delta,\eta>0$が存在して，$A,B\in\mathcal{F}$が$\mathbb{P}(A)<\delta$, $\mathbb{P}(B)<\eta$をみたすなら$\sup\limits_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|\mathbb{I}_{A}]<\frac{\epsilon}{2}$, $\sup\limits_{n\in\N}\mathbb{E}[|Y_n|\mathbb{I}_{B}]<\frac{\epsilon}{2}$が成り立つ．

よって，$\mathbb{P}(C)<\min\{\delta,\eta\}$を満たす$C\in\mathcal{F}$をとると，

\begin{align*}\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|\mathbb{I}_{C}]<\frac{\epsilon}{2},\quad
\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|Y_n|\mathbb{I}_{C}]<\frac{\epsilon}{2}\end{align*}

が成り立つ．よって，

\begin{align*}&\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n+Y_n|\mathbb{I}_{C}]
\le\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[(|X_n|+|Y_n|)\mathbb{I}_{C}]
\\&\le\sup_{n\in\N}\bra{\mathbb{E}[|X_n|\mathbb{I}_{C}]+\mathbb{E}[|Y_n|\mathbb{I}_{C}]}
\\&\le\bra{\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|\mathbb{I}_{C}]}+\bra{\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|Y_n|\mathbb{I}_{C}]}
\\&<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}<\epsilon\end{align*}

が成り立つ．

以上より，$\{X_n+Y_n\}_{n\in\N}$は一様可積分性の必要十分条件を満たすことが分かったから，$\{X_n+Y_n\}_{n\in\N}$は一様可積分である．